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1、 第四章练习题及参考解答 4.1 假设在模型iiiiuXXY33221中，32XX 与之间的相关系数为零，于是有人建议你进行如下回归：iiiiiiuXYuXY23311221(1)是否存在3322且？为什么？(2)111会等于或 或两者的某个线性组合吗？(3)是否有 3322varvarvarvar且？练习题 4.1 参考解答：(1)存在3322且。因为23223223232322iiiiiiiiiiixxxxxxxyxxy 当32XX 与之间的相关系数为零时，离差形式的032iixx 有222223222322iiiiiiiixxyxxxxy 同理有：33(2)111会等于或 的某个线性组合
2、 因为 12233YXX，且122YX，133YX 由于3322且，则 11222222YYXYXX 11333333YYXYXX 则 1112233231123YYYXXYXXYXX(3)存在 3322varvarvarvar且。因为 22322221varrxi 当023r时，22222232222var1variixrx 同理，有 33varvar 4.2 在决定一个回归模型的“最优”解释变量集时人们常用逐步回归的方法。在逐步回归中既可采取每次引进一个解释变 量的程序(逐步向前回归)，也可以先把所有可能的解释变量都放在一个多元回归中，然后逐一地将它们剔除(逐步向后回归)。加进或剔除一个变
3、量，通常是根据 F 检验看其对 ESS 的贡献而作出决定的。根据你现在对多重共线性的认识，你赞成任何一种逐步回归的程序吗？为什么？练习题 4.2 参考解答：根据对多重共线性的理解，逐步向前和逐步向后回归的程序都存在不足。逐步向前法不能反映引进新的解释变量后的变化情况，即一旦引入就保留在方程中；逐步向后法则一旦某个解释变量被剔出就再也没有机会重新进入方程。而解释变量之间及其与被解释变量的相关关系与引入的变量个数及同时引入哪些变量而呈现出不同，所以要寻找到“最优”变量子集则采用逐步回归较好，它吸收了逐步向前和逐步向后的优点。4.3 下表给出了中国商品进口额 Y、国生产总值 GDP、居民消费价格指数
4、 CPI。表 4.11 中国商品进口额、国生产总值、居民消费价格指数 资料来源：中国统计年鉴，中国统计 2000 年、2008 年。请考虑下列模型：itttuCPIGDPYlnlnln321 1)利用表中数据估计此模型的参数。2)你认为数据中有多重共线性吗？3)进行以下回归：ittittittvCPICCGDPvCPIBBYvGDPAAY321221121lnlnlnlnlnln 根据这些回归你能对数据中多重共线性的性质说些什么？4)假设数据有多重共线性，但32和在 5%水平上个别地显著，并且总的 F 检验也是显著的。对这样的情形，我们是否应考虑共线性的问题？练习题 4.3 参考解答：(1)参
5、数估计结果如下 22ln()3.060 1.657ln()1.057ln()(0.337)(0.092)(0.215)0.992 0.991 F 1275.093GDPCPIRR进口(括号为标准误)(2)居民消费价格指数的回归系数的符号不能进行合理的经济意义解释，且且 CPI 与进口之间的简单相关系数呈现正向变动。可年份 商品进口额(亿元)国生产总值(亿元)居民消费价格指数(1985=100)1985 1257.8 9016.0 100.0 1986 1498.3 10275.2 106.5 1987 1614.2 12058.6 114.3 1988 2055.1 15042.8 135.8
6、 1989 2199.9 16992.3 160.2 1990 2574.3 18667.8 165.2 1991 3398.7 21781.5 170.8 1992 4443.3 26923.5 181.7 1993 5986.2 35333.9 208.4 1994 9960.1 48197.9 258.6 1995 11048.1 60793.7 302.8 1996 11557.4 71176.6 327.9 1997 11806.5 78973.0 337.1 1998 11626.1 84402.3 334.4 1999 13736.4 89677.1 329.7 2000 186
7、38.8 99214.6 331.0 2001 20159.2 109655.2 333.3 2002 24430.3 120332.7 330.6 2003 34195.6 135822.8 334.6 2004 46435.8 159878.3 347.7 2005 54273.7 183084.8 353.9 2006 63376.9 211923.5 359.2 2007 73284.6 249529.9 376.5 能数据中有多重共线性。计算相关系数:(3)最大的 CI=108.812，表明 GDP 与 CPI 之间存在较高的线性相关。(4)分别拟合的回归模型如下：22lnY4.09
8、071.2186ln()t=(-10.6458)(34.6222)0.9828 0.9820 1198.698GDPRRF 22lnY5.44242.6637ln(PI)t=(-4.3412)(11.6809)0.8666 0.8603 136.4437CRRF 22ln()1.43802.2460ln(PI)t=(-1.9582)(16.8140)0.9309 0.9276 282.7107GDPCRRF 单方程拟合效果都很好，回归系数显著，可决系数较高，GDP 和 CPI 对进口分别有显著的单一影响，在这两个变量同时引入模型时影响方向发生了改变，这只有通过相关系数的分析才能发现。(5)如果
