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1、2021年四川省遂宁市中考数学试卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。）1（4分）（2021遂宁）的绝对值是AB2021CD2（4分）（2021遂宁）下列计算中，正确的是ABCD3（4分）（2021遂宁）如图所示的几何体是由6个完全相同的小正方体搭成，其主视图是ABCD4（4分）（2021遂宁）国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为ABCD5（4分）（2021遂宁）如图，在中，点、分别是、的中点，若的面积是，则四边形的面积为ABCD6（4分）（202
2、1遂宁）下列说法正确的是A角平分线上的点到角两边的距离相等B平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C在代数式，985，中，是分式D若一组数据2、3、1、5的平均数是3，则这组数据的中位数是47（4分）（2021遂宁）不等式组的解集在数轴上表示正确的是ABCD8（4分）（2021遂宁）如图，在矩形中，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是A1BCD9（4分）（2021遂宁）如图，在中，以为直径的分别与，交于点，过点作，垂足为点，若的半径为，则阴影部分的面积为ABCD10（4分）（2021遂宁）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；若方程有四个根，则这四个根的和为2其中正确
3、的结论有A2个B3个C4个D5个二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11（4分）（2021遂宁）若，则12（4分）（2021遂宁）如图，在中，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是13（4分）（2021遂宁）已知关于，的二元一次方程组满足，则的取值范围是14（4分）（2021遂宁）下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第个图形共有210个小球15（4分）（2021遂宁）如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下五个结论：；若，则你认为其中正确是（填写序号）三、计算或解答题（本大题共10个小题，共
4、90分）16（7分）（2021遂宁）计算：17（7分）（2021遂宁）先化简，再求值：，其中是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且是整数18（8分）（2021遂宁）如图，在中，对角线与相交于点，过点的直线与、的延长线分别交于点、（1）求证：；（2）请再添加一个条件，使四边形是菱形，并说明理由19（9分）（2021遂宁）我市于2021年5月日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10了解很少1
5、60.32基本了解很了解4合计1（1）根据以上信息可知：，；（2）补全条形统计图；（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同20（9分）（2021遂宁）已知平面直角坐标系中，点，和直线（其中，不全为，则点到直线的距离可用公式来计算例如：求点到直线的距离，因为直线可化为，其中，所以点到直线的距离为：根据以上材料，解答下列问题：（1）求点到直线的距离；（2）在（1）的条件下，的半径，判断与直线的位置关系，若
6、相交，设其弦长为，求的值；若不相交，说明理由21（9分）（2021遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设恤的销售单价提高元（1）服装店希望一个月内销售该种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？22（9分）（2021遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在处看到、处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向，他从处走了
7、20米到达处，又在处测得在北偏东方向（1）求的度数；（2）求两颗银杏树、之间的距离（结果保留根号）23（10分）（2021遂宁）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标；（3）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围24（10分）（2021遂宁）如图，的半径为1，点是的直径延长线上的一点，为上的一点，（1）求证：直线是的切线；（2）求的面积；（3）点在上运动（不与、重合），过点作的垂线，与的延长线交于点当点运动到与点关于直径对称时，求的长；当点运动到什么位置时，取到最大值，并求出此
