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1、概率与数理统计重点摘要 1、正态分布的计算：()()()XF xP Xx。2、随机变量函数的概率密度：X是服从某种分布的随机变量，求()Yf X的概率密度：()()()()YXfyfx h yh y。（参见 P6672）3、分布函数(,)(,)xyF x yf u v dudv 具有以下基本性质：、是变量 x，y 的非降函数；、0(,)1F x y，对于任意固定的 x，y 有：(,)(,)0FyF x；、(,)F x y关于 x 右连续，关于 y 右连续；、对于任意的11221212(,),(,),x yxyxxyy，有下述不等式成立：22122111(,)(,)(,)(,)0F xyF x
2、yF xyF x y 4、一个重要的分布函数：1(,)(arctan)(arctan)23xyF x y的概率密度为：22226(,)(,)(4)(9)f x yF x yx yxy 5、二维随机变量的边缘分布：边缘概率密度：()(,)()(,)XYfxf x y dyfyf x y dx 边缘分布函数：()(,)(,)()(,)(,)xXyYFxF xf u y dy duFyFyf x v dx dv 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。6、随机变量的独立性：若(,)()()XYF x yFx Fy则称随机变量 X，Y 相互独立。简称 X 与 Y 独立。7、两个独立随机变量之和的概率密度
3、：()()()()()ZXYYXfzfx fzx dxfy fzy dy其中 ZXY 8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即22221212(,ZaXbYN abab。9、期望的性质：（3）、()()()E XYE XE Y；（4）、若 X，Y 相互独立，则()()()E XYE X E Y。10、方差：22()()()D XE XE X。若 X，Y 不相关，则()()()D XYD XD Y，否则()()()2(,)D XYD XD YCov X Y，()()()2(,)D XYD XD YCov X Y 11、协方差：(,)()()Cov X YE XE XYE Y，若 X，
4、Y 独立，则(,)0Cov X Y，此时称：X 与 Y 不相关。12、相关系数：(,)(,)()()()()XYCov X YCov X YXYD XD Y，1XY，当且仅当 X 与 Y 存在线性关系时1XY，且1,b0;1,b0XY 当 当。13、k 阶原点矩：()kkvE X，k 阶中心矩：()kkE XE X。14、切比雪夫不等式：22()()(),()1D XD XP XE XP XE X 或。贝努利大数定律：0lim1nmPpn。15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律：因2111niiPXnn，所以011lim1niniPXn。16、独立同分布序列的中心极限定理：(1)、当 n 充分
5、大时，独立同分布的随机变量之和1nniiZX的分布近似于正态分布2(,)N nn。(2)、对于12,.nXXX的平均值11niiXXn，有11()()niinE XE Xnn，2211()()niinD XD Xnnn，即独立同分布的随机变量的均值当 n 充分大时，近似服从正态分布()Nn。(3)、由上可知：lim()()()()nnnP aZbbaP aZbba 。17、棣莫弗拉普拉斯中心极限定理：设 m 是 n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，p 是事件 A 发生的概率，则对任意x,lim()nmnpPxxnpq，其中1qp。(1)、当 n 充分大时，m 近似服从正态分布，()N n
6、p npq。(2)、当 n 充分大时，mn近似服从正态分布，(,)pqN pn。18、参数的矩估计和似然估计：(参见 P200)19、正态总体参数的区间估计：所估参数 条件 估计函数 置信区间 已知 xun,xuxunn 未知 xtns(1),(1)ssxtnxtnnn 未知 22(1)ns 22221(1)(1),(1)(1)nsnsnn 12 2212 未知 121212222112212()()(1)(1)1wwxyn ntsnnnsnssnn其中 121211()(2)wxytnnsnn 2122 1,未知 22112222sFs 2222121212121(1,1)(1,1)ssssFnnFnn，20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见 P243 和 P248。