9、仅仅是作预测，可以不在意这种多重共线性，但如果是进行结构分析，还是应该引起注意。4.4 自己找一个经济问题来建立多元线性回归模型，怎样选择变量和构造解释变量数据矩阵 X 才可能避免多重共线性的出现？练习题 4.4 参考解答：本题很灵活，主要应注意以下问题:(1)选择变量时要有理论支持，即理论预期或假设；变量的数据要足够长，被解释变量与解释变量之间要有因果关系，并高度相关。（2）建模时尽量使解释变量之间不高度相关，或解释变量的线性组合不高度相关。4.5 克莱因与戈德伯格曾用 1921-1950 年(1942-1944 年战争期间略去)美国国消费 Y 和工资收入 X1、非工资非农业收入 X2、农业
10、收入 X3 的时间序列资料，利用 OLSE 估计得出了下列回归方程：37.107 95.0 (1.09)(0.66)(0.17)(8.92)3121.02452.01059.1133.82FRXXXY 括号中的数据为相应参数估计量的标准误差。试对上述模型进行评析，指出其中存在的问题。练习题 4.5 参考解答：从模型拟合结果可知，样本观测个数为 27，消费模型的判定系数95.02R，F 统计量为 107.37，在 0.05 置信水平下查分子自由度为 3，分母自由度为 23 的 F 临界值为 3.028，计算的 F 值远大于临界值，表明回归方程是显著的。模型整体拟合程度较高。依据参数估计量及其标准
11、误，可计算出各回归系数估计量的 t 统计量值：01238.1331.0590.4520.1210.91,6.10,0.69,0.118.920.170.661.09tttt除1t外，其余的jt值都很小。工资收入 X1 的系数的 t 检验值虽然显著，但该系数的估计值过大，该值为工资收入对消费边际效应，因为它为 1.059，意味着工资收入每增加一美元，消费支出的增长平均将超过一美元，这与经济理论和常识不符。另外，理论上非工资非农业收入与农业收入也是消费行为的重要解释变量，但两者的 t 检验都没有通过。这些迹象表明，模型中存在严重的多重共线性，不同收入部分之间的相互关系，掩盖了各个部分对解释消费行为
12、的单独影响。4.6 理论上认为影响能源消费需求总量的因素主要有经济发展水平、收入水平、产业发展、人民生活水平提高、能源转换技术等因素。为此，收集了中国能源消费总量 Y(万吨标准煤)、国民总收入(亿元)X1(代表收入水平)、国生产总值(亿元)X2(代表经济发展水平)、工业增加值(亿元)X3、建筑业增加值(亿元)X4、交通运输邮电业增加值(亿元)X5(代表产业发展水平及产业结构)、人均生活电力消费(千瓦小时)X6(代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源转换技术)等在 1985-2007 年期间的统计数据，具体如表 4.2 所示。表 4.12 19852007 年统计数据 年份
13、 能源消费 国民 总收入 国生 产总值 工业 增加值 建筑业 增加值 交通运输邮电 增加值 人均生活 电力消费 能源加工 转换效率 y X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 1985 76682 9040.7 9016 3448.7 417.9 406.9 21.3 68.29 1986 80850 10274.4 10275.2 3967 525.7 475.6 23.2 68.32 1987 86632 12050.6 12058.6 4585.8 665.8 544.9 26.4 67.48 1988 92997 15036.8 15042.8 5777.2 810 661 31.2
14、 66.54 1989 96934 17000.9 16992.3 6484 794 786 35.3 66.51 1990 98703 18718.3 18667.8 6858 859.4 1147.5 42.4 67.2 1991 103783 21826.2 21781.5 8087.1 1015.1 1409.7 46.9 65.9 1992 109170 26937.3 26923.5 10284.5 1415 1681.8 54.6 66.00 1993 115993 35260 35333.9 14188 2266.5 2205.6 61.2 67.32 1994 122737
15、48108.5 48197.9 19480.7 2964.7 2898.3 72.7 65.2 1995 131176 59810.5 60793.7 24950.6 3728.8 3424.1 83.5 71.05 1996 138948 70142.5 71176.6 29447.6 4387.4 4068.5 93.1 71.5 1997 137798 77653.1 78973 32921.4 4621.6 4593 101.8 69.23 1998 132214 83024.3 84402.3 34018.4 4985.8 5178.4 106.6 69.44 1999 133831
16、 88189 89677.1 35861.5 5172.1 5821.8 118.2 69.19 2000 138553 98000.5 99214.6 4003.6 5522.3 7333.4 132.4 69.04 2001 143199 108068.2 109655.2 43580.6 5931.7 8406.1 144.6 69.03 2002 151797 119095.7 120332.7 47431.3 6465.5 9393.4 156.3 69.04 2003 174990 135174 135822.8 54945.5 7490.8 10098.4 173.7 69.4
