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1、第 28 关：三次函数专题全解全析 一、定义：定义 1、形如的函数，称为“三次函数”（从函数解析式的结构上命名）定义 2、三次函数的导数，把叫做三次函数导函数的判别式 二、三次函数图象与性质的探究：1、单调性 一般地，当时，三次函数在上是单调函数；当时，三次函数在上有三个单调区间（根据两种不同情况进行分类讨论）2、对称中心 三 次 函 数是 关 于 点 对 称，且 对 称 中 心 为 点，此点的横坐标是其导函数极值点的横坐标。证明：设函数的对称中心为（m，n）。按向量将函数的图象平移，则所得函数是奇函数，所以 化简得：上式对恒成立，故，得，。所以，函数的对称中心是（）。可见，yf(x)图象的对
2、称中心在导函数 y的对称轴上，且又是两个极值点的中点，同时也是二阶导为零的点。3、三次方程根的问题（1）当=时，由于不等式恒成立，函数是单调递增的，所以原方程仅有一个实根。（2）当=时，由于方程有两个不同的实根，不妨设，可知，为函数的极大值点，为极小值点，且函数在和上单调递增，在上单调递减。此时：若，即函数极大值点和极小值点在轴同侧，图象均与轴只有一个交点，所以原方程有且只有一个实根。若，即函数极大值点与极小值点在轴异侧，图象与轴必有三个交点，所以原方程有三个不等实根。若，即与中有且只有一个值为 0，所以，原方程有三个实根，其中两个相等。4、极值点问题 若函数 f(x)在点 x0的附近恒有 f
3、(x0)f(x)(或 f(x0)f(x)，则称函数 f(x)在点 x0处取得极大值（或极小值），称点 x0为极大值点（或极小值点）。当时，三次函数在上的极值点要么有两个。当时，三次函数在上不存在极值点。5、最值问题 函 数若，且，则：；三、三次函数与导数专题：1.三次函数与导数例题 例 1.函数.（1）讨论函数的单调性；（2）若函数在区间（1，2）是增函数，求的取值范围.解：（），的判别式=36（1-a）.（）当 a1 时，0，则恒成立，且当且仅当，故此时在 R 上是增函数.来自 QQ 群 3（）当且，时，有两个根：，若，则,当或时，故在 上是增函数；当时，故在上是减函数；若，则当或时，故在和
4、 上是减函数；当时，故在上是增函数；（）当 且时,所以 当时，在区间（1，2）是增函数.当时，在区间（1,2）是增函数，当且仅当且，解得.综上，的取值范围是.例 2.设函数，其中。（1）讨论在其定义域上的单调性；（1）当时，求取得最大值和最小值时的的值.（）的定义域为，令，得 所以 当或时，；当时，故在内单调递减，在内单调递增（）因为，所以（）当时，由（）知，在0，1上单调递增，所以在和处分别取得最小值和最大值（）当时，由（）知，在0，上单调递增，在，1 上单调递减，因此在处取得最大值 又，所以 当时，在处取得最小值；当时，在和处同时取得最小值；当时，在处取得最小值。例 3.已知函数来自 QQ
5、 群 3（1）求的单调区间和极值；（2）若对于任意的，都存在，使得，求的取值范围 解：（）由已知，有 令，解得或 当变化时，的变化情况如下表：0 -0+0-0 所以，的单调递增区间是；单调递减区间是，当时，有极小值，且极小值；当时，有极大值，且极大值（）解：由及（）知，当时，；当时，设集合，集合，则“对于任意的，都存在，使得”等价于，显然，.下面分三种情况讨论：（1）当，即时，由可知，而，所以不是的子集。（2）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，因而；由，有在上的取值范围包含，则所以，（3）当，即时，有，且此时在上单调递减，故，所以不是的子集。综上，的取值范围是 2.三次函数与导数-课后练习
6、题 1.设.(1)若在上存在单调递增区间,求的取值范围；(2)当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.1.解：（1）已知，函数在上 存在单调递增区间，即导函数在上存在函数值大于零的部分 （2）已知,在上取到最小值，而的图像开口 向下，且对轴轴为，则必有一点使得此时函数在上单调递增，在上单调递减，此时，由，所以函数 2已知函数，（1）讨论函数的单调区间；（2）设函数在区间内是减函数，求的取值范围 2解：（1）求导：当时，在上递增 当，求得两根为 即在递增，递减，递增（2），且解得：3.设函数（）当求曲线处的切线斜率（）求函数的单调区间与极值；【解析】解：（1）当 所以曲线处的切线斜率为 1.
7、（2）解：，令，得到 因为 当 x 变化时，的变化情况如下表：+0-0+极小值 极大值 在和内减函数，在内增函数。函数在处取得极大值，且=函数在处取得极小值，且=（3）解：由题设，所以方程=0 由两个相异的实根，故，且，解得 因为 若，而，不合题意 若则对任意的有 则又，所以函数在的最小值为 0，于是对任意的，恒成立的充要条件是,解得 综上，m 的取值范围是 4.已知函数，若在上的最小值记为。（1）求；（2）证明：当时，恒有 解：（）因为，所以（）当时，若，则，故在上是减函数；若，则，故在上是增函数；所以（）当时，有，则，故在（-11）上 是减函数，所以 综上，（）证明：令，（）当时，若，得，
8、则在上是增函数，所以 在设 的 最 大 值 是，且，所 以，故 若，得，则在上是减函数，所以 在设的最大值是 令，则 知在上是增函数，所以，即，故（）当时，故，得 此时在（-1，1）上是减函数，因此在-1，1上的最大值是，故 综上，当时，恒有 5.已知函数（1）求函数的单调区间；（2）当时，试讨论是否存在，使得 解：（1），方程的判别式，所以，当时，此时在上为增函数；当时，方程的两根为 当时，此时为增函数；当时，此时为减函数；当时，此时为增函数；综上时，在上为增函数；当时，的单调递增区间为，的单调递减区间为（2）所以，若存在，使得，必须在上有解，方程的两根为，因为，所以只能是 依题意，即 所以
9、，即 又由，得，故欲使满足题意的存在，则 所以，当时，存在唯一的满足 当时，不存在使得 6.已知函数.(1)若，求的单调区间；(2)若在单调增加，在单调减少，证明:6.解：（）当时，故 当当 从而单调减少.()由从而 因为 所以 将右边展开，与左边比较系数得，故 又由此可得于是 7.设函数（1）对于任意实数，恒成立，求的 最大值；（2）若方程有且仅有一个实根，求的取值范围 解：(1),因为,即 恒成立,所以,得，即的最大值为 (2)因 为 当时,;当时,;当时,;所以 当时,取极大值;当时,取极小值;故当 或时,方程仅有一个实根.解得 或.8.已知函数，曲线在点（0,2）处的切线与轴交点的横坐标为-2.（1）求；（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点。解：（），曲线在点（0，2）处的切线方程为 由题设得，所以（）由（）知，设 由题设知 当时，单 调 递 增，所以在有唯一实根。当时，令，则 在单调递减，在单调递增，所以 故在没有实根 综上在 R 由唯一实根，即曲线与直线只有一个交点