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1、平面向量基础题 一、高考真题体验 1（2015 新课标卷 I）已知点(0,1),(3,2)AB，向量(4,3)AC ，则向量BC()（A）(7,4)（B）(7,4)（C）(1,4)（D）(1,4)2（2015 新课标卷 II）已知1,1a,1,2 b,则(2)aba（）A1 B0 C1 D2 3（2014 新课标卷 I）设FED,分别为ABC的三边ABCABC,的中点，则 FCEB A.AD B.AD21 C.BC21 D.BC 二、知识清单训练【平面向量概念】1、定义：大小、方向 2、几何表示：有向线段AB,a、3、基本概念：单位向量、相等向量、相反向量、共线（平行）向量 4下列判断正确的是
2、 ()A.若向量AB与CD是共线向量，则 A,B,C,D 四点共线；B.单位向量都相等；C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；D.模为 0 的向量的方向是不确定的。5下列命题正确的是()A单位向量都相等 B若a与b共线，b与c共线，则a与c共线 C若|abab，则0a b D若a与b都是单位向量，则1a b 6已知非零向量ba与反向，下列等式中成立的是 （）A|baba B|baba C|baba D|baba 【线性运算】1、加法：首尾相连，起点到终点 ACBCAB 2、减法：同起点、连终点、指向被减 CBACAB 3、数乘：aaaaaaa方向相反方向与方向相同；方向与,0,0 7空间
3、任意四个点 A、B、C、D，则等于(）A B C D 8设四边形 ABCD 中，有DC=21AB，且|AD|=|BC|，则这个四边形是 A.平行四边形 B.等腰梯形 C.矩形 D.菱形 9设 D，E，F 分别为ABC 的三边 BC，CA，AB 的中点，则EBFC ABC BAD C12BC D12AD 10设 P 是ABC 所在平面内的一点，+=2，则（）A+=B+=C+=D+=11如图.点 M 是ABC的重心,则MCMBMA为（）A0 B4ME C4MD D4MF 【平面向量基本定理】bac，基底 12如图所示，已知2ABBC，OAa，OBb，OCc，则下列等式中成立的是()(A)3122c
4、ba (B)2cba (C)2cab (D)3122cab 13在空间四边形ABCD中，ABa，ACb，ADc，M，N分别为AB、CD的中点，则MN可表示为（）A.1()2abc B.1()2abc C.1()2abc D.1()2abc 14在ABC中，已知D是AB边上一点，若12,3ADDB CDCACB，则()A23 B13 C13 D23【共线定理】1221/yxyxabba 15已知1232aee，则与a共线的向量为(A)1223ee (B)1264ee (C)1264ee (D)1232ee 16平面向量(1,2)a，(2,)n b，若a/b，则n等于 A4 B4 C1 D2 【坐
5、标运算】1、已知2211,yxByxA，则1212,yyxxAB 2、已知2211,yxbyxa 则2121,yyxxba，2121,yyxxba，),(11yxa，2121yyxxba 17已知向量2,1,3,4 ab，则ab A1,5 B1,5 C1,3 D1,3 A B C O 18若向量(2,4)AB，(1,3)AC，则BC=（）A(1,1)B(1,1)C(3,7)D(3,7)19已知向量(2,4)a，(1,1)b ，则2ab A（5,7）B（5,9）C（3,7）D（3,9）【数量积】1、定义：2121cosyyxxbaba，2、投影：cosaba方向上的投影在 3、模：21212yx
6、aa 4、夹角：222221212121,cosyxyxyyxxbababa 5、垂直：002121yyxxbaba 20已知|6a，|3b，12a b，则向量a在向量b方向上的投影是（）A4 B4 C2 D2 21已知3a，2 3b，3a b ，则a与b的夹角是 A.30 B.60 C.120 D.150 22设(1,2)a，(2,)bk，若(2)aba，则实数k的值为（）A2 B4 C6 D8 23已知,a b是平面向量，若(2)aab，(2)bba，则a与b的夹角是 A6 B3 C23 D56 24空间四边形OABC中，OBOC，3AOBAOC，则cos的值是（）A.21 B.22 C.