17、2004 203227 159586.7 159878.3 65210 8694.3 12147.6 190.2 70.71 2005 223319 183956.1 183084.8 76912.9 10133.8 10526.1 216.7 71.08 2006 246270 213131.7 211923.5 91310.9 11851.1 12481.1 249.4 71.24 2007 265583 251483.2 249529.9 107367.2 14014.1 14604.1 274.9 71.25 资料来源：中国统计年鉴，中国统计 2000、2008 年版。要求：1)建立对
18、数多元线性回归模型，分析回归结果。2)如果决定用表中全部变量作为解释变量，你预料会遇到多重共线性的问题吗？为什么？3)如果有多重共线性，你准备怎样解决这个问题？明确你的假设并说明全部计算。练习题 4.6 参考解答：(1)建立对数线性多元回归模型，引入全部变量建立对数线性多元回归模型如下:生成:lny=log(y),同样方法生成:lnx1,lnx2,lnx3,lnx4,lnx5,lnx6,lnx7.作全部变量对数线性多元回归,结果为:从修正的可决系数和 F 统计量可以看出，全部变量对数线性多元回归整体对样本拟合很好，各变量联合起来对能源消费影响显著。可是其中的 lnX3、lnX4、lnX6 对
19、lnY 影响不显著,而且 lnX2、lnX5 的参数为负值，在经济意义上不合理。所以这样的回归结果并不理想。(2)预料此回归模型会遇到多重共线性问题,因为国民总收入与 GDP 本来就是一对关联指标；而工业增加值、建筑业增加值、交通运输邮电业增加值则是 GDP 的组成部分。这两组指标必定存在高度相关。解释变量国民总收入(亿元)X1(代表收入水平)、国生产总值(亿元)X2(代表经济发展水平)、工业增加值(亿元)X3、建筑业增加值(亿元)X4、交通运输邮电业增加值(亿元)X5(代表产业发展水平及产业结构)、人均生活电力消费(千瓦小时)X6(代表人民生活水平提高)、能源加工转换效率(%)X7(代表能源
20、转换技术)等很可能线性相关,计算相关系数如下:可以看出 lnx1 与 lnx2、lnx3、lnx4、lnx5、lnx6 之间高度相关，许多相关系数高于 0.900 以上。如果决定用表中全部变量作为解释变量，很可能会出现严重多重共线性问题。（3）因为存在多重共线性，解决方法如下：A：修正理论假设，在高度相关的变量中选择相关程度最高的变量进行回归建立模型：而对变量取对数后，能源消费总量的对数与人均生活电力消费的对数相关程度最高，可建立这两者之间的回归模型。如 22ln9.9320.421ln6 (0.116)(0.026)0.926 0.922 261.551yxRRF B：进行逐步回归，直至模型
21、符合需要研究的问题，具有实际的经济意义和统计意义。采用逐步回归的办法，去检验和解决多重共线性问题。分别作lnY对1234567ln,ln,ln,ln,ln,ln,lnXXXXXXX的一元回归，结果如下:一元回归结果：变量 lnX1 lnX2 lnX3 lnX4 lnX5 lnX6 lnX7 参数估计值 0.316 0.315 0.277 0.297 0.273 0.421 8.73 t 统计量 14.985 14.62 9.718 13.22 11.717 16.173 4.648 可决系数 0.914 0.911 0.818 0.893 0.867 0.926 0.507 调整可决系数 0.
22、910 0.906 0.809 0.888 0.861 0.922 0.484 其中加入 lnX6 的方程调整的可决系数最大,以 lnX6 为基础,顺次加入其他变量逐步回归。结果如下表:变量 lnX1 lnX2 lnX3 lnX4 lnX5 lnX6 lnX7 2R lnX6-0.186 0.666 0.920 lnX6 -0.251 0.753 0.922 lnX6 0.061 0.341 0.927 lnX6 -0.119 0.585 0.921 lnX6 -0.623 1.344 0.977 lnX6 0.391 0.924 经比较，新加入lnX5 的方程调整可决系数改进最大,各参数的
23、t 检验也都显著，但是 lnX5 参数的符号与经济意义不符合。若再加入其他变量后的逐步回归,若剔除不显著的变量和无经济意义的变量后,仍为第一步所建只包含 lnX6 的一元回归模型。如果需要建立多元线性回归模型，则需寻找新的变量或改变模型形式。例如,不取对数作全部变量多元线性回归,结果为:可以看出还是有严重多重共线性。作逐步回归:分别作一元回归得到：变量 X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 参数估计值 0.7333 0.7353 1.6655 13.1909 10.8980 678.0058 19332.30 t 统计量 26.4698 25.3627 18.0257 25.9636 13
24、.5147 22.4229 4.7024 2R 0.9709 0.9684 0.9393 0.9697 0.8969 0.9599 0.5129 2R 0.9695 0.9669 0.9364 0.9683 0.8920 0.9580 0.4897 以 X1 为基础加入其他变量,结果为:X1 X2 X3 X4 X5 X6 X7 2R X1，X2 6.6399-5.9308 0.9785 X1，X3 0.5512 0.4349 0.9726 X1，X4 0.5040 4.1326 0.9683 X1，X5 1.0516 -5.0269 0.9766 X1，X6 1.0075 -255.80 0.
