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1、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学 本试卷共 23 题，共 150 分，共 4 页。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。注意事项：1答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（本题共 12 小题，
2、每小题 5 分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1i(2+3i)A32i B32i C32i D32i 2已知集合1,3,5,7A，2,3,4,5B 则AB A3 B5 C3,5 D1,2,3,4,5,7 3函数2ee()xxf xx的图象大致为 4已知向量a，b满足|1a，1 a b，则(2)aab A4 B3 C2 D0 5从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中 2 人都是女同学的概率为 A0.6 B0.5 C0.4 D0.3 6双曲线22221(0,0)xyabab的离心率为3，则其渐近线方程为 A2yx B3yx C22yx
3、 D32yx 7在ABC中，5cos25C，1BC，5AC，则AB A4 2 B30 C29 D2 5-在-此-卷-上-答-题-无-效-8为计算11111123499100S ，设计了右侧的程序框图，则在空白框中应填入 A1ii B2ii C3ii D4ii 9在长方体1111ABCDABC D中，E为棱1CC的中点，则异面直线AE与CD所成角的正切值为 A22 B32 C52 D72 10若()cossinf xxx在0,a是减函数，则a的最大值是 A4 B2 C34 D 11已知1F，2F是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点，若12PFPF，且2160PF F，则C的离心率为 A312 B2
4、3 C312 D31 12已知()f x是定义域为(,)的奇函数，满足(1)(1)fxfx若(1)2f，则(1)(2)(3)(50)ffff A50 B0 C2 D50 二、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分）13曲线2lnyx在点(1,0)处的切线方程为_ 14若,x y满足约束条件250,230,50,xyxyx则zxy的最大值为_ 15已知51tan45，则tan _ 16已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB互相垂直，SA与圆锥底面所成角为30，若SAB的面积为8，则该圆锥的体积为_ 三、解答题（共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第 1721 题为必
5、考题，每个试题考生都必须作答。第22、23 题为选考题，考生根据要求作答。）（一）必考题：共 60 分。17（12 分）记nS为等差数列na的前n项和，已知17a ，315S （1）求na的通项公式；（2）求nS，并求nS的最小值 18（12 分）下图是某地区2000年至 2016年环境基础设施投资额y（单位：亿元）的折线图 为了预测该地区 2018 年的环境基础设施投资额，建立了y与时间变量t的两个线性回归模型 根据 2000 年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,17）建立模型：30.413.5yt；根据 2010年至 2016 年的数据（时间变量t的值依次为1,2,7）建
6、立模型：9917.5yt（1）分别利用这两个模型，求该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值；（2）你认为用哪个模型得到的预测值更可靠并说明理由 19（12 分）如图，在三棱锥PABC中，2 2ABBC，4PAPBPCAC，O为AC的中点（1）证明：PO 平面ABC；（2）若点M在棱BC上，且2MCMB，求点C到平面POM的距离 20（12 分）设抛物线24Cyx：的焦点为F，过F且斜率为(0)k k 的直线l与C交于A，B两点，|8AB （1）求l的方程；（2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程 21（12 分）已知函数321()(1)3f xxa xx（1）若3a，求()f x
7、的单调区间；（2）证明：()f x只有一个零点 （二）选考题：共 10 分。请考生在第 22、23 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。22选修 44：坐标系与参数方程（10 分）PAOCBM在此卷上答在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为2cos,4sin,xy（为参数），直线l的参数方程为1cos,2sin,xtyt（t为参数）（1）求C和l的直角坐标方程；（2）若曲线C截直线l所得线段的中点坐标为(1,2)，求l的斜率 23选修 45：不等式选讲（10 分）设函数()5|2|f xxax（1）当1a 时，求不等式()0f x 的解集；（2）若()1f x，求a的取值范围
8、绝密启用前 2018 年普通高等学校招生全国统一考试 文科数学答案解析 一、选择题 1.【答案】D【解析】2323iii 2.【答案】C【解析】因为1,3,5,7A,2,3,4,5B,故3,5AB 3.【答案】B【解析】f xfx,所以 f x为奇函数,排除 A,又x ,xxee,2x .4.【答案】B【解析】2213aa baa b（2-）=2.5.【答案】D【解析】记选中的2人都是女同学为事件A,则 2335310CCP A.6.【答案】A【解析】3cea,222223 12bcaaa,2ba.7.【答案】A【解析】5cos25C,213cos2cos121255CC ,2223152 1
9、 5()266325AB ,4 2AB.8.【答案】B【解析】1i 时,120011NT，,2i 时,1111102034NT，,依次下去2ii.9.【答案】C【解析】如图：取中点1DD中点为F,连接EF,则EFCD AE与CD所成的角即为AEF,在AEF中,90AEF 52AEtan AEFEF 10.【答案】C【解析】cossin2cos4f xxxx,f x在0,a上单调递减,则34a.34maxa 11.【答案】D【解析】设2PFr,13PFr,122F Fr,又32rra,312ar,22rc,cr 31cea 12.【答案】C【解析】11fxfx,yfx图象关于1x 对称,又是奇函
