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1、2021 年浙江省嘉兴市中考数学试卷 一、选择题(本题有 10 小题,每题 3 分,共 30 分,请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选错选,均不得分)12021 年 5 月 22 日,我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面已知火星与地球的最近距离约为 55000000 千米,数据 55000000 用科学记数法表示为()A55106 B5.5107 C5.5108 D0.55108 2如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图为()A B C D 3能说明命题“若 x 为无理数,则 x2也是无理数”是假命题的反例是()Ax1 Bx+1 Cx3 Dx 4已知三个点(x1,y1
2、),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数 y的图象上,其中 x1x20 x3,下列结论中正确的是()Ay2y10y3 By1y20y3 Cy30y2y1 Dy30y1y2 5将一张三角形纸片按如图步骤至折叠两次得图,然后剪出图中的阴影部分,则阴影部分展开铺平后的图形是()A等腰三角形 B直角三角形 C矩形 D菱形 65 月 1 日至 7 日,我市每日最高气温如图所示,则下列说法错误的是()A中位数是 33 B众数是 33 C平均数是 D4 日至 5 日最高气温下降幅度较大 7已知平面内有O 和点 A,B,若O 半径为 2cm,线段 OA3cm,OB2cm,则直线AB 与O 的位置关系为(
3、)A相离 B相交 C相切 D相交或相切 8为迎接建党一百周年,某校举行歌唱比赛901 班啦啦队买了两种价格的加油棒助威,其中缤纷棒共花费 30 元,荧光棒共花费 40 元,缤纷棒比荧光棒少 20 根,缤纷棒单价是荧光棒的 1.5 倍若设荧光棒的单价为 x 元,根据题意可列方程为()A20 B20 C20 D20 9如图,在ABC 中,BAC90,ABAC5,点 D 在 AC 上,且 AD2,点 E 是AB 上的动点,连结 DE,点 F,G 分别是 BC 和 DE 的中点,连结 AG,FG,当 AGFG时,线段 DE 长为()A B C D4 10 已知点 P(a,b)在直线 y3x4 上,且
4、2a5b0,则下列不等式一定成立的是()A B C D 二、填空题(本题有 6 小题,每题 4 分,共 24 分)11(4分)已 知 二 元 一 次 方 程x+3y 14,请 写 出 该 方 程 的 一 组 整 数解 12(4 分)如图,在直角坐标系中,ABC 与ODE 是位似图形,则它们位似中心的坐标是 13(4 分)观察下列等式:11202,32212,53222,按此规律,则第 n 个等式为 2n1 14(4 分)如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,ABAC,AHBD 于点 H,若 AB2,BC2,则 AH 的长为 15(4 分)看了田忌赛马故事后,小杨用数学模型来分析
5、:齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表,每匹马只赛一场,两数相比,大数为胜,三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为 10,8,6若田忌的三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9 16(4 分)如图,在ABC 中,BAC30,ACB45,AB2,点 P 从点 A 出发沿 AB 方向运动,到达点 B 时停止运动,连结 CP,点 A 关于直线 CP 的对称点为 A,连 结 A C,A P 在 运 动 过 程 中,点 A 到 直 线 AB 距 离 的 最 大 值是 ;点 P 到达点 B 时,线段 AP 扫过的面积为 三、解
