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1、坐标系与参数方程知识点一、极坐标与极坐标系1平面直角坐标系中的坐标伸缩变换设点P(x,y) 是平面直角坐标系中的任意一点, 在变换(0):(0)xxyy的作用下 , 点 P(x,y) 对应到点(,)Px y, 称为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换, 简称伸缩变换 . 2. 极坐标系的概念(1) 极坐标系如图所示 , 在平面内取一个定点O, 叫做极点 , 自极点O引一条射线Ox, 叫做极轴 ; 再选定一个长度单位, 一个角度单位 ( 通常取弧度 ) 及其正方向 (通常取逆时针方向), 这样就建立了一个极坐标系. 注: 极坐标系以角这一平面图形为几何背景, 而平面直角坐标系以互相垂直的两条数轴为几何
2、背景; 平面直角坐标系内的点与坐标能建立一一对应的关系, 而极坐标系则不可.但极坐标系和平面直角坐标系都是平面坐标系 . (2) 极坐标设 M是平面内一点, 极点O与点 M的距离 |OM|叫做点 M的极径 , 记为; 以极轴Ox为始边 , 射线OM为终边的角xOM叫做点 M的极角 , 记为. 有序数对( , )叫做点 M的极坐标 , 记作(, )M. 一般地 , 不作特殊说明时,我们认为0,可取任意实数 . 特别地 , 当点M在极点时 , 它的极坐标为(0,)(R). 和直角坐标不同, 平面内一个点的极坐标有无数种表示 . 如果规定0,02, 那么除极点外, 平面内的点可用唯一的极坐标( ,
3、)表示 ; 同时 , 极坐标(, )表示的点也是唯一确定的. 3. 极坐标和直角坐标的互化(1) 互化背景 : 把直角坐标系的原点作为极点,x 轴的正半轴作为极轴, 并在两种坐标系中取相同的长度单位, 如图所示 : 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 5 页 - - - - - - - - - (2) 互化公式 : 设M是坐标平面内任意一点, 它的直角坐标是( ,)x y, 极坐标是( , )(0), 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表: 点M直角坐标( ,
4、)x y极坐标(, )互化公式cossinxy222tan(0)xyyxx在一般情况下,由tan确定角时 , 可根据点M所在的象限最小正角. 4. 常见曲线的极坐标方程曲线图形极坐标方程圆心在极点 , 半径为r的圆(02 )r圆心为( ,0)r, 半径为r的圆2 cos ()22r圆心为( ,)2r, 半径为r的圆2 sin(0)r过极点 , 倾斜角为的直线(1)()()RR或(2)(0)(0)和过点( ,0)a, 与极轴垂直的直线cos()22a名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - -
5、- - 第 2 页，共 5 页 - - - - - - - - - 过点( ,)2a, 与极轴平行的直线sin(0)a注: 由于平面上点的极坐标的表示形式不唯一, 即(, ),(,2),(,),(,),都表示同一点的坐标, 这与点的直角坐标的唯一性明显不同. 所以对于曲线上的点的极坐标的多种表示形式, 只要求 至 少 有 一 个 能 满 足 极 坐 标 方 程 即 可 . 例 如 对 于 极 坐 标 方 程,点(,)44M可 以 表 示 为5(,2 )(,2 ),444444或或(-)等多种形式 , 其中, 只有(,)44的极坐标满足方程. 二、参数方程1. 参数方程的概念一般地 , 在平面直
6、角坐标系中, 如果曲线上任意一点的坐标,x y都是某个变数t的函数( )( )xf tyg t, 并且对于t的每一个允许值, 由方程组所确定的点( ,)M x y都在这条曲线上, 那么方程就叫做这条曲线的参数方程 , 联系变数, x y的变数t叫做参变数 , 简称参数 , 相对于参数方程而言, 直接给出点的坐标间关系的方程叫做普通方程. 2. 参数方程和普通方程的互化(1) 曲线的参数方程和普通方程是曲线方程的不同形式, 一般地可以通过消去参数而从参数方程得到普通方程 . (2) 如果知道变数, x y中的一个与参数t的关系 , 例如( )xf t, 把它代入普通方程, 求出另一个变数与参数的
7、关系( )yg t, 那么( )( )xf tyg t就是曲线的参数方程, 在参数方程与普通方程的互化中, 必须使,x y的取值范围保持一致. 注： 普通方程化为参数方程，参数方程的形式不一定唯一。应用参数方程解轨迹问题，关键在于适当地设参数，如果选用的参数不同，那么所求得的曲线的参数方程的形式也不同。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 5 页 - - - - - - - - - 3圆的参数如图所示，设圆O的半径为r，点M从初始位置0M出发，按逆时针方向在圆O
8、上作匀速圆周运动，设( , )Mx y，则cos()sinxryr为参数。这就是圆心在原点O，半径为r的圆的参数方程，其中的几何意义是0OM转过的角度。圆心为( , )a b，半径为r的圆的普通方程是222()()xaybr，它的参数方程为：cos()sinxarybr为参数。4椭圆的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为22221(0),xyabab其参数方程为cos()sinxayb为参数， 其 中 参 数称 为 离 心 角 ； 焦 点 在y轴 上 的 椭 圆 的 标 准 方 程 是22221(0),yxabab其参数方程为cos(),sinxbya为参数其中参数仍为离
9、心角， 通常规定参数的范围为0 ，2） 。注： 椭圆的参数方程中，参数的几何意义为椭圆上任一点的离心角，要把它和这一点的旋转角区分开来，除了在四个顶点处，离心角和旋转角数值可相等外（即在0到2的范围内），在其他任何一点，两个角的数值都不相等。但当02时，相应地也有02，在其他象限内类似。5双曲线的参数方程以坐标原点O为中心，焦点在x轴上的双曲线的标准议程为22221(0,0),xyabab其参数方程为sec()tanxayb为参数，其中30, 2 ),.22且焦 点 在y轴 上 的 双 曲 线 的 标 准 方 程 是22221(0,0),yxabab其 参 数 方 程 为c o t( 0 ,
10、2).c s cxbeya为参数，其中且以上参数都是双曲线上任意一点的离心角。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 5 页 - - - - - - - - - 6抛物线的参数方程以坐标原点为顶点，开口向右的抛物线22(0)ypx p的参数方程为22().2xpttypt为参数7直线的参数方程经 过 点000(,)Mxy， 倾 斜 角 为()2的 直 线l的 普 通 方 程 是00tan (),yyxx而 过000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00co
11、ssinxxtyyt()t为参数。注： 直线参数方程中参数的几何意义：过定点000(,)Mxy，倾斜角为的直线l的参数方程为00cossinxxtyyt()t为参数，其中t表示直线l上以定点0M为起点，任一点( , )M x y为终点的有向线段0M M的数量， 当点M在0M上方时，t0；当点M在0M下方时，t0；当点M与0M重合时，t=0。我们也可以把参数t理解为以0M为原点， 直线l向上的方向为正方向的数轴上的点M的坐标， 其单位长度与原直角坐标系中的单位长度相同。名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 5 页 - - - - - - - - -