《2022年《一元二次方程的解法》典型例题及解析.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年《一元二次方程的解法》典型例题及解析.docx（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -一元二次方程的解法典型例题及解析1以配方法解3x2+4x+1 = 0 时,我们可得出以下哪一个方程式 Ax+2 2 = 3 B 3x+2 =Cx+2 =Dx+2 =答案： D 说明：先将方程3x2+4x+1 = 0的二次项系数化为1,即得 x2+x+= 0 ,再变形得x2+x+2 = 2-,即 x+2 =,答案为 D2想将 x2+x 配成一个完全平方式,应当加上以下那一个数 A B C D 答案： D 说明：题目所给的式子中x2 系数为 1,因此,要将它配成一个完全平方式只需加上一次项系数一半的平方,即,所以
2、答案为D3以下方程中,有两个不相等的实数根的是 Ax2- 9x+100 = 0 B5x2+7x+5 = 0 C16x2- 24x+9 = 0 D 2x2+3x- 4 = 0 答案： D 细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 1 页,共 4 页 - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -说明：方程x2- 9x+100 = 0 中 b2- 4ac = 81- 4000；方程 5x2+7x+5 = 0 中 b 2- 4ac = 49- 4 5 5 = 49- 1000
3、,所以方程 2x 2 = 3x - 4 = 0 有两个不相等的实数根,应选 D4以下方程中,有两个相等实数根的是 A4x - 1 2- 49 = 0 B x - 2x - 3+3 - x = 0 Cx 2+2 +1x+2 = 0 D xx -+1 = 0 答案： B 说明： A中方程整理为一般形式为 4x 2- 8x- 45 = 0 ,这里 b 2- 4ac = 64+720 = 7840 ；B中方程整理为一般形式为： x 2- 6x+9 = 0 ,这里 b 2- 4ac = 36 - 36 = 0 ； C中方程 b 2- 4ac = 21+4- 8 = 21 - 4 0；D中方程整理为一般形
4、式为 x 2-x+1 = 0 ,这里 b 2- 4ac = 5 - 4 = 10 ；所以只有方程 x - 2x - 3+3 - x = 0 有两个相等实数根,答案为 B5以下方程 4x 2- 3x- 1 = 0 , 5x 2- 7x+2 = 0 , 13x 2- 15x+2 = 0 中,有一个公共解是 Ax = B x = 2 C x = 1 D x = - 1 答案： C 说明：方程4x2- 3x- 1 = 0可变形为 4x+1x - 1 = 0 ,方程 5x2- 7x+2 = 0可变形为 x - 15x - 2 = 0,方程 13x 2- 15x+2 = 0可变形为 x - 113x+2
5、= 0,所以这三个方程的公共解为x = 1 ,答案为 C6用适当的方法解以下一元二次方程1x+42- 2x - 12 = 0 3x+15 - x 第 2 页,共 4 页 2x2- 16x - 4 = 0 32x2- 3x- 6 = 0 4x - 22 = 256 52t+32 = 32t+3 63 - y2+y2 = 9 71+x2- 1 -x = 0 解： 1 平方差公式分解因式,方程变形为x+4+2x- 1x+4- 2x - 1 = 0,化简后即= 0 ,因此,可求得x1 = - 1, x2 = 5 2 用配方法,方程可变形为x - 82 = 68 ,两边开方化简可得x = 8 2细心整理
6、归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -3 用公式法, b2- 4ac = - 32- 4 2 - 6 = 57 ,所以 x =4 方程两边直接开方,得 x- 2 = 16,即 x1 = 18 ,x2 = - 14 5 方程可化为 2t+32t+3- 3 = 0 ,即 2t2t+3 = 0,解得 t1 = 0 , t2 = -6 方程变形为 y - 32+y2 - 9 = 0 ,y - 3y - 3+y+3 = 0,即 2yy - 3
7、 = 0 ,解得 y1 = 0 ,y2 = 3 7 用因式分解法,方程可变形为 x1+ x - 1+ = 0,所以 x1 = 0 ,x2 = = = 2- 3 扩展资料一元二次方程,数学史上的一场论战中世纪的欧洲,代数学的进展几乎处于停滞的状态,其真正的起步,始于公元 1535 年的一场震惊数学界的论战大家知道,尽管在古代的巴比伦或古代的中国,都已把握了某些类型一元二次方程解法但一元二次方程的公式解法,却是由中亚数学家阿尔 花拉子米于公元825 年给出的花拉子米是把方程x2+px+q = 0配方后改写为：的形式,从而得出了方程的两个根为：在欧洲,被誉为“ 代数学鼻祖” 的古希腊的丢番图,虽然也