8、时的长25（12分）（2021遂宁）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点（1）求抛物线的解析式和的值；（2）在轴上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线上有、两点在的左侧），且，若将线段在直线上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）2021年四川省遂宁市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合题目要求。）1（4分）（2021
9、遂宁）的绝对值是AB2021CD【分析】根据绝对值的代数意义即可求解【解答】解：的绝对值是2021，故选：【点评】本题考查了绝对值的代数意义，负数的绝对值等于它的相反数，这是解题的关键2（4分）（2021遂宁）下列计算中，正确的是ABCD【分析】根据完全平方公式，同底数幂的除法，乘法分配律，合并同类项解答即可【解答】解：选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项不符合题意；选项，原式，故该选项符合题意；故选：【点评】本题考查了完全平方公式，同底数幂的除法，乘法分配律，合并同类项，注意完全平方公式的结构特点3（4分）（2021遂宁）如图所示的几何体是由6
10、个完全相同的小正方体搭成，其主视图是ABCD【分析】根据简单组合体的三视图的意义画出相应的图形即可【解答】解：该组合体的三视图如图，故选：【点评】本题考查简单组合体的三视图，理解视图的意义是正确判断的前提4（4分）（2021遂宁）国家统计局2021年5月11日公布了第七次全国人口普查结果，全国总人口约14.1亿人，将14.1亿用科学记数法表示为ABCD【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，为整数，且比原来的整数位数少1，据此判断即可【解答】解：14.1亿故选：【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，确定与的值是解题的关键5（4分）（2021遂宁）如图，
11、在中，点、分别是、的中点，若的面积是，则四边形的面积为ABCD【分析】由都是中点，可得是的中位线，则，则，且相似比是，则的面积和的面积比是，则的面积：四边形的面积，结合已知条件，可得结论【解答】解：如图，在中，点、分别是、的中点，且，的面积：的面积，的面积：四边形的面积，的面积是，四边形的面积是，故选：【点评】本题主要考查三角形中位线的性质与判定，相似三角形的性质与判定，结合背景图形，找到已知和所求面积的关系是解题关键6（4分）（2021遂宁）下列说法正确的是A角平分线上的点到角两边的距离相等B平行四边形既是轴对称图形，又是中心对称图形C在代数式，985，中，是分式D若一组数据2、3、1、5的
12、平均数是3，则这组数据的中位数是4【分析】根据角平分线性质，平行四边形特点、分式定义、中位数定义即可判断【解答】解：、根据角平分线性质可得：角平分线上的点到角两边的距离相等，故正确，符合题意、平行四边形不是轴对称图形，但是中心对称图形，故错误，不符合题意、代数式，985，中，是分式，故错误，不符合题意、一组数据2、3、1、5的平均数是3，则，这组数据的中位数是3，故错误，不符合题意故选：【点评】本题考查角平分线性质，平行四边形特点、分式定义、中位数定义等知识，关键在于掌握其定义或者性质7（4分）（2021遂宁）不等式组的解集在数轴上表示正确的是ABCD【分析】分别求出每一个不等式的解集，继而可
13、得答案【解答】解：解不等式，得：，解不等式，得：，不等式组的解集为，在数轴上表示为：故选：【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键8（4分）（2021遂宁）如图，在矩形中，点为上一点，把沿翻折，点恰好落在边上的处，则的长是A1BCD【分析】设，则由折叠性质可知，求出，在中，即，即可求解【解答】解：设，则由折叠性质可知，在中，在中，即解得故选：【点评】本题考查了矩形，熟练掌握矩形的性质以及勾股定理是解题的关键9（4分）（2021遂宁）如图，在中，以为直径的分别与，交于点，过点作，垂足为