6、答题(本题有 8 小题,第 1719 题每题 6 分,第 20,21 题每题 8 分,第 22,23 题每题 10 分,第 24 题 12 分,共 66 分)17(6 分)(1)计算:21+sin30;(2)化简并求值:1,其中 a 18(6 分)小敏与小霞两位同学解方程 3(x3)(x3)2的过程如下框:小敏:两边同除以(x3),得 3x3,则 x6 小霞:移项,得 3(x3)(x3)20,提取公因式,得(x3)(3x3)0 则 x30 或 3x30,解得 x13,x20 你认为他们的解法是否正确?若正确请在框内打“”;若错误请在框内打“”,并写出你的解答过程 19(6 分)如图,在 77
7、的正方形网格中,网格线的交点称为格点,点 A,B 在格点上,每一个小正方形的边长为 1(1)以 AB 为边画菱形,使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可)(2)计算你所画菱形的面积 20(8 分)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前 30 米称为“加速期”,30 米80 米为“中途期”,80 米100 米为“冲刺期”市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程 x(m)之间的观测数据,绘制成曲线如图所示(1)y 是关于 x 的函数吗?为什么?(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?(3)根据如图提供的信息,给小斌提一条训练建议 21(8 分)某市为了解八年级学生视力健
8、康状况,在全市随机抽查了 400 名八年级学生 2021年初的视力数据,并调取该批学生 2020 年初的视力数据,制成如图统计图(不完整):青少年视力健康标准 类别 视力 健康状况 A 视力5.0 视力正常 B 4.9 轻度视力不良 C 4.6视力4.8 中度视力不良 D 视力4.5 重度视力不良 根据以上信息,请解答:(1)分别求出被抽查的 400 名学生 2021 年初轻度视力不良(类别 B)的扇形圆心角度数和 2020 年初视力正常(类别 A)的人数(2)若 2021 年初该市有八年级学生 2 万人,请估计这些学生 2021 年初视力正常的人数比 2020 年初增加了多少人?(3)国家卫
9、健委要求,全国初中生视力不良率控制在 69%以内请估计该市八年级学生2021 年初视力不良率是否符合要求?并说明理由 22(10 分)一酒精消毒瓶如图 1,AB 为喷嘴,BCD 为按压柄,CE 为伸缩连杆,BE 和EF 为导管,其示意图如图 2,DBEBEF108,BD6cm,BE4cm当按压柄BCD 按压到底时,BD 转动到 BD,此时 BDEF(如图 3)(1)求点 D 转动到点 D的路径长;(2)求点 D 到直线 EF 的距离(结果精确到 0.1cm)(参考数据:sin360.59,cos360.81,tan360.73,sin720.95,cos720.31,tan723.08)23(
10、10 分)已知二次函数 yx2+6x5(1)求二次函数图象的顶点坐标;(2)当 1x4 时,函数的最大值和最小值分别为多少?(3)当 txt+3 时,函数的最大值为 m,最小值为 n,若 mn3,求 t 的值 24(12 分)小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后,进一步开展探究活动:将一个矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转(090),得到矩形 ABCD,连结 BD 探究 1如图 1,当 90时,点 C恰好在 DB 延长线上若 AB1,求 BC 的长 探究 2如图 2,连结 AC,过点 D作 DMAC交 BD 于点 M线段 DM 与 DM相等吗?请说明理由 探究 3在探究 2 的条件
