2020年高考数学金榜冲刺卷(山东专用)(五)试题及答案3934.pdf

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1、 2020 年高考金榜冲刺卷（五）数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知集合2,3,4A，集合,2Bm m，若2AB，则m（）A0 B1 C2 D4 2设

2、复数zabi(,)a bR，定义zbai.若12ziii，则z（）A1355i B1355i C3155i D3155i 3若倾斜角为的直线l与直线320 xy平行，则sin2（）A35 B35-C45 D45 4 已知 f x是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当)1,0(x时，14)(xxf，则)321(log4f（）A1 B-1 C21 D12 5汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A、B、C、D、E（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A20 B15 C10 D5 6已知1()si

3、ncos(,)4f xxxxR，若()f x的任意一条对称轴与x轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)，则的取值范围是（）A3 1111 19,8 128 12 B155 3(,4 128 4 C3 77 11,8 128 12 D1 39 17(,4 48 12 7已知单调函数()f x的定义域为(0,)，对于定义域内任意x，2()log3ff xx，则函数()()7g xf xx的零点所在的区间为（）A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)8已知圆22:4O xy，直线l与圆O交于,P Q两点，(2,2)A，若22|40APAQ，则弦PQ的长度的最大值为（）A2 6 B4 C2 3

4、D2 2 二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9 一组数据121x，221x，321x+，21nx 的平均值为 7，方差为 4，记132x，232x，332x，32nx 的平均值为 a，方差为 b，则（）A7a B11a C12b D9b 10下列结论正确的是（）A若22ab，则11ab B若0 x，则44xx C若0ab，则lglgab D若0ab，1ab，则114ab 11过抛物线24yx的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）A以线段AB为直

5、径的圆与直线32x 相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当2AFFB时，92AB DAB的最小值为 4 12已知数列 ,nnab满足1111312,2ln(),0nnnnnnnaab babnNabn 给出下列四个命题，其中的真命题是（）A数列nnab单调递增；B数列nnab 单调递增；C数 na从某项以后单调递增；D数列 nb从某项以后单调递增.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 138xyyx的展开式中22x y的系数为 .14在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，13CEABAC，则 .15已知直角三角形 ABC两直角边长之和为 3，将AB

6、C绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为_;此时该旋转体外接球的表面积为_.（本题第一空 3 分，第二空 2 分）16已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2，1F，2F分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)Ma，(0,)Nb，点P为线段MN上的动点，当12PF PF取得最小值和最大值时，12PFF的面积分别为1S，2S，则21SS .四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知数列 ,nnab满足：1112,2nnnnaan ban b.（1）证明数列 nb是等比数列，并求数列 nb的通项；（2）求数列 n

7、a的前n项和nS.18（12 分）已知函数23()3sinsincos2f xxxx.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若A为锐角且3()2f A，4bc，求a的取值范围.19（12 分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF 平面ABCD，/EFAB，90BAF，2AD，1ABAF，点P在线段DF上.（1）求证：AF 平面ABCD；（2）若二面角DAPC的余弦值为63，求PF的长度.20（12 分）已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为2(1,0)F，点在椭圆上 （1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第

8、一象限，过M作圆222xyb的切线交椭圆于,两点，求证：的周长是定值 21（12 分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产515xx万件的该种产品所需要的总成本 32231630910 xC xxx（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在25.26,25.30，25.30,25.34，25.34,25.38，25.38,25.42，25.42,25.46，25.46,25.50，25.50,25.54（单位：mm）中，经统计得到的频率分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m（元/件）与年产量x之间的函数关系

9、如下表所示.产品品质 立品尺寸的范围 价格m与产量x的函数关系式 优 25.34,25.46 34mx 中 25.26,25.34 3255mx 差 25.46,25.54 3205mx 以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数a的值；（2）当产量x确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量x为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.22（12 分）已知函数 2ln3f xxxax的图像在点 1,1f处的切线方程为1y.（1）确定实数a的值，并求函数 yf x的单调区间；（2）若*nN，求证：2111ln 1 12ln13ln1ln12623nnn 2020

