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1、-.z.*A O Q P B y 图3 A B C O E F A B C O D 图1 A B O E F C 图2 动点问题 题型方法归纳 动态几何特点-问题背景是特殊图形，考察问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。动点问题一直是中考热点，近几年考察探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或 其三角函数、线段或面积的最值。下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。一、三角形边上动点 1、2009 年市直线364yx 与坐标轴分别交于AB、两点，动点PQ、
2、同时从O点出发，同时到达A点，运动停顿点Q沿线段OA 运动，速度为每秒 1 个单 位长度，点P沿路线OBA运动 1直接写出AB、两点的坐标；2设点Q的运动时间为t秒，OPQ的面积为S，求出S与t之间 的函数关系式；3当485S 时，求出点P的坐标，并直接写出以点OPQ、为顶点的平行四边形的第四个顶点M的坐标 解：1、A8，0 B0，6 2、当 0t3 时，S=t2 当 3t8 时，S=38(8-t)t 提示：第2问按点 P 到拐点 B 所有时间分段分类；第3问是分类讨论：三定点 O、P、Q，探究第四点构成平行四边形时按线段身份不同分类-OP 为边、OQ 为边，OP 为边、OQ 为对角线，OP
3、为对角线、OQ 为边。然后画出各类的图形，根据图形性质求顶点坐标。2、2009 年市 如图，AB 是O 的直径，弦 BC=2cm，ABC=60 1求O 的直径；2假设 D 是 AB 延长线上一点，连结 CD，当 BD 长为多少时，CD 与O 相切；3假设动点 E 以 2cm/s 的速度从 A 点出发沿着 AB 方向运动，同时动点 F 以 1cm/s 的速度从 B 点出发沿 BC 方向运动，设运动时间为)20)(tst，连结 EF，当t为何值时，BEF 为直角三角形 注意：第3问按直角位置分类讨论 3、2009 綦江 如图，抛物线(1)23 3(0)ya xa经过点(2)A ，0，抛物线的顶点为
4、D，过O作射线OMAD 过顶点D平-.z.O M B H A C*y 图 1 O M B H A C*y 图2 *y M C D P Q O A B P Q A B C D 行于x轴的直线交射线OM于点C，B在x轴正半轴上，连结BC 1求该抛物线的解析式；2 假设动点P从点O出发，以每秒 1 个长度单位的速度沿射线OM运动，设点P运动的时间为()t s 问当t为何值时，四边形DAOP分别为平行四边形.直角梯形.等腰梯形.3假设OCOB，动点P和动点Q分别从点O和点B同时出发，分别以每秒 1 个长度单位和 2 个长度单位的速度沿OC和BO运动，当其中一个点停顿运动时另一个点也随之停顿运动设它们的
5、运动的时间为t()s，连接PQ，当t为何值时，四边形BCPQ的面积最小.并求出最小值及此时PQ的长 注意：发现并充分运用特殊角DAB=60 当OPQ 面积最大时，四边形 BCPQ 的面积最小。二、特殊四边形边上动点 4、2009 年省如下图，菱形ABCD的边长为 6 厘米，60B从初始时刻开场，点P、Q同时从A点出发，点P以 1 厘米/秒的速度沿ACB的方向运动，点Q以 2 厘米/秒的速度沿ABCD的方向运动，当点Q运动到D点时，P、Q两点同时停顿运动，设P、Q运动的时间为x秒时，APQ与ABC重叠局部的面积为y平方厘米 这里规定：点和线段是面积为O的三角形，解答以下问题：1点P、Q从出发到相