11、下,射线 DB 分别交 AD,AC于点 P,N(如图 3),发现线段 DN,MN,PN 存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明 2021 年浙江省嘉兴市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本题有 10 小题,每题 3 分,共 30 分,请选出各题中唯一的正确选项,不选、多选错选,均不得分)12021 年 5 月 22 日,我国自主研发的“祝融号”火星车成功到达火星表面已知火星与地球的最近距离约为 55000000 千米,数据 55000000 用科学记数法表示为()A55106 B5.5107 C5.5108 D0.55108【分析】科学记数法的表示形式为 a10n的形式,
12、其中 1|a|10,n 为整数当原数绝对值10 时,n 是正数【解答】解:550000005.5107 故选:B 2如图是由四个相同的小正方体组成的立体图形,它的俯视图为()A B C D【分析】找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在主视图中【解答】解:从上面看,底层右边是一个小正方形,上层是两个小正方形,右齐 故选:C 3能说明命题“若 x 为无理数,则 x2也是无理数”是假命题的反例是()Ax1 Bx+1 Cx3 Dx【分析】根据题意,只要 x2是有理数,即求出各个选项中 x2的值,再判断即可【解答】解:(1)232,是无理数,不符合题意;(+1)23+2,是无理数,不
13、符合题意;(3)218,是有理数,符合题意;()252,是无理数,不符合题意;故选:C 4已知三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)在反比例函数 y的图象上,其中 x1x20 x3,下列结论中正确的是()Ay2y10y3 By1y20y3 Cy30y2y1 Dy30y1y2【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限,再根据 x1x20 x3即可得出结论【解答】解:反比例函数 y中,k20,函数图象的两个分支分别位于一、三象限,且在每一象限内,y 随 x 的增大而减小 x1x20 x3,A、B 两点在第三象限,C 点在第一象限,y2y10y3 故选:A 5将一张三角形
14、纸片按如图步骤至折叠两次得图,然后剪出图中的阴影部分,则阴影部分展开铺平后的图形是()A等腰三角形 B直角三角形 C矩形 D菱形【分析】对折是轴对称得到的图形,根据最后得到的图形可得是沿对角线折叠 2 次后,剪去一个三角形得到的,按原图返回即可【解答】解:如图,由题意可知,剪下的图形是四边形 BACD,由折叠可知 CAAB,ABC 是等腰三角形,又ABC 和BCD 关于直线 CD 对称,四边形 BACD 是菱形,故选:D 65 月 1 日至 7 日,我市每日最高气温如图所示,则下列说法错误的是()A中位数是 33 B众数是 33 C平均数是 D4 日至 5 日最高气温下降幅度较大【分析】分别确
15、定 7 个数据的中位数、众数及平均数后即可确定正确的选项【解答】解:A、7 个数排序后为 23,25,26,27,30,33,33,位于中间位置的数为27,所以中位数为 27,故 A 错误,符合题意;B、7 个数据中出现次数最多的为 33,所以众数为 33,正确,不符合题意;C、平均数为(23+25+26+27+30+33+33),正确,不符合题意;D、观察统计表知:4 日至 5 日最高气温下降幅度较大,正确,不符合题意,故选:A 7已知平面内有O 和点 A,B,若O 半径为 2cm,线段 OA3cm,OB2cm,则直线AB 与O 的位置关系为()A相离 B相交 C相切 D相交或相切【分析】根