7、21 D.0 25设向量,a b满足|1,|3,()0aabaab，则|2|ab()A2 B2 3 C4 D4 3 26已知等边ABC的边长为 1，则BCAB A21 B23 C21 D23 27在Rt ABC中，D为BC的中点，且AB6AC8，则AD BC的值为 A、28 B、28 C、14 D、14 28若同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，且1a，1b，3c，则abc等于（）A2 B5 C2 或 5 D2或5 【课后练习】29已知和点满足.若存在实数使得成立，则=（）A2 B3 C4 D 30设向量12,e e是夹角为23的单位向量，若13ae，12bee，则向量b在a方向的投影为
8、（）A32 B12 C12 D1 31已知平面向量a，b满足3a，2b，3a b，则2ab（）A1 B7 C43 D2 7 32已知1,2,()abaab且，则向量a与向量b的夹角为（）.（A）30 （B）45 （C）90 （D）135 33在平行四边形 ABCD 中，下列结论中错误的是（）AABDC BADABAC CABADBD DADCDBD 34在平行四边形ABCD中，AC为一条对角线，(2,4)AB，(1,3)AC，则DA（）A（2,4）B（3,5）C（1，1）D（1，1）ABCM0MCMBMAmAMmACABm3235如下图，在OAB 中，P 为线段 AB 上的一点，OPxOAyO
9、B，且BP3PA，则（）A、x23，y13 B、x13，y23 C、x14，y34 D、x34，y14 36已知向量(1,2),(4,)abm，若2ab与a垂直，则m（）A-3 B3 C-8 D8 37已知平面向量,a b满足()=3aa+b，且2,1ab，则向量a与b的夹角为（）A6 B3 C3 D6 38已知向量(2,1),(5,3)ab，则a b 的值为 A-1 B7 C13 D11 39已知平面向量(1,2),(2,)abm，且/ab，则实数m的值为（）A1 B4 C1 D4 40已知平面向量AB1,2，AC3,4，则向量CB=（）A(4,6)B(4,6)C(2,2)D(2,2)41已
10、知向量2 1，a，2x，b，若ab，则a+b等于（）A2,1 B 2,1 C3,1 D3,1 42 已知两点 A(4，1)，B(7，-3)，则与向量AB同向的单位向量是（）A(53，-54)B(-53，54)C(-54，53)D(54，-53)43若向量，满足条件，则 x=（）A6 B5 C4 D3 44设Ryx,，向量,4,2,1,1,cybxa且cbca/,，则ba()A.5 B.10 C25 D10 45已知向量(1,2),(2,1)ab，下列结论中不正确的是（）A/ab Bab C|ab D|abab 平面向量基础题参考答案 1A【解析】试题分析：ABOBOA=（3,1），BC ACA
11、B=(-7,-4)，故选 A.考点：向量运算 2C【解析】试 题 分 析：由 题 意 可 得21 12 a,123,a b 所 以2224 31 abaaa b.故选 C.考点：本题主要考查向量数量积的坐标运算.3A【解析】试 题 分 析：根 据 平 面 向 量 基 本 定 理 和 向 量 的 加 减 运 算 可 得：在BEF中，12EBEFFBEFAB，同理12FCFEECFEAC，则11111()()()()22222EBFCEFABFEACABACABACAD 考点：向量的运算 4D【解析】解：因为 A.若向量AB与CD是共线向量，则 A,B,C,D 四点共线；可能构成四边形。B.单位向
12、量都相等；方向不一样。C.共线的向量，若起点不同，则终点一定不同；不一定。D.模为 0 的向量的方向是不确定的，成立 5C【解析】对于 A，单位向量模长都为 1，但方向不确定，所以不一定相等；对于 B，若0b，此时若a与b共线，b与c共线，但a与c不一定共线；对于 C，若|ab|=|ab|，则两边平方，化简可得0ba，C 正确；对于 D，若a与b都是单位向量，cos11ba.6C【解析】解：因为非零向量ba与反向，所以则有根据向量的加法法则可知，|baba，选 C.7C【解析】试题分析：如图，BACBCDCADCDA，故选：B 考点：向量加减混合运算及其几何意义 8B【解析】解：因为四边形 A