6、遇所用时间是秒；2点P、Q从开场运动到停顿的过程中，当APQ是等边三角形时x的值是秒；3求y与x之间的函数关系式 提示：第(3)问按点 Q 到拐点时间 B、C 所有时间分段分类；提醒-高相等的两个三角形面积比等于底边的比。5、2009 年 如图 1，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为 3，4，点C在*轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H 1求直线AC的解析式；2连接BM，如图 2，动点P从点A出发，沿折线ABC方向以 2 个单位秒的速度向终点C匀速运动，设PMB的面积为S0S ，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式要求写出自变量t
7、的取值围；3在2的条件下，当 t为何值时，MPB与BCO互为余角，并求此时直线OP与直线AC所夹锐角的正切值 注意：第2问按点 P到拐点 B 所用时间分段分类；第3问发现MBC=90，BCO 与ABM 互余，画出点 P运动过程中，MPB=ABM的两种情况，求出 t 值。利用OBAC,再 求OP 与 AC 夹角正切值.-.z.6、(2009 年)如图，在平面直角坐标系中，点 A(3，0)，B(33，2)，C0，2)动点 D 以每秒 1 个单位的速度从点 0 出发沿 OC 向终点 C 运动，同时动点 E 以每秒 2 个单位的速度从点 A 出发沿 AB 向终点 B 运动过点 E 作 EF 上 AB，
8、交 BC 于点 F，连结 DA、DF设运动时间为 t 秒(1)求ABC 的度数；(2)当 t 为何值时，ABDF；(3)设四边形 AEFD 的面积为 S 求 S 关于 t 的函数关系式；假设一抛物线 y=*2+m*经过动点 E，当 S23时，求 m 的取值围(写出答案即可)注意：发现特殊性，DEOA 7、07 黄冈：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCO 是菱形，且 AOC=60，点 B 的坐标是(0,8 3)，点 P 从点 C 开场以每秒 1 个单位长度的速度在线段 CB 上向点 B 移动，同时，点 Q从点 O 开场以每秒 a1a3个单位长度的速度沿射线 OA方向移动，设(08)tt 秒
9、后，直线 PQ 交 OB 于点 D.1求AOB 的度数及线段 OA 的长；2求经过 A，B，C 三点的抛物线的解析式；3当43,33aOD时，求 t 的值及此时直线 PQ 的解析式；4 当a为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB相似.当a 为何值时，以 O，P，Q，D 为顶点的三角形与OAB不相似.请给出你的结论，并加以证明.8、08 黄冈：如图，在直角梯形COAB中，OCAB，以O为原点建立平面直角坐标系，ABC，三点的坐标分别为(8 0)(810)(0 4)ABC，点D为线段BC的中点，动点P从点O出发，以每秒 1 个单位的速度，沿折线OABD的路线移动，移动的时间为t秒 1
10、求直线BC的解析式；2假设动点P在线段OA上移动，当t为何值时，四边形OPDC的面积是梯形COAB面积的27.3 动点P从点O出发，沿折线OABD的路线移动过程中，设OPD的面积为S，请直接写出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值围；4当动点P在线段AB上移动时，能否在线段OA上找到一点Q，使四边形CQPD为矩形.请求出此时动点P的坐标；假设不能，请说明理由 9、(09 年黄冈市)如图,在平面直角坐标系*oy中,抛物线21410189yxx与*轴的交点为点 A,与 y 轴的交点为点B.过点B作*轴的平行线BC,交抛物线于点C,连结AC现有两动点P,Q分别从 O,C两点同时出发,点P以每秒
11、4 个单位的速度沿OA向终点A移动,点Q以每秒 1 个单位的速度沿CB向点B移动,点P停顿运动时,点Q也同时停顿运动,线段OC,PQ相交于点D,过点B A C D P O Q*y A B D C O P*y A B D C O*y 此题备用-.z.y O*C N B P M A D作DEOA,交CA于点E,射线QE交*轴于点F设动点P,Q移动的时间为t(单位:秒)(1)求A,B,C三点的坐标和抛物线的顶点的坐标;(2)当t为何值时,四边形PQCA为平行四边形请写出计算过程;(3)当 0t92时,PQF 的面积是否总为定值假设是,求出此定值,假设不是,请说明理由;(4)当t为何值时,PQF为等腰