16、据点与圆的位置关系的判定方法进行判断【解答】解:O 的半径为 2cm,线段 OA3cm,OB2cm,即点 A 到圆心 O 的距离大于圆的半径,点 B 到圆心 O 的距离等于圆的半径,点 A 在O 外,点 B 在O 上,直线 AB 与O 的位置关系为相交或相切,故选:D 8为迎接建党一百周年,某校举行歌唱比赛901 班啦啦队买了两种价格的加油棒助威,其中缤纷棒共花费 30 元,荧光棒共花费 40 元,缤纷棒比荧光棒少 20 根,缤纷棒单价是荧光棒的 1.5 倍若设荧光棒的单价为 x 元,根据题意可列方程为()A20 B20 C20 D20【分析】若设荧光棒的单价为 x 元,则缤纷棒单价是 1.5
17、x 元,根据等量关系“缤纷棒比荧光棒少 20 根”可列方程即可【解答】解:若设荧光棒的单价为 x 元,则缤纷棒单价是 1.5x 元,根据题意可得:20 故选:B 9如图,在ABC 中,BAC90,ABAC5,点 D 在 AC 上,且 AD2,点 E 是AB 上的动点,连结 DE,点 F,G 分别是 BC 和 DE 的中点,连结 AG,FG,当 AGFG时,线段 DE 长为()A B C D4【分析】分别过点 G,F 作 AB 的垂线,垂足为 M,N,过点 G 作 GPFN 于点 P,由中位线定理及勾股定理可分别表示出线段 AG 和 FG 的长,建立等式可求出结论【解答】解:如图,分别过点 G,
18、F 作 AB 的垂线,垂足为 M,N,过点 G 作 GPFN 于点 P,四边形 GMNP 是矩形,GMPN,GPMN,BAC90,ABAC5,CAAB,又点 G 和点 F 分别是线段 DE 和 BC 的中点,GM 和 FN 分别是ADE 和ABC 的中位线,GM1,AMAE,FNAC,ANAB,MNANAMAE,PN1,FP,设 AEm,AMm,GPMNm,在 RtAGM 中,AG2(m)2+12,在 RtGPF 中,GF2(m)2+()2,AGGF,(m)2+12(m)2+()2,解得 m3,即 DE3,在 RtADE 中,DE 故选:A 10 已知点 P(a,b)在直线 y3x4 上,且
19、2a5b0,则下列不等式一定成立的是()A B C D【分析】结合选项可知,只需要判断出 a 和 b 的正负即可,点 P(a,b)在直线 y3x4 上,代入可得关于 a 和 b 的等式,再代入不等式 2a5b0 中,可判断出 a 与 b 正负,即可得出结论【解答】解:点 P(a,b)在直线 y3x4 上,3a4b,又 2a5b0,2a5(3a4)0,解得 a0,当 a时,得 b,b,2a5b0,2a5b,故选:D 二、填空题(本题有 6 小题,每题 4 分,共 24 分)11(4 分)已知二元一次方程 x+3y14,请写出该方程的一组整数解 (答案不唯一)【分析】把 y 看做已知数求出 x,确
20、定出整数解即可【解答】解:x+3y14,x143y,当 y1 时,y11,则方程的一组整数解为 故答案为:(答案不唯一)12(4 分)如图,在直角坐标系中,ABC 与ODE 是位似图形,则它们位似中心的坐标是 (4,2)【分析】根据图示,对应点的连线都经过同一点,该点就是位似中心【解答】解:如图,点 G(4,2)即为所求的位似中心 故答案是:(4,2)13(4 分)观察下列等式:11202,32212,53222,按此规律,则第 n 个等式为 2n1 n2(n1)2 【分析】根据题目中的式子可以发现:等号左边是一些连续的奇数,等号右边第一个数是和左边是第几个奇数一样,第二个数比第一个数少 1,
21、然后即可写出第 n 个等式【解答】解:11202,32212,53222,第 n 个等式为 2n1n2(n1)2,故答案为:n2(n1)2 14(4 分)如图,在ABCD 中,对角线 AC,BD 交于点 O,ABAC,AHBD 于点 H,若 AB2,BC2,则 AH 的长为 【分析】在 RtABC 和 RtOAB 中,分别利用勾股定理可求出 BC 和 OB 的长,又 AHOB,可利用等面积法求出 AH 的长【解答】解:如图,ABAC,AB2,BC2,AC2,在ABCD 中,OAOC,OBOD,OAOC,在 RtOAB 中,OB,又 AHBD,OBAHOAAB,即,解得 AH 故答案为:15(4