13、BCD 中，有DC=21AB，且|AD|=|BC|，因此一组对边平行，另一组对边相等的四边形为等腰梯形，选 B 9B【解析】试 题 分 析：由 向 量 加 法 法 则 得12BEBABC，12CFCBCA，因 此12EBFCBABC 12CBCA1112222BACAABACADAD，故答案为 B.考点：向量加法法则的应用.10A【解析】+=2，=，=，=，+=故选 A 11D【解析】试 题 分 析：点 M 是ABC的 重 心，所 以 有F点 是 中 点，1132MFCFCM2MAMBMF 24MAMBMCMFCMMF 考点：向量的加减法 点评：向量的加减法运算遵循平行四边形法则，三角形法则，
14、加法：将两向量首尾相接由起点指向中点；减法：将两向量起点放在一起，连接终点，方向指向被减向量 12A【解析】试题分析：OBOCOABCOAACOAOC33,所以OAOBOC2123.考点：向量的三角形法则.13C【解析】试题分析：取 AC 的中点 E，连接 ME,NE，则 1111=2222MN MEENBCADACABAD1()2abc.考点：向量的加减运算；向量加法的三角形法则。点评：我们要注意向量加法的三角形法则的灵活应用。属于中档题。14D【解析】15C【解析】试题分析：因为1232aee，那么则与a共线的向量要满足ba，那么对于选项 A,分析不满足比例关系，对于选项 B，由于不存在实
15、数满足ba，因此不共线，同理可知选项 D，也不满足，排除法只有选 C.考点：共线向量 点评：主要是考查了向量共线的概念的运用，属于基础题。16A【解析】试题分析：根据向量共线的条件，可知1(2)(2)4x，所以4x.考点：向量共线的坐标表示.17A【解析】试题分析：根据向量的加法运算法则，可知(23,14)(1,5)ab，故选 A 考点：向量的加法运算 18B【解析】试题分析：因为向量(2,4)AB，(1,3)AC，所以)1,1()4,2()3,1(ABCABC故选 B 考点：向量减法的坐标的运算 19A【解析】试题分析：根据向量的坐标运算可得：24,81,15,7ab，故选择 A 考点：向量
16、的坐标运算 20A【解析】试题分析：向量a在向量b方向上的投影是acos（是a，b的夹角），acos=bba-4.考点：向量的数量积运算.21C【解析】试题分析：根据题意，由于3a，2 3b，3a b ，那么可知a与b的夹角是ab-31=-|62a b，因此可知其夹角为 120，选 C.考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的基本运算，属于基础题。22C【解析】试题分析：因为)4,4(2kba，60212)4(214)2(kkkaba 考点：1平面向量的坐标运算；2非零向量0baba；3数量积公式的坐标形式；23B【解析】试题分析：根据题意，由于,a b是平面向量，若(2)aab，
17、(2)bba，则可知2222aa-2ba-2a b=bb-2ab-2a b=b=a （）=00,（）=00，a b11cosa,ba,b223|a|b|可知a与b的夹角3，选 B 考点：向量的数量积 点评：主要是考查了向量的数量积的运算，属于基础题。24D【解析】试题分析：利用 OB=OC，以及两个向量的数量积的定义化简 cos,OA BC的值，根据题意，因为OBOC，则cos=()0|OA BCOA OCOBOA OCOA OBOA BCOA BCOA BC,故可知答案为 D.考点：向量的数量积 点评：本题考查两个向量的数量积的定义，两个向量的夹角公式的应用 25B.【解析】2()0,1aa