8、曾得到过类似的式子,但由于丢番图认定只有根式下的数是一个完全平方数,且根为正数时,方程才算有解,因而数学史上都认为阿尔 花拉子米为求得一元二次方程一般解的第一人花拉子米之后,很多数学家都致力于三次方程公式解的探求,但在数百年漫漫的历史长河中,除了取得个别方程的特解外,都没有人取得实质性进展,很多人因此怀疑这样的公式解根本不存在！话说当时意大利的波伦亚高校,有一位叫费洛的数学教授,也潜心于三次方程公式解这一当时世界难题的讨论,功夫不负有心人,他最终取得了重大突破. 公元 1505 年,费洛宣布自己已经找到了形如x3 + px = q 方程的一个特殊情形的解法,但他没有公开自己的成果,为的是能在一
9、次国际性的数学竞赛中一放光彩遗憾的是,费洛没能等到一个显示自己的才华的机会就抱恨逝去,临死前他把自己的方法传给了满意门生,威尼斯的佛罗雷都斯现在话转另外一头,在意大利北部的布里西亚,有一个颇出名气的年轻人,叫塔塔里亚（Nicolo Tartaglia,15001557）,此人从小天资聪慧,勤奋好学,在数学方面表现出超人的才华,特殊是他发表的一些论文,思路奇妙,见地高远,因而一时间名闻遐迩塔塔里亚自学成才自然受到了当时一些习惯势力的鄙视,塔里亚发难,提出以下两道具有挑战性的问题：（ 1）求一个数,其立方加上平方的 3 倍等于 5；公元 1530 年,当时布里西亚的一些人公开向塔细心整理归纳 精选
10、学习资料 （ 2）求三个数,其中其次个数比第一个数大2,第三个数又比其次个数大2,它们的积为1000 第 3 页,共 4 页 读者不难知道,对第一个问题,如令所求数为x,就依题意有： - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师归纳总结 精品学习资料 - - - - - - - - - - - - - - -x3+3x2 = 5 而对其次个问题,令第一个数为x,就其次、三数分别为x+2, x+4,于是依题意有：xx+2x+4=1000 化简后 x 3+6x 2+8x- 1000 = 0 以上是两道三次方程的求解问题,塔塔里亚求出了这两道方
11、程的实根,从而赢得了这场挑战,并为此名声大震！消息传到了波伦亚,费洛的门生佛罗雷都斯心中顿感震怒,他无法容忍一个不登大雅之堂的小人物与他平起平坐！于是双方商定,在1535 年 2 月 22 日,于意大利的米兰,公开举办数学竞赛,各出30 道问题,在两小时内打算胜败赛期渐近,塔塔里亚因自己到底是自学出身而感到有些紧急他想：佛罗雷都斯是费洛的满意弟子,难 保他不会拿解三次方程来应付自己,那么自己所把握的一类方法与费洛的解法到底相距多远呢？他苦苦思索 着,脑海中的思路不断进行着各种新的组合,这些新的组合最终撞击出灵感的火花,在临赛前八天,塔塔里亚最终找到明白三次方程的新方法,为此他欣喜如狂,并充分利
12、用剩下的八天时间,一面娴熟自己的新方法,一面细心构造了 30 道只有运用新方法才能解出的问题2 月 22 日那天,米兰的大教堂内,人头攒动,喧闹特殊,大家翘首等待着竞赛的到来竞赛开头了,双 方所出的 30 道题都是令人眩目的三次方程问题,但见塔塔里亚淡定不迫,运笔如飞, 在不到两小时的时间内,0:30 败 解完了的佛罗雷都斯的全部问题与此同时,佛罗雷都斯却提笔拈纸,望题兴叹,一筹莫展,最终以 下阵来！消息传出,数学界为之震惊 . 在米兰市有一个人坐不住了,他就是当时驰名欧洲的医生卡当（Girolamo Cardano,15011576）卡当其人, 不仅医术颇高, 而且精于数学 . 他也潜心于三
13、次方程的解法,但无所获 所 , 满心期望能共享这一成果然而当时的塔塔里亚已经誉满欧洲,以听到塔塔里亚已经把握三次方程的解法时 所以并不准备把自己的成果立刻发表,而醉心于完成几何原本的巨型译作对众多的求教者,就一概拒之门外当过医生的卡当,熟谙心理学的要领,软缠硬磨,最终使自己成了唯独的例外公元 1539 年,塔塔 利亚最终同意把要领传授给他,但有一个条件, 就是要严守发觉的隐秘 然而卡当实际上没有遵守这一诺言公 元 1545 年,他用自己的名字发表了大法一书,书中介绍了不完全三次方程的解法,并写道：“ 大约 30 年前,波伦亚的费洛就发觉了这一法就,并传授给威尼斯的佛罗雷都斯,后者曾与塔塔里亚进
14、行过数学竞赛, 塔塔里亚也发觉了这一方法在我的请求下, 塔塔里亚把方法告知了我,但没有给出证明 借助于此,我找到了如干证明,因其非常困难,特表达如下”卡当指出：对不完全三次方程x3+px+q = 0 ,给出了它的解,这就是今日我们所说的卡当公式公式大法发表其次年,塔塔里亚发表了的种种疑问及创造一文,声讨卡当背信弃义,并要求在米兰与卡当公开竞赛,一决雌雄然而到竞赛那一天,出阵的并非卡当本人,而是他的天才同学斐拉里（Ferrari L. ,1522 1565）,此时斐拉里,风华正茂,思维灵敏,他不仅把握明白三次方程的全部要领,而且发觉了 一般四次方程的极为奇妙的解法塔塔里亚自然不是他的对手,最终狼狈败退,并因此番挫折,心神俱伤,于公元 1557 年溘然与世长辞！没想到,正是这场震惊数学界的论战,使沉沦了一千三百多年的欧洲代数学,掀开了划时代的新篇章！细心整理归纳 精选学习资料 - - - - - - - - - - - - - - - 第 4 页,共 4 页 - - - - - - - - -