22、 分)看了田忌赛马故事后,小杨用数学模型来分析:齐王与田忌的上中下三个等级的三匹马记分如表,每匹马只赛一场,两数相比,大数为胜,三场两胜则赢已知齐王的三匹马出场顺序为 10,8,6若田忌的三匹马随机出场,则田忌能赢得比赛的概率为 马匹 姓名 下等马 中等马 上等马 齐王 6 8 10 田忌 5 7 9【分析】列表得出所有等可能的情况,田忌能赢得比赛的情况有 1 种,再由概率公式求解即可【解答】解:由于田忌的上、中等马分别比齐王的中、下等马强,当齐王的三匹马出场顺序为 10,8,6 时,田忌的马按 5,9,7 的顺序出场,田忌才能赢得比赛,当田忌的三匹马随机出场时,双方马的对阵情况如下:双方马的
23、对阵中,只有一种对阵情况田忌能赢,田忌能赢得比赛的概率为 16(4 分)如图,在ABC 中,BAC30,ACB45,AB2,点 P 从点 A 出发沿 AB 方向运动,到达点 B 时停止运动,连结 CP,点 A 关于直线 CP 的对称点为 A,连结 AC,AP在运动过程中,点 A到直线 AB 距离的最大值是 ;点 P到达点 B 时,线段 AP 扫过的面积为 【分析】如图 1 中,过点 B 作 BHAC 于 H解直角三角形求出 CA,当 CAAB 时,点 A到直线 AB 的距离最大,求出 CA,CK可得结论如图 2 中,点 P 到达点 B 时,线段 AP 扫过的面积S扇形ACA2SABC,由此求解
24、即可【解答】解:如图 1 中,过点 B 作 BHAC 于 H 在 RtABH 中,BHABsin301,AHBH,在 RtBCH 中,BCH45,CHBH1,ACCA1+,当 CAAB 时,点 A到直线 AB 的距离最大,设 CA交 AB 的延长线于 K 在 RtACK 中,CKACsin30,AKCACK1+如图 2 中,点 P 到达点 B 时,线段 AP 扫过的面积S扇形ACA2SABC2(1+)1(1+)1 故答案为:,(1+)1 三、解答题(本题有 8 小题,第 1719 题每题 6 分,第 20,21 题每题 8 分,第 22,23 题每题 10 分,第 24 题 12 分,共 66
25、 分)17(6 分)(1)计算:21+sin30;(2)化简并求值:1,其中 a【分析】(1)根据负整数指数幂、算术平方根、特殊角的三角函数值可以解答本题;(2)先通分,然后根据分式的减法法则即可化简题目中的式子,然后将 a 的值代入化简后的式子即可解答本题【解答】解:(1)21+sin30+2 2;(2)1 ,当 a时,原式2 18(6 分)小敏与小霞两位同学解方程 3(x3)(x3)2的过程如下框:小敏:两边同除以(x3),得 3x3,则 x6 小霞:移项,得 3(x3)(x3)20,提取公因式,得(x3)(3x3)0 则 x30 或 3x30,解得 x13,x20 你认为他们的解法是否正
26、确?若正确请在框内打“”;若错误请在框内打“”,并写出你的解答过程【分析】小敏:没有考虑 x30 的情况;小霞:提取公因式时出现了错误 利用因式分解法解方程即可【解答】解:小敏:;小霞:正确的解答方法:移项,得 3(x3)(x3)20,提取公因式,得(x3)(3x+3)0 则 x30 或 3x+30,解得 x13,x26 19(6 分)如图,在 77 的正方形网格中,网格线的交点称为格点,点 A,B 在格点上,每一个小正方形的边长为 1(1)以 AB 为边画菱形,使菱形的其余两个顶点都在格点上(画出一个即可)(2)计算你所画菱形的面积 【分析】(1)先以 AB 为边画出一个等腰三角形,再作对称
27、即可;(2)根据菱形的面积等于对角线乘积的一半可求得【解答】解:(1)如下图所示:四边形 ABCD 即为所画菱形,(答案不唯一,画出一个即可)(2)图 1 菱形面积 S266,图 2 菱形面积 S248,图 3 菱形面积 S()210 20(8 分)根据数学家凯勒的“百米赛跑数学模型”,前 30 米称为“加速期”,30 米80 米为“中途期”,80 米100 米为“冲刺期”市田径队把运动员小斌某次百米跑训练时速度y(m/s)与路程 x(m)之间的观测数据,绘制成曲线如图所示(1)y 是关于 x 的函数吗?为什么?(2)“加速期”结束时,小斌的速度为多少?(3)根据如图提供的信息,给小斌提一条训