10、 年高考金榜冲刺卷（五）数 学（考试时间：120 分钟 试卷满分：150 分）注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上 2回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回 4测试范围：高中全部内容 一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求 1已知集合2,3,4A，集合,2Bm m，若2AB，则m（）A0 B1 C2 D4【答案】A【解析

11、】因为2AB，所以2m 或22m.当2m 时，2,4AB，不符合题意，当22m时，0m.故选 A.2设复数zabi(,)a bR，定义zbai.若12ziii，则z（）A1355i B1355i C3155i D3155i【答案】B【解析】解：因为12ziii，所以(1)2(1)(1)(2)31222555iiiiiiiziiii ，则1355zi.故选：B.3若倾斜角为的直线l与直线320 xy平行，则sin2（）A35 B35-C45 D45【答案】A【解析】因为tan3k，所以为锐角，2110cos1tan10，3 10sin10，所以3sin22sin cos5故选：A 4 已知 f

12、x是定义在 R 上周期为 2 的奇函数，当)1,0(x时，14)(xxf，则)321(log4f（）A1 B-1 C21 D12【答案】B【解析】)(xf是定义在R上的周期为2的奇函数，所以1)14()21()25()25()4log321log()321(log21224fffff，故选 B.5汽车维修师傅在安装好汽车轮胎后，需要紧固轮胎的五个螺栓，记为A、B、C、D、E（在正五边形的顶点上），紧固时需要按一定的顺序固定每一个螺栓，但不能连续固定相邻的两个，则不同固定螺栓顺序的种数为（）A20 B15 C10 D5【答案】C【解析】此题相当于在正五边形ABCDE中，对五个字母排序，要求五边形

13、的任意相邻两个字母不能排在相邻位置，考虑A放第一个位置，第二步只能C或D，依次 ACEBD 或 ADBEC 两种；同理分别让 B、C、D、E 放第一个位置，分别各有两种，一共十种不同的顺序.故选：C.6已知1()sincos(,)4f xxxxR，若()f x的任意一条对称轴与x轴的交点横坐标都不属于区间(2,3)，则的取值范围是（）A3 1111 19,8 128 12 B155 3(,4 128 4 C3 77 11,8 128 12 D1 39 17(,4 48 12【答案】C 【解析】因为()2sin()4f xx，所以由()2sin()24f xx 可得42xk，其对称轴方程13()

14、()4xkkZ，由题设13()2()4kkZ且13()3()4kkZ，即13()2()4kkZ且13()3()4kkZ，也即3()28kkZ且1()34kkZ，解之得3 77 11,8 128 12，故选 C.7已知单调函数()f x的定义域为(0,)，对于定义域内任意x，2()log3ff xx，则函数()()7g xf xx的零点所在的区间为（）A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(4,5)【答案】C【解析】根据题意，对任意的(0,)x，都有2()log3ff xx，又由 f x是定义在0+，上的单调函数，则2()logf xx为定值，设2()logtf xx，则 2logf xxt，又

15、由 3f t，2log3f ttt，所以2t，所以 2log2f xx，所以 2log5g xxx，因为 1020304050ggggg，所以零点所在的区间为（3，4）.8已知圆22:4O xy，直线l与圆O交于,P Q两点，(2,2)A，若22|40APAQ，则弦PQ的长度的最大值为（）A2 6 B4 C2 3 D2 2【答案】D【解析】设(,)M x y为PQ的中点，在APM中，222|2|cosAPAMMPAMMPAMP，在AQM中，222|2|cosAQAMMQAMMQAMQ，,coscos0AMPAMQAMPAMQ 得2222222|2|2|2|APAQAMMPMQAMMQ，即222

