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1、中国人民大学附属中学中国人民大学附属中学1.3.1利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数的单调性复习复习 1.函数的单调性函数的单调性:对于任意的两个数对于任意的两个数x1，x2I，且当，且当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么函数，那么函数f(x)就是区间就是区间I上的上的增函数增函数.对于任意的两个数对于任意的两个数x1，x2I，且当，且当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么函数，那么函数f(x)就就是区间是区间I上的上的减函数减函数.2.导数的概念及其四则运算导数的概念及其四则运算引入新课引入新课 竖直上抛一个小沙袋，沙袋竖直上抛一个小沙袋，沙袋的高度的高度
2、h是时间是时间t的函数，设的函数，设h=h(t)，其图象如图所示。，其图象如图所示。横轴表示时间横轴表示时间t，纵轴表示沙袋的高度，纵轴表示沙袋的高度h,设沙袋的最高点为设沙袋的最高点为A，其横坐标为，其横坐标为t=t0.先考察沙袋在区间先考察沙袋在区间(a，t0)的运动情况：的运动情况：根据生活经验，我们知道，在这个区间根据生活经验，我们知道，在这个区间内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速内，沙袋向上运动，其竖直向上的瞬时速度大于度大于0，即在区间即在区间(a，t0)，我们说在此区间内，函数我们说在此区间内，函数h=h(t)是增函数是增函数.再考察沙袋在区间再考察沙袋在区间(t0，b)的运动
3、情况：的运动情况：在这个区间内，沙袋向下运在这个区间内，沙袋向下运动，其竖直向上的瞬时速度动，其竖直向上的瞬时速度小于小于0，即在区间，即在区间(t0，b)，我们说在此区间内，函数我们说在此区间内，函数h=h(t)是减函数。是减函数。用函数的导数判断函数单调性的法则：用函数的导数判断函数单调性的法则：1如果在区间如果在区间(a，b)内，内，f(x)0，则，则f(x)在此区间是增函数，在此区间是增函数，(a，b)为为f(x)的的单单调增区间调增区间；2如果在区间如果在区间(a，b)内，内，f(x)0时，时，s(t)是增函数；是增函数；当当v(t)=s(t)0，则，则f(x)在这个区间上是在这个区
4、间上是增函数增函数；如果函数如果函数y=f(x)在在x的某个开区间内，总的某个开区间内，总有有f(x)0，解此不等式得，解此不等式得 或或因此，区间因此，区间 为为f(x)的单调增区间；的单调增区间；令令3x28x+10，x20，0.即即f(x)0，f(x)=在在(0，+)上是减函数上是减函数.例例5求函数求函数y=x2(1x)3的单调区间的单调区间.解：解：y=x2(1x)3 =2x(1x)3+x23(1x)2(1)=x(1x)22(1x)3x =x(1x)2(25x)令令x(1x)2(25x)0，解得，解得0 x .y=x2(1x)3的单调增区间是的单调增区间是(0，)令令x(1x)2(2
5、5x)0，解得解得x0或或x 且且x1.x=1为拐点，为拐点，y=x2(1x)3的单调减区间是的单调减区间是 (，0)，(，+)练习题练习题1函数函数y=3xx3的单调增区间是的单调增区间是()(A)(0，+)(B)(，1)(C)(1，1)(D)(1，+)C2设设f(x)=x (x0,即即f(x)0,函数函数f(x)=ln(cosx)在区间在区间(,0)上是上是增函数。增函数。8当当x1时，证明不等式：时，证明不等式：证明：设证明：设f(x)=显然，显然，f(x)在在1，)上连续，且上连续，且f(1)=0 f(x)=x1,0，于是，于是f(x)0.故故f(x)是是1，+)上的增函数，应有：上的增函数，应有：当当x1时，时，f(x)f(1)=0，即当即当x1时，时，