25、9690 X1，X7 0.7499 -813.44 0.9684 注:括号中为 p 值.可以发现加入 X2、X5、X6、X7 后参数的符号不合理,加入 X4 后并不显著。只有加入 X3 后修正的可决系数有所提高,而且参数符号的经济意义合理,X3 参数估计值的 p 值为 0.0821，在 10%的显著性水平下是显著的。所以相对较为合理的模型估计结果可以为:4.7 在本章开始的“引子”提出的“农业的发展反而会减少财政收入吗？”的例子中，如果所采用的数据如下表所示 表 4.13 1978-2007 年财政收入及其影响因素数据 年份 财政收入(亿元)CS 农业增加值(亿元)NZ 工业增加值(亿元)GZ
26、 建筑业增加值(亿元)JZZ 总人口(万最终消费(亿元)CUM 受灾面积(千公1978 1132.3 1027.5 1607 138.2 96259 2239.1 50790 1979 1146.4 1270.2 1769.7 143.8 97542 2633.7 39370 1980 1159.9 1371.6 1996.5 195.5 98705 3007.9 44526 1981 1175.8 1559.5 2048.4 207.1 100072 3361.5 39790 1982 1212.3 1777.4 2162.3 220.7 101654 37148 33130 1983 13
27、67 1978.4 2375.6 270.6 103008 4126.4 34710 1984 1642.9 2316.1 2789 316.7 104357 4846.3 31890 1985 2004.8 2564.4 3448.7 417.9 105851 5986.3 44365 1986 2122 2788.7 3967 525.7 107507 6821.8 47140 1987 2199.4 3233.0 4585.8 665.8 109300 7804.6 42090 1988 2357.2 3865.4 5777.2 810 111026 9839.5 50870 1989
28、2664.9 4265.9 6484 794 112704 11164.2 46991 1990 2937.1 5062.0 6858 859.4 114333 12090.5 38474 1991 3149.48 5342.2 8087.1 1015.1 115823 14091.9 55472 1992 3483.37 5866.6 10284.5 1415 117171 17203.3 51333 1993 4348.95 6963.8 14188 2266.5 118517 21899.9 48829 1994 5218.1 9572.7 19480.7 2964.7 119850 2
29、9242.2 55043 1995 6242.2 12135.8 24950.6 3728.8 121121 36748.2 45821 1996 7407.99 14015.4 29447.6 4387.4 122389 43919.5 46989 1997 8651.14 14441.9 32921.4 4621.6 123626 48140.6 53429 1998 9875.95 14817.6 34018.4 4985.8 124761 51588.2 50145 1999 11444.08 14770.0 35861.5 5172.1 125786 55636.9 49981 20
30、00 13395.23 14944.7 4003.6 5522.3 126743 61516 54688 2001 16386.04 15781.3 43580.6 5931.7 127627 66878.3 52215 2002 18903.64 16537.0 47431.3 6465.5 128453 71691.2 47119 2003 21715.25 17381.7 54945.5 7490.8 129227 77449.5 54506 2004 26396.47 21412.7 65210 8694.3 129988 87032.9 37106 2005 31649.29 224
31、20.0 76912.9 10133.8 130756 96918.1 38818 2006 38760.20 24040.0 91310.9 11851.1 131448 110595.3 41091 2007 51321.78 28095.0 107367.2 14014.1 132129 128444.6 48992(资料来源：中国统计年鉴 2008，中国统计 2008 年版)试分析：为什么会出现本章开始时所得到的异常结果？怎样解决所出现的问题？练习题 4.7 参考解答:(1)根据样本数据得到各解释变量的样本相关系数矩阵如下：样本相关系数矩阵 解释变量之间相关系数较高，特别是农业增加值、工业增加值、建筑业增加值、最终消费之间，相关系数都在 0.9 以上。这显然与第三章对模型的无多重共线性假定不符合。（2）解决方案：采用逐步回归的方式，可以得到没有共线性的回归模型，但可能存在设定偏误。合并工业增加值与建筑业增加值，得到财政收入与第二产业的回归。取对数再回归，可以减低共线性。