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1、v1.0 可编辑可修改 1 坐标系与参数方程 知识点 1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换 设点 P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点,在变换(0):(0)xxyy 的作用下,点 P(x,y)对应到点(,)P x y,称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换,简称伸缩变换.2.极坐标系的概念(1)极坐标系 如图所示,在平面内取一个定点O,叫做极点,自极点O引一条射线Ox,叫做极轴;再选定一个长度单位,一个角度单位(通常取弧度)及其正方向(通常取逆时针方向),这样就建立了一个极坐标系.注:极坐标系以角这一平面图形为几何背景,而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何背景;平面直角坐标系内的点与坐标能建
2、立一一对应的关系,而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系.(2)极坐标 设 M 是平面内一点,极点O与点 M 的距离|OM|叫做点 M 的极径,记为;以极轴Ox为始边,射线OM为终边的角xOM叫做点 M 的极角,记为.有序数对(,)叫做点 M 的极坐标,记作(,)M.一般地,不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数.特别地,当点M在极点时,它的极坐标为(0,)(R).和直角坐标不同,平面内一个点的极坐标有无数种表示.如果规定0,02,那么除极点外,平面内的点可用唯一的极坐标(,)表示;v1.0 可编辑可修改 2 同时,极坐标(,)表示的点也是唯一确定的.3.极坐标和直角坐标
3、的互化(1)互化背景:把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴,并在两种坐标系中取相同的长度单位,如图所示:(2)互化公式:设M是坐标平面内任意一点,它的直角坐标是(,)x y,极坐标是(,)(0),于是极坐标与直角坐标的互化公式如表:点M 直角坐标(,)x y 极坐标(,)互化公式 cossinxy 222tan(0)xyyxx 在一般情况下,由tan确定角时,可根据点M所在的象限最小正角.4.常见曲线的极坐标方程 曲线 图形 极坐标方程 圆心在极点,半径为r的圆 (02)r 圆心为(,0)r,半径为r的圆 2 cos()22r v1.0 可编辑可修改 3 圆心为(,)2r,半径为
4、r的圆 2 sin(0)r 过极点,倾斜角为的直线 (1)()()RR 或(2)(0)(0)和 过点(,0)a,与极轴垂直的直线 cos()22a 过点(,)2a,与极轴平行的直线 sin(0)a 注:由 于 平 面 上 点 的 极 坐 标 的 表 示 形 式 不 唯 一,即(,),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标,这与点的直角坐标的唯一性明显不同.所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式,只要求至少有一个能满足极 坐 标 方 程 即 可.例 如 对 于 极 坐 标 方 程,点(,)4 4M 可 以 表 示 为5(,2)(,2),4 44 444 或或(-)等多种形式,其中,只有(
5、,)4 4 的极坐标满足方程.二、参数方程 1.参数方程的概念 一般地,在平面直角坐标系中,如果曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t的函数()()xf tyg t,并且对于t的每一个允许值,由方程组所确定的点(,)M x y都在这条曲线上,那么方程就叫做这条曲线的参数方程,联系变数,x y的变数t叫做参变数,简称参数,相对 4 于参数方程而言,直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程.2.参数方程和普通方程的互化(1)曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式,一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程.(2)如果知道变数,x y中的一个与参数t的关系,例如()xf t,把它代入普
6、通方程,求出另一个变数与参数的关系()yg t,那么()()xf tyg t就是曲线的参数方程,在参数方程与普通方程的互化中,必须使,x y的取值范围保持一致.注：普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。3圆的参数 如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O上作匀速圆周运动，设(,)M x y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为(,)a b，半径为r的圆的普通方程是222
7、()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4椭圆的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数，其中参数称为离心角；焦点在y轴上的椭圆的标准方程是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离心角，通常规定参数的范围为0，2）。5 注：椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时
8、，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程 以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30,2),.22且 焦点在y轴上的双曲线的标准方程是22221(0,0),yxabab其参数方程为cot(0,2).cscxbeya为参数，其中且 以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。6抛物线的参数方程 以 坐 标 原 点 为 顶 点，开 口 向 右 的 抛 物 线22(0)ypx p的 参 数 方 程 为22().2xpttypt 为参数 7直线的参数方程 经过点000(,)Mxy，倾斜角为()2 的直线l的普通方程是00tan(),yyxx而过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数。注：直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点(,)M x y为终点的有向线段0M M的数量，当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点，直 6 线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标，其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。