14、点，若的半径为，则阴影部分的面积为ABCD【分析】连接，先通过直径所对是圆周角是直角，证出，从而得出，再通过计算即可【解答】解：连接，为直径，作于，在中，故选：【点评】本题考查了圆周角定理，等腰三角形的性质，以及扇形的面积计算等知识，求出扇形的圆心角度数是解决问题的关键10（4分）（2021遂宁）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：；若方程有四个根，则这四个根的和为2其中正确的结论有A2个B3个C4个D5个【分析】由二次函数图象性质知，开口向下，则再结合对称轴，得据二次函数图象与轴正半轴相交得由于二次函数图象与轴交于不同两点，则【解答】解：二次函数图象性质知，开口向下，则再结合对称轴，
15、得据二次函数图象与轴正半轴相交得错二次函数图象与轴交于不同两点，则错，又当时，即正确要使成立，只须成立即当时的值大于当时的值成立由于时函数有最大值，所以上述式子成立正确将轴下方二次函数图象翻折到轴上方，则与直线有四个交点即可由二次函数图像的轴对称性知：关于对称轴对称的两个根的和为2，四个根的和为4故错综上：正确，故选：【点评】本题考查二次函数图象性质，较为综合需要对二次函数各项系数对图象的理解透彻，同时需要理解二次函数与方程的关系会用数形结合的思想去解题二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分）11（4分）（2021遂宁）若，则【分析】直接利用非负数的性质得出，的值，进而得出答案【解
16、答】解：，解得：，故故答案为：【点评】此题主要考查了非负数的性质，正确得出，的值是解题关键12（4分）（2021遂宁）如图，在中，直线垂直平分，垂足为，交于点，则的周长是12【分析】依据垂直平分线的性质得周长转化为即可求解【解答】解：垂直平分，的周长是12故答案为：12【点评】本题主要考查中垂线性质：中垂线上一点到线段两端点距离相等将所求周长转化为的和即可13（4分）（2021遂宁）已知关于，的二元一次方程组满足，则的取值范围是【分析】根据方程组的特点，用第一个方程减第二个方程，即可得到，再根据，即可得到，从而可以求得的取值范围【解答】解：，得，解得，故答案为：【点评】本题考查解一元一次不等式
17、、二元一次方程组的解，解答本题的关键是明确利用加减消元法得到的值14（4分）（2021遂宁）下面图形都是由同样大小的小球按一定规律排列的，依照此规律排列下去，第20个图形共有210个小球【分析】观察图形，找出图形变化的规律即可【解答】解：第1个图中有1个小球，第2个图中有3个小球，第3个图中有6个小球，第4个图中有10个小球，照此规律，第个图中有个小球，当时，解之得：，（舍，故答案为：20【点评】本题考查了规律型问题，解题的关键是仔细观察图形并找到小球个数的规律15（4分）（2021遂宁）如图，正方形中，点是边上一点，连结，以为对角线作正方形，边与正方形的对角线相交于点，连结，有以下五个结论：
18、；若，则你认为其中正确是（填写序号）【分析】由，可知；根据和都是等腰直角三角形，可得，从而得到；由相似知：，可得；由，可证，根据对应边成比例即可；若，设，则，由勾股定理知，借助的证明即可解答【解答】解：正方形和正方形，和都是等腰直角三角形，；正确，符合题意；和都是等腰直角三角形，又，正确，符合题意；，；正确，符合题意；，正确，符合题意；，设，在中，由勾股定理知：，错误，不符合题意；故答案为：【点评】本题考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决问题的关键三、计算或解答题（本大题共10个小题，共90分）16（7分）（2021遂宁）计算：【分析】直接利用负整数指数幂
19、的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、二次根式的性质分别化简得出答案【解答】解：原式【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键17（7分）（2021遂宁）先化简，再求值：，其中是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，且是整数【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将的值代入原式即可求出答案【解答】解：原式，是已知两边分别为2和3的三角形的第三边长，即，为整数，、3、4，由分式有意义的条件可知：、2、3，原式【点评】本题考查分式的化简运算，解题的关键是熟练运用分式的运算法则以及分式有意义的条件，本题属于基础题型18（8分）（2021遂宁）如图，在中，对角线与相
20、交于点，过点的直线与、的延长线分别交于点、（1）求证：；（2）请再添加一个条件，使四边形是菱形，并说明理由【分析】（1）根据平行四边形的性质，求得，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）连结，根据平行四边形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论【解答】证明：（1）四边形是平行四边形，在和中，；（2）当时，四边形是菱形，理由如下：如图：连结，四边形是平行四边形，四边形是平行四边形，四边形是菱形【点评】本题主要考查了全等三角形的性质与判定、平行四边形的性质以及菱形的判定，首先利用平行四边形的性质构造全等条件，然后利用全等三角形的性质解决问题19（9分）（2021遂宁