10、数,f x是一个周期函数,且4T;又 12f,2f xfx,200ff,3112fff ,400ff,12,20,32,40ffff,12 50122fffff 二、填空题 13.【答案】22yx【解析】2lnxy,2 yx 12xy 在点0,0处的切线方程为：2122yxx.14.【答案】9【解析】当zxy,过点5,4C时,z有最大值9maxz 15.【答案】32【解析】51tan45,即1tan1tan451tantan=32 16.【答案】8【解析】ABCSSSl,30,3CClSAA,2ABl.2182ABCSl,4l,4AC,2 3r,24122 h21112 2833Vrh.三、解
11、答题 17.【答案】(1)29nan(2)22()8416nSnnn,最小值为16【解析】解：(1)设 na的公差为1d由题意得133?15ad.由17a 得.所以 na的通项公式为29nan (2)由(1)得22(8416)nSnnn.所以当4n 时,nS取得最小值,最小值为16 18.【答案】(1)模型:30.4 13.5 19226.1y(亿元),模型:9917.59256.5y(亿元)(2)利用模型得到的预测值更可靠.【解析】解：(1)利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投资额的预测值为 30.413.5 19226.1y(亿元).利用模型,该地区 2018 年的环境基础设施投
12、资额的预测值为 9917.59256.5y(亿元).(2)利用模型得到的预测值更可靠.理由如下：(i)从折线图可以看出,2000 年至 2016 年的数据对应的点没有随机散布在直线30.413.5yt上下,这说明利用 2000 年至 2016年的数据建立的线性模型不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010 年相对 2009 年的环境基础设施投资额有明显增加,2010 年至 2016 年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从 2010 年开始环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长趋势,利用 2010 年至 2016 年的数据建立的线性模型9917.5ty 可以较好地描述 2010
13、年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型得到的预测值更可靠.(ii)从计算结果看,相对于 2016 年的环境基础设施投资额220 亿元,由模型得到的预测值亿元的增幅明显偏低,而利用模型得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型得到的预测值更可靠.以上给出了 2 种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分.19.【答案】(1)见解析(2)4 55【解析】证明：(1)因为4APCPAC,O为AC的中点,所以OPAC,且OP=2 3.连结OB.因为22ABBCAC,所以ABC为等腰直角三角形,且OBAC,122OBAC.由222OPOBPB知,OPOB.由OPOB,OPAC知POAB
14、C平面.(2)作CHOM,垂足为H.又由(1)可得OPCH,所以CHPOM平面.故CH的长为点C到POM平面的距离.由题设可知OC=12AC=2,23CMBC=4 23,45ACB.所以OM=2 53,CH=sinOC MCACBOM=4 55.所以点C到平面POM的距离为4 55.20.【答案】(1)1yx(2)22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy【解析】解：(1)由题意得()1,0F,l的方程为1()(0)yk xk.设11(),A x y,22(),B x y.由2(1)4yk xyx，得2222(24)0k xkxk.216160k,故212224kxxk.所以212
15、244(1)(1)kABAFBFxxk.由题设知22448kk,解得1,1()kk舍去.因此l的方程为1yx(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2),所以AB的垂直平分线方程为2(3)yx,即5yx .设所求圆的圆心坐标为00(,)x y,则 00220005(1)(1)16.2yxyxx，解得0032xy，或00116.xy，因此所求圆的方程为 22(3)(2)16xy或22(11)(6)144xy.21.【答案】(1)f x的单调递增区间为,32 3,32 3,f x的单调递减区间为32 3,32 3(2)见解析【解析】解：(1)当3a 时,321()3333xfxxx,2()63xfx
16、x.令)0(fx解得32 3x 或32 3x.6361264 332 322x或32 3x时,)0(fx；32 332 3x,)0(fx.f x的单调递增区间为,32 3,32 3,f x的单调递减区间为32 3,32 3(2)证明：由于210 xx,所以()0f x 等价于32301xaxx.设()g x=3231xaxx,则2222(23)()(10)xgxxxxx,仅当0 x 时)0(g x,所以()g x在(),单调递增.故()g x至多有一个零点,从而()f x至多有一个零点.又221311()626()03661aaaaf,1()0331fa,故()f x有一个零点.综上,()f
17、x只有一个零点.因为211()(1)(1 3)33f xxxxa,22131()024xxx,所以1(13)03fa,2(23)(1)0faxx .综上,()f x只有一个零点.22.【答案】(1)当cos0时,l的直角坐标方程为tan2tanyx,当cos0时,l的直角坐标方程为1x.(2)直线l的斜率tan2k.【解析】解：(1)曲线C的直角坐标方程为221416xy.当cos0时,l的直角坐标方程为tan2tanyx,当cos0时,l的直角坐标方程为1x.(2)将l的参数方程代入C的直角坐标方程,整理得关于t的方程 22(13cos)4(2cossin)80tt.因为曲线C截直线l所得线段的中点(1,2)在C内,所以有两个解,设为1t,2t,则120tt.又由得1224(2cossin)1 3costt,故2cossin0,于是直线l的斜率tan2k.23.【答案】(1)()0f x 的解集为|23xx.(2)a的取值范围是(,62,)【解析】解：(1)当1a 时,24,1,()2,12,26,2.xxf xxxx 可得()0f x 的解集为|23xx.(2)()1f x 等价于|2|4xax.而|2|2|xaxa,且当2x 时等号成立.故()1f x 等价于|2|4a.由|2|4a 可得6a 或2a,所以a的取值范围是(,62,).