18、baa b,2222|23,4,abaa bbb 22|2|444442 3abaa bb,故选 B.26A【解析】试题分析：BCAB211 1 cos32 考点：平面向量的数量积 27D【解析】试题分析：由题意得，1,(),2ABAC ADACAB BCACAB,22111()()()(6436)14222AD BCACABACABACAB.考点：平面向量的线性运算和数量积 28C【解析】试题分析：因为同一平面内向量a，b，c两两所成的角相等，所以当三个向量所成的角都是120时，222|2221 1 9 1 3 34abcabca ba cb c ，即|2abc，所以当三个向量所成的角都是0
19、时，|1 135abc ，故|2abc或 5.考点：平面向量的数量积，向量的模的求法.29B【解析】试题分析：由题根据0MAMBMC，则 M 为ABC 的重心 根据0MAMBMC知，点 M 为ABC 的重心，设点 D 为底边 BC 的中点，则221133332(3)AMADABACABACABACAMm，故选 B 考点：平面向量的几何意义 30A【解析】试题分析：因为向量12,e e是夹角为23的单位向量，所以21ee2132cos|21ee向量b在a方向的投影为233233333|3|)(3,cos|21211211eeeeeeeababab.考点：向量数量积的运算.31B【解析】试题分析：
20、根据题意结合向量的运算可得：22|2|447 abaa bb.故选 B.考点：向量模的运算 32B【解析】试题分析：由1,0)(2babaabaa，则2221,cosbababa，向量a与向量b的夹角为45，选B.考点：平面向量的数量积和向量夹角；33C【解析】试题分析：由向量的有关知识可知ABDC，ADABAC，ADCDBD正确 而ABADBD错误选 C 考点：向量的运算和性质 34C【解析】试题分析：()(1,1)DAADACAB 考点：平面向量的线性运算 35D【解析】试题分析：由已知BP3PA，得)(3OPOAOBOP，整理，OBOAOPOAOBOP4143)(3，可得 x34，y14
21、 考点:向量的加、减运算 36A【解析】试题分析：由已知2(2,4)abm，所以(2)22(4)0abam ，解得3m 故选 A 考点：向量垂直的坐标运算 37C【解析】试题分析：本题考查向量的夹角的求法，难度较小 由条件得1a b，所以1cos,2|a ba bab，故2,3a b，故选 C 考点：向量的夹角 38B【解析】试题分析：因为(2,1)(5,3)1037a b，所以应选B 考点：1、平面向量的数量积；39D【解析】试题分析：因为/ab，所以4022mm)(1故选 D 考点：向量平行的充要条件 40C【解析】试题分析：由向量的减法法则2,2 ACABCB,所以选 C；考点：1向量的
22、减法；41A【解析】试题解析：ab2(2)4x a+b(2(4),1(2)(2,1)考点：本题考查向量的坐标运算 点评：解决本题的关键是注意向量平行坐标公式 42A【解析】试题分析：=7-3-4,1=3-4AB，22=3+-4=5AB，与向量AB同向的单位向量是13434,555ABAB，.考点：向量的坐标表示、单位向量.43A【解析】，8=（8，8）（2，5）=（6，3）12+3x=30 x=6 故选 A 44B【解析】试 题 分 析：2402/4223,1acxxbcyyab 10ab 考点：向量的坐标运算及向量位置关系 点评：若,ax ybm n则,abxm yn，,0abxnmy abxmyn 45A【解析】试题分析：根据题意，由于(1,2),(2,1)ab，那么可知(1,2)(2,1)=0a bab，故选项 B 正确，对于 C，由于|=|=5ab成立，根据向量的几何意义可知，垂直向量的和向量与差向量长度相等，故 D 成立，因此选 A.考点：向量的概念和垂直的运用 点评：解决的关键是利用向量的数量积以及向量的共线来得到结论，属于基础题。46D【解析】试题分析：设,1,321,32 5,3D x yCDxyCDABxy 9,3xy 9,3D 考点：向量的坐标运算 点评：向量坐标等于向量终点坐标减去起点坐标，两向量相等，其对应横纵坐标相等