21、）我市于2021年5月日在遂宁观音湖举行了“龙舟赛”，吸引了全国各地选手参加现对某校初中1000名学生就“比赛规则”的了解程度进行了抽样调查（参与调查的同学只能选择其中一项），并将调查结果绘制出两幅不完整的统计图表，请根据统计图表回答下列问题：类别频数频率不了解10了解很少160.32基本了解很了解4合计1（1）根据以上信息可知：50，；（2）补全条形统计图；（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有人；（4）“很了解”的4名学生是三男一女，现从这4人中随机抽取两人去参加全市举办的“龙舟赛”知识竞赛，请用画树状图或列表的方法说明，抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率是否相同【
22、分析】（1）由“了解很少”的人数及其对应频率可得被调查的总人数，再根据频数之和等于总人数可得的值，由频率频数总人数可得、的值；（2）根据以上所求结果即可补全条形图；（3）总人数乘以样本中“基本了解”人数所占比例即可；（4）记4名学生中3名男生分别为，一名女生为，列表得出所有等可能结果，从中找到抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的结果数，求出其概率即可得出答案【解答】解：（1），故答案为：50、20、0.2、0.08；（2）补全条形图如下：（3）估计该校1000名初中学生中“基本了解”的人数约有（人，故答案为：400；（4）记4名学生中3名男生分别为，一名女生为，列表如下：，从4人中任取两人的所
23、有机会均等结果共有12种，抽到两名学生均为男生包含：、共6种等可能结果，（抽到两名学生均为男生），抽到一男一女包含：、共六种等可能结果，（抽到一男一女），故抽到两名学生均为男生和抽到一男一女的概率相同【点评】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有可能的结果求出，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式求事件或的概率也考查了样本估计总体、扇形统计图和条形统计图20（9分）（2021遂宁）已知平面直角坐标系中，点，和直线（其中，不全为，则点到直线的距离可用公式来计算例如：求点到直线的距离，因为直线可化为，其中，所以点到直线的距离为：根据以上材料，解答下列问题：（1）求点到
24、直线的距离；（2）在（1）的条件下，的半径，判断与直线的位置关系，若相交，设其弦长为，求的值；若不相交，说明理由【分析】（1）直接利用新定义点到直线的距离公式求解，即可得出结论；（2）利用圆心到直线的距离与半径的大小关系，判断出直线与相交，再利用垂径定理得出，最后用勾股定理求解，即可得出结论【解答】解：（1）可变形为，则其中，由公式得，点到直线的距离，点到直线的距离为3；（2）如图，由（1）可知：圆心到直线的距离，圆的半径，直线与相交，两交点记作，连接，过点作于，则，在中，根据勾股定理得，弦长【点评】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，点到直线的距离公式，垂径定理，勾股定理，理解和运用新定
25、义是解本题的关键21（9分）（2021遂宁）某服装店以每件30元的价格购进一批恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设恤的销售单价提高元（1）服装店希望一个月内销售该种恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问恤的销售单价应提高多少元？（2）当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种恤获得的利润最大？最大利润是多少元？【分析】（1）设销售单价提高元，根据题意列出方程求解即可；（2）设销售利润为元，求得函数关系式，利用二次函数的性质即可解决问题【解答】解：（1）设恤的销售单价提高元，由题意列方程得：，解得：或，
26、要尽可能减少库存，不合题意，应舍去恤的销售单价应提高2元，答：恤的销售单价应提高2元；（2）设利润为元，由题意可得：，当时，元，销售单价：（元，答：当服装店将销售单价定为50元时，得到最大利润是4000元【点评】本题考查了二次函数及一元二次方程的应用，解题的关键是利用利润单件利润销售量列出二次函数解析式22（9分）（2021遂宁）小明周末与父母一起到遂宁湿地公园进行数学实践活动，在处看到、处各有一棵被湖水隔开的银杏树，他在处测得在北偏西方向，在北偏东方向，他从处走了20米到达处，又在处测得在北偏东方向（1）求的度数；（2）求两颗银杏树、之间的距离（结果保留根号）【分析】（1）根据平行线的性质得