16、402|2|AMOQOM，2220|4|AMOM，22|16AMOM.2222(2)(2)16xyxy，得20 xy.所以min2|22OM，max|2 2PQ.故答案为：D.二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分在每小题给出的选项中，有多项符合要求全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分 9 一组数据121x，221x，321x+，21nx 的平均值为 7，方差为 4，记132x，232x，332x，32nx 的平均值为 a，方差为 b，则（）A7a B11a C12b D9b【答案】BD【解析】设123,nXx xxx，数据121x，221x，

17、321x+，21nx 的平均值为 7，方差为 4，即217,214EXDX，由离散型随机变量均值公式可得 21217,EXE X 所以 3E X,因而132x，232x，332x，32nx 的平均值为 32323 3211aEXE X ；由离散型随机变量的方差公式可得 2144,DXD X所以 1D X,因而132x，232x，332x，32nx 的方差为 3299bDXD X，故选：BD.10下列结论正确的是（）A若22ab，则11ab B若0 x，则44xx C若0ab，则lglgab D若0ab，1ab，则114ab【答案】BCD【解析】对于 A，若22ab，则ab，当2a，1b 时，1

18、1ab不成立，故 A 错；对于 B，由0 x，则4424xxxx，当且仅当2x 取等号，故 B 正确；对于 C，由lgyx为单调递增函数，由0ab，则lglgab，故 C 正确；对于 D，由0ab，1ab，则1111224bab aabababa b ，当且仅当12ab时取等号，故 D 正确；故选：BCD.11过抛物线24yx的焦点F作直线交抛物线于A，B两点，M为线段AB的中点，则（）A以线段AB为直径的圆与直线32x 相离 B以线段BM为直径的圆与y轴相切 C当2AFFB时，92AB DAB的最小值为 4【答案】ACD【解析】对于选项 A，点M到准线1x 的距离为1122AFBFAB，于是

19、以线段AB为直径的圆与直线1x 一定相切，进而与直线32x 一定相离：对于选项 B，显然AB中点的横坐标与12BM不一定相等，因此命题错误.对于选项 C，D，设11,A x y，22,B x y，直线AB方程为1xmy，联立直线与抛物线方程可得 2440ymy，124y y ，121x x，若设24,4Aaa，则211,4Baa，于是21221424ABxxpaa，AB最小值为 4；当2AFFB可得122yy，142aa，所212a，92AB.故选:ACD.12已知数列 ,nnab满足1111312,2ln(),0nnnnnnnaab babnNabn 给出下列四个命题，其中的真命题是（）A数

20、列nnab单调递增；B数列nnab 单调递增；C数 na从某项以后单调递增；D数列 nb从某项以后单调递增.【答案】BCD【解析】因为1112,2lnnnnnnnnaab babn，所以1131lnnnnnnababn，当1n 时,2211ln2abab,所以2211abab，所以 A 错误；11313()lnnnnnnababn，11ln(1)3(ln)nnnnabnabn，所以ln nnabn是等比数列，1113lnnnnababn，所以 B 正确；11112ln()3nnnnnaabanab，故1111ln()30nnnaanab，C 正确；因为131lnnnnnnbbabn，所以111

21、1ln(1)2ln()3nnnbbnnab，根据指数函数性质，知数列从某一项以后单调递增，所以 D 正确.故选：BCD.三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分 138xyyx的展开式中22x y的系数为 .【答案】70【解析】设8xyyx的展开式中含22x y的项为第1r 项，则由通项知 8118822221881rrrrrrrrrrTCxyxyC xy 令822rr，解得4r，8xyyx的展开式中22x y的系数为 448170C 14在ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BDDC，13CEABAC，则 .【答案】13【解析】1111133333CECBCAACC