12、三角形请写出解答过程 提示：第3问用相似比的代换，得 PF=OA定值。第4问按哪两边相等分类讨论 PQ=PF,PQ=FQ,QF=PF.三、直线上动点 8、2009 年如图，二次函数2yaxbxc0a 的图象与x轴交于AB、两点，与y轴相交于点C连结ACBCAC、，、两点的坐标分别为(3 0)A ，、(03)C，且当4x 和2x 时二次函数的函数值y相等 1数abc，的值；2假设点MN、同时从B点出发，均以每秒 1 个单位长度的速度分别沿BABC、边运动，其中一个点到达终点时，另一点也随之停顿运动当运动时间为t秒时，连结MN，将BMN沿MN翻折，B 点恰好落在AC边上的P处，求t的值及点P的坐标
13、；3在2的条件下，二次函数图象的对称轴上是否存在点Q，使得以BNQ，为项点的三角形与ABC相似.如果存在，请求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由 提示：第2问发现 特殊角CAB=30,CBA=60 特殊图形四边形 BNPM 为菱形；第(3)问注意到ABC 为直角三角形后，按直角位置对应分类；先画出与ABC 相似的BNQ，再判断是否在对称轴上。9、2009 眉山如图，直线112yx与y轴交于点 A，与x轴交于点 D，抛物线212yxbxc与直线交于 A、E 两点，与x轴交于 B、C 两点，且 B 点坐标为(1，0)。求该抛物线的解析式；动点 P 在*轴上移动，当PAE 是直角三角形时，求点 P
14、 的坐标 P。在抛物线的对称轴上找一点 M，使|AMMC的值最大，求出点 M 的坐标。提示：第2问按直角位置分类讨论后画出图形-P 为直角顶点 AE 为斜边时，以 AE 为直径画圆与*轴交点即为所求点 P，A 为直角顶点时，过点 A 作 AE 垂线交*轴于点 P，E 为直角顶点时，作法同；第3问，三角形两边之差小于第三边，则等于第三边时差值最大。10、2009 年如图，正方形ABCD中，点A、B的坐标分别为0，10，8，4，点C在第一象限动点P在正方形ABCD的边上，从点A出发沿ABCD匀速运动，同时动点Q以一样速度在*轴正半轴上运动，当P点到达D点时，两点同时停-.z.A D P C B Q
15、 图 1 D A P C B Q 图 2 图 3 C A D P B Q 顿运动，设运动的时间为t秒(1)当P点在边AB上运动时，点Q的横坐标x长度单位关于运动时间t秒的函数图象如图所示，请写出点Q开场运动时的坐标及点P运动速度；(2)求正方形边长及顶点C的坐标；(3)在1中当t为何值时，OPQ的面积最大，并求此时P点的坐标；(4)如果点P、Q保持原速度不变，当点P沿ABCD匀速运动时，OP与PQ能否相等，假设能，写出所有符合条件的t的值；假设不能，请说明理由 注意：第4问按点 P 分别在 AB、BC、CD 边上分类讨论；求 t 值时，灵活运用等腰三角形“三线合一。11、2009 年市如图，在
16、平面直角坐标系xOy中，ABC 三个顶点的坐标分别为 6,0A，6,0B，0,4 3C，延长 AC 到点 D,使 CD=12AC,过点 D 作 DEAB 交 BC 的延长线于点 E.1求 D 点的坐标；2作 C 点关于直线 DE 的对称点 F,分别连结 DF、EF，假设过 B 点的直线ykxb将四边形 CDFE分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；3设 G 为 y 轴上一点，点 P 从直线ykxb与 y 轴的交点出发，先沿 y 轴到达 G 点，再沿 GA 到达 A点，假设 P 点在 y 轴上运动的速度是它在直线 GA 上运动速度的 2 倍，试确定 G 点的位置，使 P 点按照上述要求到
17、达 A 点所用的时间最短。要求：简述确定 G 点位置的方法，但不要求证明 提示：第问，平分周长时，直线过菱形的中心；第问，转化为点到的距离加到中直线的距离和最小；发现中直线与轴夹角为.见“最短路线问题专题。12、(2009 年市)ABC=90，AB=2，BC=3，ADBC，P 为线段 BD 上的动点，点 Q 在射线 AB 上，且满足ABADPCPQ如图 1 所示 AD=2，且点Q与点B重合时如图 2 所示，1 当求线段PC的长；2在图 8 中，联结AP当32AD，且点Q在线段AB上时，设点B Q、之间的距离为x，APQPBCSyS，其中APQS表示APQ 的面积，PBCS表示PBC的面积，求y