27、到，于是得到；（2）过点作于根据垂直的定义得到，在中，根据三角函数的定义得到米，解直角三角形得到（米，（米，于是得到结论【解答】解：（1）由题意得：，且，且，；（2）过点作于，在中，米，（米，在中，（米，（米，（米，米，答：两颗银杏树、之间的距离为米【点评】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，解决此题的关键是构建含特殊角的直角三角形23（10分）（2021遂宁）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点和，与轴交于点（1）求一次函数和反比例函数的解析式；（2）在轴上取一点，当的面积为3时，求点的坐标；（3）将直线向下平移2个单位后得到直线，当函数值时，求的取值范围【分析】（1）用待定系数法即可
28、求解；（2）由且，即可求解；（3）如图，设与的图像交于，两点，求出，再观察函数图象即可求解【解答】解：（1）过点，即反比例函数：，当时，即，过和，则，解得，；（2）当时，代入中得，即，且，或；（3）如图，设与的图像交于，两点，向下平移两个单位得且，联立，解得或，或【点评】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的性质、图象的平移、面积的计算等，有一定的综合性，难度不大24（10分）（2021遂宁）如图，的半径为1，点是的直径延长线上的一点，为上的一点，（1）求证：直线是的切线；（2）求的面积；（3）点在上运动（不与、重合），过点作的垂线，与的延长线交于点当点运动到与点关于直径对称时，求的
29、长；当点运动到什么位置时，取到最大值，并求出此时的长【分析】（1）由等腰三角形的性质求出，求出，则可求出答案；（2）证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，作于点，则，由勾股定理求出的长，由三角形的面积公式可求出答案；（3）由垂径定理可求出，由直角三角形的性质可求出答案；由锐角三角函数的定义及直角三角形的性质可求出答案【解答】（1）证明：连接，如图1，是半径，直线是的切线；（2）解：，是等边三角形，作于点，则，如图2，（3）当点运动到与点关于直径对称时，于点，如图3，为的直径，点在上运动过程中，在中，当最大时，取得最大值，当为直径，即时，最大，最大值为【点评】本题是圆的综合题，考查了的切线的
30、判定，等边三角形的判定与性质，垂径定理，直角三角形性质，轴对称的性质，熟练掌握切线的判定及直角三角形性质是解题的关键25（12分）（2021遂宁）如图，已知二次函数的图象与轴交于和两点，与轴交于，对称轴为直线，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点，与对称轴交于点（1）求抛物线的解析式和的值；（2）在轴上是否存在点，使得以、为顶点的三角形与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，试说明理由；（3）直线上有、两点在的左侧），且，若将线段在直线上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长会达到最小，请求出周长的最小值（结果保留根号）【分析】（1）根据对称性求出点的坐标，设抛物线的解析式为，再利用待定
31、系数法可得结论（2）构建方程组求出点的坐标，分两种情形：过点作轴于可证，推出过点作交轴于，同法可证，求出可得结论（3）因为，为定点，推出线段的长为定值，推出当的和最小时，四边形的周长最小，如图2中，画出直线，将点向左平移2个单位得到，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，过点作交直线于点，由作图可知，推出，此时的值最小，利用勾股定理求出，即可解决问题【解答】解：（1）抛物线的对称轴，与轴的交点为，可以假设抛物线的解析式为，把代入得到，抛物线的解析式为直线经过点，（2）如图1中，直线的解析式为交轴于，与抛物线交于点，由，解得即点，或，过点作轴于，过点作交轴于，同法可证，综上所述，满足条件的点的坐标为或（3），为定点，线段的长为定值，当的和最小时，四边形的周长最小，如图2中，画出直线，将点向左平移2个单位得到，作点关于直线的对称点，连接与直线交于点，过点作交直线于点，由作图可知，三点共线，此时的值最小，点为直线与的交点，如图，延长交线段于，直线，在中，在中，四边形的周长的最小值【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题，属于中考压轴题