22、BCACDCA ，因为E是AD的中点，所以1132，1132，解得15,26 ，13.故答案为13.15已知直角三角形 ABC两直角边长之和为 3，将ABC绕其中一条直角边旋转一周，所形成旋转体体积的最大值为_;此时该旋转体外接球的表面积为_.（本题第一空 3 分，第二空 2 分）【答案】43 25 【解析】设直角三角形的两边分别为,a b,则3ab,以长度为b的直角边为轴旋转形成的旋转体的体积为2211333Va baa03a,则21633Vaa,令0V,解得0a 或2a,所以当02a时,0V；当23a时,0V,所以当2a 时,体积最大,最大值为43,此时圆锥的底面半径为 2,高为 1,设外

23、接球的半径为R,则22212RR,所以外接球的半径为52,其表面积为25.故答案为:43；25.16已知双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为 2，1F，2F分别是双曲线的左、右焦点，点(,0)Ma，(0,)Nb，点P为线段MN上的动点，当12PF PF取得最小值和最大值时，12PFF的面积分别为1S，2S，则21SS .【答案】4【解析】由2cea，得2,3ca ba，故线段MN所在直线的方程为3()yxa，又点P在线段MN上，可设(,33)P mma，其中ma，0，由于1(,0)Fc，2(,0)F c，即1(2,0)Fa，2(2,0)Fa，得12(2,33),(2,33)PFam

24、maPFamma，所以222212313464()44PF PFmmaamaa由于ma，0，可知当34ma 时，12PF PF取得最小值，此时34Pya，当0m 时，12PF PF取得最大值，此时3Pya，则213434SaSa，故答案为 4 四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（10 分）已知数列 ,nnab满足：1112,2nnnnaan ban b.（1）证明数列 nb是等比数列，并求数列 nb的通项；（2）求数列 na的前n项和nS.【解析】（1）证明：因为nnban，所以nnban因为121nnaan，所以112nnanan，所以12

25、nnbb又12b，所以 nb是首项为12b，公比为 2 的等比数列，所以1222nnnb （2）由（1）可得2nnnabnn，所以1232222nnS 1 23n 2 121122nnn21222nnn 18（12 分）已知函数23()3sinsincos2f xxxx.（1）求函数()f x的单调递增区间；（2）在ABC中，角,A B C的对边分别为,a b c，若A为锐角且3()2f A，4bc，求a的取值范围.【解析】（1）函数变形1cos213()3()sin2sin(2)2223xf xxx，即()sin(2)3f xx，令222,232kxkkZ，解得51212kxk，所以单调增区

26、间5,1212kkkZ；（2）3()sin(2)32f AA，0,2A22333A所以233A，解得3A，又4bc，在ABC中，22222()()344bcabcbcbcbc，等边三角形时等号成立，所以2a，又因为是三角形所以,4bca a，所以2,4a 19（12 分）如图，四边形ABCD为矩形，平面ABEF 平面ABCD，/EFAB，90BAF，2AD，1ABAF，点P在线段DF上.（1）求证：AF 平面ABCD；（2）若二面角DAPC的余弦值为63，求PF的长度.【解析】（1）证明：90BAF，ABAF，又平面ABEF 平面ABCD，平面ABEF平面ABCDAB，AF 平面ABEF，AF

27、 平面ABCD.（2）以A为原点，以AB，AD，AF为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则0,0,0A，1,0,0B，1,2,0C，0,2,0D，0,0,1F，0,2,1FD，1,2,0AC，1,0,0AB，由题知，AB 平面ADF，1,0,0AB 为平面ADF的一个法向量，设01FPFD，则0,2,1P，0,2,1AP，设平面APC的一个法向量为,x y zm，则00m APm AC，21020yzxy，令1y，可得22,1,1m，226cos,3214 11m ABm ABm AB，得13或1（舍去），53PF.20（12 分）已知椭圆22221(0)xyabab的右焦点为2(1,

28、0)F，点在椭圆上 （1）求椭圆的方程；（2）点M在圆222xyb上，且M在第一象限，过M作圆222xyb的切线交椭圆于,两点，求证：的周长是定值【解析】（1）由已知得，椭圆的左右焦点分别是12(1,0),(1,0),1FFc,(3,0)H在椭圆上，122426aHFHF,3,2 2ab,椭圆的方程是22198xy；（2）方法 1：设1122,(,)P x yQ xy，则2211198xy，22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，103x，1233xPF，在圆中，M是切点，222222111111|88(1)893xPMOPOMxyxx，211113333PFPMxx，同理