28、练建议 【分析】(1)根据函数的定义,可直接判断;(2)由图象可知,“加速期”结束时,即跑 30 米时,小斌的速度为 10.4m/s(3)答案不唯一建议合理即可【解答】解:(1)y 是 x 的函数,在这个变化过程中,对于 x 的每一个确定的值,y 都有唯一确定的值与之对应(2)“加速期”结束时,小斌的速度为 10.4m/s(3)答案不唯一例如:根据图象信息,小斌在 80 米左右时速度下降明显,建议增加耐力训练,提高成绩 21(8 分)某市为了解八年级学生视力健康状况,在全市随机抽查了 400 名八年级学生 2021年初的视力数据,并调取该批学生 2020 年初的视力数据,制成如图统计图(不完整
29、):青少年视力健康标准 类别 视力 健康状况 A 视力5.0 视力正常 B 4.9 轻度视力不良 C 4.6视力4.8 中度视力不良 D 视力4.5 重度视力不良 根据以上信息,请解答:(1)分别求出被抽查的 400 名学生 2021 年初轻度视力不良(类别 B)的扇形圆心角度数和 2020 年初视力正常(类别 A)的人数(2)若 2021 年初该市有八年级学生 2 万人,请估计这些学生 2021 年初视力正常的人数比 2020 年初增加了多少人?(3)国家卫健委要求,全国初中生视力不良率控制在 69%以内请估计该市八年级学生2021 年初视力不良率是否符合要求?并说明理由【分析】(1)利用
30、2021 年初视力不良的百分比乘 360即可求解(2)分别求出 2021、2020 年初视力正常的人数即可求解(3)用 131.25%即可得该市八年级学生 2021 年视力不良率,即可判断【解答】解:(1)被抽查的 400 名学生 2021 年初轻度视力不良的扇形圆心角度数360(131.25%24.5%32%)44.1 该批 400 名学生 2020 年初视力正常人数4004891148113(人)(2)该市八年级学生 221 年初视力正常人数2000031.25%6250(人)这些学生 2020 年初视力正常的人数(人)增加的人数62505650600(人)(3)该市八年级学生 2021
31、年视力不良率131.25%68.75%68.75%69%该市八年级学生 2021 年初视力良率符合要求 22(10 分)一酒精消毒瓶如图 1,AB 为喷嘴,BCD 为按压柄,CE 为伸缩连杆,BE 和EF 为导管,其示意图如图 2,DBEBEF108,BD6cm,BE4cm当按压柄BCD 按压到底时,BD 转动到 BD,此时 BDEF(如图 3)(1)求点 D 转动到点 D的路径长;(2)求点 D 到直线 EF 的距离(结果精确到 0.1cm)(参考数据:sin360.59,cos360.81,tan360.73,sin720.95,cos720.31,tan723.08)【分析】(1)由 B
32、DEF,求出DBE72,可得DBD36,根据弧长公式即可求出点 D 转动到点 D的路径长为;(2)过 D 作 DGBD于 G,过 E 作 EHBD于 H,RtBDG 中,求出 DGBDsin363.54,RtBEH 中,HE3.80,故 DG+HE7.3,即点 D 到直线 EF 的距离为 7.3cm,【解答】解:BDEF,BEF108,DBE180BEF72,DBE108,DBDDBEDBE1087236,BD6,点 D 转动到点 D的路径长为;(2)过 D 作 DGBD于 G,过 E 作 EHBD于 H,如图:RtBDG 中,DGBDsin3660.593.54,RtBEH 中,HEBEsi
