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1、简单的线性规划问题教学设计 广平一中 王晶晶 一、教学课题：人教 A 版数学必修五第三章第 二、设计要点：线性规划是优化的具体模型之一，二元一次不等式有丰富的实际背景，是刻画平面区域的重要工具。本节是在学生已经学习了二元一次不等式组所表示的平面区域的基础上，对其实际应用进一步的研究。因此，本节课的设计是以学生思考为主，引导学生完成“图解法”的学习。三、教学目标：1知识与技能：了解线性规划的意义以及约束条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能应用它解决一些简单的实际问题；2过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力；3情态
2、与价值：培养观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学思想，提高“建模”和解决实际问题的能力。四、教学重点、难点：重点：用图解法解决简单的线性规划问题。难点：准确求得线性规划问题的最优解。五、教学方法与手段：教学方法：启发式教学 教学手段：多媒体 六、教学过程：教学过程 教师活动 学生活动 设计意图 新 课 引 入 在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。下面我们就来看有关生产安排的一个问题。开门见山告诉学生本节从实际问题出发，“勾起”学生们的好奇心。提 出 问 题 某工厂用 A、B 两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用 4 个A 配件并耗时
3、 1h，每生产一件乙产品使用 4 个 B 配件并耗时 2h，该厂每天最多可从配件厂获得 16 个 A 配件和 12 个 B配件，按每天工作 8h 计算，该厂所有可能的日生产安排是什么 先让学生自己列出满足条件的不等式组并根据所列出的不等式组画出平面区域。让学生自己试着解决问题，提高他们的动手能力。把实际问题转化为数学问题，这是“建模”的第一步。温故而知新。对上节知识的再现。学生通过思考，自己解决问题，产生成功的喜悦感，增强学习的自信心。解 决 问 题 （1）用不等式组表示问题中的限制条件：解：设甲、乙两种产品分别生产yx,件由已知条件得二元一次不等式组：2841641200 xyxyxy （1
4、）（2）画出不等式组所表示的平面区域：（见左图）图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。x+2y=8 y x o 提 出 新 问 题 进一步，若生产一件甲产品获利 2万元，生产一件乙产品获利 3 万元，采用哪种生产安排利润最大 逐步增加问题的难度，让学生有路可循。“乘胜追击”尝 试 解 答 转化为：当x、y满足上述不等式组并且为非负整数时，z的最大值是多少 变形：把22333zzxyyx转变为，这是斜率为32，在y轴上的截距为3z 的直线，当 z 变化时，可以得到一组互相平行的直线；当直线233zyx与不等式组确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点 P，使直线经点
5、 P 时截距3z最大。设生产甲产品x件，乙产品y件时工厂获得的利润为z，则yxz32 当截距最大时，z取最大值。M（4，2）时 14maxz。让学生先思考，小组交流探讨。对于基础较好的班级可展示小组讨论的成果；基础较差的班级，需要教师引导其变形讲解。通过几何画板再次直观感知平行线的动态过程。加深印象和理解。用数学知识解决问题，完成“建模”的解答。获 得 结 果 每天生产甲产品 4 件，乙产品 2件时，工厂可获得最大利润 14 万元。回归实际问题。基 本 概 念 线性约束条件：关于x、y的一次不等式，有时也用一次方程表示。如（1）目 标 函 数：要 求 最 大 值 的 函 数 如23zxy；又因
6、为这里的23zxy是关于变量x、y的一次解析式，所以又称为线性目标函数。线性规划：在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题。可行解：满足线性约束条件的解(,)x y 可行域：所有可行解组成的集合。最优解：使目标函数取得最大值或最小值的可行解。如M（4，2）根据以上探究归纳出解决线性规划问题的一般步骤：（1）设：根据题意设变量 x,y（2）列：列出线性约束条件和线性目标函数;（3）画：画出线性约束条件所表示的可行域；（4）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；（5）求：通过解方程组求出最优解；（6）答：作出答案。定义线性规划
7、、最优解等。提升数形结合思想 归纳总结，对实际问题进行升华。例 题 分 析 例、营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供的碳水化合物，的蛋白质，的脂肪，1kg 食物 A 含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费 28 元；而 1kg食物 B 含有碳水化合物，蛋白质，脂肪，花费 21 元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A 和食物 B 多少 kg 学生模仿引例，强化方法。在学生解题过程中，教师要及时发现问题，逐步给予提示，排除疑点难点。解题过程（略）创设生活情境，进一步掌握图解法。强化答题数学语言的规范。探 究 由上面两例的分析，你能得到最优解和可行域之间的关
8、系吗 引导学生对 2 个实例进行比较。及时进行总结，为下面的练习做好准备。练 习 如 图 所 示，ABC的 三 顶 点)0,1()1,2()4,2(CBA，点 P（x，y）在ABC 内部及其边界运动。请你探究并讨论以下问题：yxz在_处有最大值_ 在_处有最小值_ yxz在_处有最大值_ 在_处有最小值_ 你从以上探究过程中获得哪些探究成果和感受呢 类比题型创设一个探究、讨论的课堂氛围，激发学生的学习情趣，增强师生、生生之间的互动，体现新课程中让学生“做中学”的理念。探究练习，增强互动，开阔视野 小 结 1、图解法求解线性规划应用问题的基本步骤。2、目标函数与平行直线族的关系。学生自己总结，教师可适当的补充。归纳能力 作 业 习题 A 组 3 通过作业再次强化数学的应用意识 思 考 1.你能否设计一个目标函数，使得其取最优解有无穷多个 2.“图解法”在其它方面的应用，请预习课本 89-91 页。让学生将探讨问题的兴趣延续到课后，韵味缭绕。板 书 简单的线性规划问题 图 方程组（1）多媒体 x y o A(2,4B(-2,1C(1,0