29、23QFQM，223 36F PF QPQ ，因此2PF Q的周长是定值6 方法 2：设PQ的方程为(0,0),ykxm km1122(,),(,),P x yQ xy 由22,198ykxmxy得222(89)189720kxkmxm,则212122218972,8989kmmxxx xkk,22212121211()4PQkxxkxxx x 22222189721()48989kmmkkk 222224 9 8(98)1(89)kmkk ,PQ与圆228xy相切,22 2,1mk即22 2 1,mk2689kmPQk,22222112111118(1)(3)93xxPFxyx，103x，1

30、233xPF，同理2221(9)333xQFx，12222226666663898989xxkmkmkmF PF QPQkkk，因此2PF Q的周长是定值6 21（12 分）某公司准备投产一种新产品，经测算，已知每年生产515xx万件的该种产品所需要的总成本 32231630910 xC xxx（万元），依据产品尺寸，产品的品质可能出现优、中、差三种情况，随机抽取了 1000 件产品测量尺寸，尺寸分别在25.26,25.30，25.30,25.34，25.34,25.38，25.38,25.42，25.42,25.46，25.46,25.50，25.50,25.54（单位：mm）中，经统计得到

31、的频率 分布直方图如图所示.产品的品质情况和相应的价格m（元/件）与年产量x之间的函数关系如下表所示.产品品质 立品尺寸的范围 价格m与产量x的函数关系式 优 25.34,25.46 34mx 中 25.26,25.34 3255mx 差 25.46,25.54 3205mx 以频率作为概率解决如下问题：（1）求实数a的值；（2）当产量x确定时，设不同品质的产品价格为随机变量，求随机变量的分布列；（3）估计当年产量x为何值时，该公司年利润最大，并求出最大值.【解析】（1）由题意得0.042342.54.531a，解得6a；（2）当产品品质为优时频率为10.04462.50.5p ，此时价格为3

32、4x；当产品品质为中时频率为20.04230.2p，此时价格为3255x；当产品品质为差时频率为30.044.530.3p，此时价格为3205x；以频率作为概率，可得随机变量的分布列为：34x 3255x 3205x p 0.5 0.2 0.3（3）设公司年利润为 f x，则 323323340.5250.2200.3163055910 xf xxxxxxx 整理得 323123092xf xxx，21131231233fxxxxx ，显然当5,12x时，0fx，12,15x时，0fx，当年产量12x 时，f x取得最大值.12138f.估计当年产量12x 时，该公司年利润取得最大值，最大利润

33、为 138 万.22（12 分）已知函数 2ln3f xxxax的图像在点 1,1f处的切线方程为1y.（1）确定实数a的值，并求函数 yf x的单调区间；（2）若*nN，求证：2111ln 1 12ln13ln1ln12623nnn.【解析】（1）由已知得函数 f x的定义域为0,，132fxaxx，函数 f x的图像在点 1,1f处的切线方程为1y，则 1 320fxa ，2a.由 4111340 xxfxxxx ，得1x，或14x（舍去），当0,1x时，0fx，f x单调递增；当1,x时，0fx，f x单调递减.故函数 f x的单调增区间为0,1，单调增区间为1,.（2）由（1）知 f x有最大值 11f，因此 1f x，1,x时，2ln321f xxxx恒成立，即2ln231211xxxxx，ln211xxx，令11xn，则1ln1211nnn，即12ln11nnn.111ln 1 12ln13ln1ln123nn22221111123n 1112 123nn.而1111111123123nn 222121321nn 2212322112 1321nnnn 12212322121nnn.因此，21112 1422623nnnnn.即对任意的*nN，2111ln 1 12ln13ln1ln12623nnn.