33、n7240.953.80,DG+HE3.54+3.807.347.3,BDEF,点 D 到直线 EF 的距离约为 7.3cm,答:点 D 到直线 EF 的距离约为 7.3cm 23(10 分)已知二次函数 yx2+6x5(1)求二次函数图象的顶点坐标;(2)当 1x4 时,函数的最大值和最小值分别为多少?(3)当 txt+3 时,函数的最大值为 m,最小值为 n,若 mn3,求 t 的值【分析】(1)解析式化成顶点式即可求得;(2)根据二次函数图象上点的坐标特征即可求得最大值和最小值;(3)分三种情况讨论,根据二次函数的性质得到最大值 m 和最小值 n,进而根据 mn3 得到关于 t 的方程,
34、解方程即可【解答】解:(1)yx2+6x5(x3)2+4,顶点坐标为(3,4);(2)顶点坐标为(3,4),当 x3 时,y最大值4,当 1x3 时,y 随着 x 的增大而增大,当 x1 时,y最小值0,当 3x4 时,y 随着 x 的增大而减小,当 x4 时,y最小值3 当 1x4 时,函数的最大值为 4,最小值为 0;(3)当 txt+3 时,对 t 进行分类讨论,当 t+33 时,即 t0,y 随着 x 的增大而增大,当 xt+3 时,m(t+3)2+6(t+3)5t2+4,当 xt 时,nt2+6t5,mnt2+4(t2+6t5)6t+9,6t+93,解得 t1(不合题意,舍去),当
35、0t3 时,顶点的横坐标在取值范围内,m4,i)当 0t时,在 xt 时,nt2+6t5,mn4(t2+6t5)t26t+9,t26t+93,解得 t13,t23+(不合题意,舍去);ii)当t3 时,在 xt+3 时,nt2+4,mn4(t2+4)t2,t23,解得 t1,t2(不合题意,舍去),当 t3 时,y 随着 x 的增大而减小,当 xt 时,mt2+6t5,当 xt+3 时,n(t+3)2+6(t+3)5t2+4,.mnt2+6t5(t2+4)6t9,6t93,解得 t2(不合题意,舍去),综上所述,t3或 24(12 分)小王在学习浙教版九上课本第 72 页例 2 后,进一步开展
36、探究活动:将一个矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转(090),得到矩形 ABCD,连结 BD 探究 1如图 1,当 90时,点 C恰好在 DB 延长线上若 AB1,求 BC 的长 探究 2如图 2,连结 AC,过点 D作 DMAC交 BD 于点 M线段 DM 与 DM相等吗?请说明理由 探究 3在探究 2 的条件下,射线 DB 分别交 AD,AC于点 P,N(如图 3),发现线段 DN,MN,PN 存在一定的数量关系,请写出这个关系式,并加以证明 【分析】(1)如图 1,设 BCx,由旋转的性质得出 ADADBCx,DCABAB1,证明DCBADB,由相似三角形的性质得出,由比例线段得出方程
37、,求出 x 的值即可得出答案;(2)连接 DD,证明ACDDAB(SAS),由全等三角形的性质得出DACADB,由等腰三角形的性质得出ADDADD,证出MDDMDD,则可得出结论;(3)连接 AM,证明ADMADM(SSS),由全等三角形的性质得出MADMAD,得出 MNAN,证明NPANAD,由相似三角形的性质得出,则可得出结论 【解答】解:(1)如图 1,设 BCx,矩形 ABCD 绕点 A 顺时针旋转 90得到矩形 ABCD,点 A,B,D在同一直线上,ADADBCx,DCABAB1,DBADABx1,BADD90,DCDA,又点 C在 DB 的延长线上,DCBADB,解得 x1,x2(不合题意,舍去),BC(2)DMDM 证明:如图 2,连接 DD,DMAC,ADMDAC,ADAD,ADCDAB90,DCAB,ACDDAB(SAS),DACADB,ADBADM,ADAD,ADDADD,MDDMDD,DMDM;(3)关系式为 MN2PNDN 证明:如图 3,连接 AM,DMDM,ADAD,AMAM,ADMADM(SSS),MADMAD,AMNMAD+NDA,NAMMAD+NAP,AMNNAM,MNAN,在NAP 和NDA 中,ANPDNA,NAPNDA,NPANAD,AN2PNDN,MN2PNDN