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1、太原市2022年高三年级模拟考试（一）数学（理科）试题参考答案及评分标准 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 A A D A C B C B D B B C 二、填空题 13.4 14.2213yx=15.12 16.三、简答题 17.解：（1）由23nnSa+=，得1123(2)nnSan+=，两式相减得：120nnnaaa+=，即113nnaa=，.3分 令1n=得11a=，故 na是首项为 1 公比为13的等比数列，113nna=；.4 分（2）当1n=时，114ba=，14b=，.5 分 当2n 时，31212313(21)nnnbbbbnaa
2、aa+=+，又13112123113(23)nnnbbbbnaaaa+=+，两式相减，得113(21)3(23)34nnnnnbnnna=，所以4nbn=,当1n=时14b=也适合，因此4nbn=.8分（3）22(1)16(1)nnnncbn=，.9分 设212nnndcc=+2216(2)(21)16(41)nnn=，则212316(21)nnTddddnn=+=+.12分 18.解：（1）甲、乙两个班级抽取的4 人都能正确回答的概率2232439432CpC=（）.4 分（2）设甲班能正确回答题目的人数为 X，X 的取值分别为 1，2，P（X=1）=132412CC=，P（X=2）=232
3、412CC=，6 分 则 E（X）=11312222+=，D（X）=2231311(1)(2)22224+=,8 分 乙班能正确回答题目的人数为Y，Y的取值分别为0，1，2，YB（2，34），E（Y）=33242=，D（Y）=3132448=,.11 分 由 E（X）=E（Y），D（X）D（Y）知，由甲班代表学校参加大赛更好.12分 19.解：（1）因为/AB平面 PCD，AB 平面OPD，平面OPD平面PCDPD=，所以ABPD，.2分 又6AOD=，所以23POD=，.3分 又1ODOP=，所以3PD=.5分（2）由题意知OC 平面POD，而1sin2DOPSOD OPDOP=，所以当OD
4、OP时，三棱锥PCOD的体积最大.6分 解法一 易知,OC OD OP两两垂直，以O为坐标原点，,OC OD OP方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图空间直角坐标系Oxyz，则(1,0,0)C，(0,0,1)D，(0,1,0)P，(1,1,0)PC=，(0,1,1)DP=.7分 设平面PDC的法向量为1(,)x y z=n，则110,0,PCDP=nn 取1y=，得平面DPC的一个法向量为1(1,1,1)=n.9分 z y x 易知平面POD的一个法向量为2(1,0,0)=n，10分 设二面角OPCD的平面角为，则12123cos3=nnnn，由题图知，二面角OPDC的平面角为锐角，所以二
5、面角OPCD的余弦值为33.12 分 解法二 如图所示，取PD的中点M，连接,OM CM.因为ODOP=，CDCP=，所以OMPD，CMPD，即OMC为所求二面角的平面角.在等腰RtOPD中可得22OM=，而1OC=，tan2OMC=，3cos3OMC=，故二面角OPDC的余弦值为33.20.解：（1）设直线 AB 的方程为4xmy=+，它与抛物线的两个交点为 A()11,x y和 B()22,xy，联立直线与抛物线方程24,2,xmyypx=+=消去 x 得：2280ypmyp=，122yypm+=，128y yp=，2分 OAOB，1OAOBkk=，12120 x xy y+=即，2121
6、22()04y yy yp+=，16 80p=，2p=，.5 分 抛物线方程为24yx=.6分（2）设点,A B C D的纵坐标依次为1234,y yyy，设直线 AF 的方程为1xny=+，联立方程21,4,xnyyx=+=消去 x 得：2440yny=，134y y=，8分 同理244y y=，9分 M 由（1）中可知：1216y y=，341y y=，.10 分 121|sin|21sin2AFBFAFBSAFBFSCF DFCF DFCFD=1243y yy y=16=，即12SS为定值16.12分 21解:（1）函数()1xf xxex=的定义域是 R，()(1)1xfxxe+=，.
7、1分 令()(1)1xg xxe=+，1,1x，则()(2)0 xg xxe+=()fx在1,1上单调递增又0 x=时，()0fx=，在)1,0上，()0fx单调递增，3 分 又1(1)fe=，(1)2fe=，(0)1f=，函数()fx在区间1,1上的最小值为1，最大值为2e 5分 （2）解法一：由()ln2f xxm=+，得ln1xxexxm+=，0 x，令()ln1xg xxexx=+，则1(1)(1)()1xxxxxxeg xexex+=+=，6 分 令()1,()(1)0 xxm xxem xxe=+则，则()m x在(0,)+上单调递增，7 分 且110,(1)1022emme=，存
8、在01,12x，使得()00m x=，即001xex=，从而00lnxx=，当()00,xx时，()0m x，即()0g x，即()0g x，则()g x单调递增 ()0min000000001()ln112xg xg xx exxxxxx+，9分 又易知，当0 x+时，()g x +；当x +时，()g x +.当2m时，方程()ln2f xxm=+有 2 个实根 .12分 22.解：（1）因为P的极坐标为3(2 2,)4，所以32 2cos24x=，32 2sin24y=，所以P的直角坐标为(2,2)；.2分 由2cos24 sin30+=，得2222cossin4 sin30+=，所以2
9、2430 xyy+=，即22(2)1yx=.5分 （2）将325xt=+，425yt=+代入22(2)1yx=，得 271250255tt+=，.7分 12607tt+=，.8分 P坐标为(2,2)，点M对应参数值为123027tt+=,点P到线段AB中点M距离为307.10分 23.解：(1)由()1f x ，得(1)(21)1,(1)(21)1,(1)(21)1,111,1,22xxxxxxxxx+或或 解得 1111,122xxx=,或或，.3分 即11x，.4分 故满足不等式()1f x 的最大整数1a=.5分(2)由(1)知,1,()x y+,又因为4xy+=，设1mx=，1ny=，因此,m nR+且2mn+=,2211xyzxy=+22(1)(1)nmmn+22(3)(3)mnmn+9966mnmn=+119()10mn=+8，.9 分 当且仅当mn=即当且仅当xy=时等号成立，所以z的最小值为 8.10分 （注：其他正确解法相应付分）