18、关于x的函数解析式，并写出函数定义域；3当ADAB，且点Q在线段AB的延长线上时如图 3 所示，求QPC的大小 注意：第2问，求动态问题中的变量取值围时，先动手操作找到运动始、末两个位置变量的取值，然后再根据运动的特点确定满足条件的变量的取值围。当 PCBD 时，点 Q、B 重合，*获得最小值；当P 与 D 重合时，*获得最大值。第3问，灵活运用 SSA 判定两三角形相似，即两个锐角三角形或两个钝角三角形可用 SSA 来判定两-.z.A C B P Q E D 个三角形相似；或者用同一法；或者证BQPBCP，得 B、Q、C、P 四点共圆也可求解。13、08如图，在RtABC中，ABAC，P 是
19、边AB含端点上的动点过 P 作BC的垂线PR，R 为垂足，PRB的平分线与AB相交于点S，在线段RS上存在一点T，假设以线段PT为一边作正方形PTEF，其顶点E，F 恰好分别在边BC，AC上 1ABC与SBR是否相似，说明理由；2请你探索线段TS与PA的长度之间的关系；3设边AB1，当P 在边AB含端点上运动时，请你探索正方形 PTEF的面积y 的最小值和最大值 提示：第3问，关键是找到并画出满足条件时最大、最小图形；当 p 运动到使 T 与 R 重合时，PA=TS为最大；当 P 与 A 重合时，PA 最小。此问与上题中求取值围类似。14、(2009 年)如图，在 RtABC中，C=90，AC
20、=3，AB=5点P从点C出发沿CA以每秒 1 个单位长的速度向点A匀速运动，到达点A后立刻以原来的速度沿AC返回；点Q从点A出发沿AB以每秒 1个单位长的速度向点B匀速运动伴随着P、Q的运动，DE保持垂直平分PQ，且交PQ于点D，交折线QB-BC-CP于点E点P、Q同时出发，当点Q到达点B时停顿运动，点P也随之停顿设点P、Q运动的时间是t秒t0 1当t=2 时，AP=，点Q到AC的距离是；2在点P从C向A运动的过程中，求APQ的面积S与t的函数关系式；不必写出t的取值围 3在点E从B向C运动的过程中，四边形QBED能否成为直角梯形.假设能，求t的值假设不能，请说明理由；4当DE经过点C 时，请
21、直接写出t的值 提示：按哪两边平行分类，按要求画出图形，再结合图形性质求出 t 值；有二种成立的情形，；按点 P 运动方向分类，按要求画出图形再结合图形性质求出 t 值；有二种情形，t 时，时 二次函数2yaxbxc0a 的图象经过点(10)A，(2 0)B，15、2009 年(02)C，直线xm2m 与x轴交于点D 1求二次函数的解析式；2在直线xm2m 上有一点E点E在第四象限，使得EDB、为顶点的三角形与以AOC、为顶点的三角形相似，求E点坐标用含m的代数式表示；3在2成立的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形ABEF为平行四边形.假设存在，请求出m的值及四边形ABEF的面积；假设
22、不存在，请说明理由 提示：第2问，按对应锐角不同分类讨论，有两种情形；第3问，四边形 ABEF 为平行四边形时，E、F 两点纵坐标相等，且 AB=EF，对第2问中两种情形分别讨论。四、抛物线上动点 16、2009 年市如图，抛物线32bxaxya0与x轴交于点A(1，0)和点B(3，0)，与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式；(2)设抛物线的对称轴与x轴交于点M，问在对称轴上是否存在点P，使CMP为等腰三角形.假设存在，(第 13 题)TPSREABCF(第 13 题)TPSREABCF-.z.O y*B E A D C F 请直接写出所有符合条件的点P的坐标；假设不存在，请说明理由 (3)如
23、图，假设点E为第二象限抛物线上一动点，连接BE、CE，求四边形BOCE面积的最大值，并求此时E点的坐标 注意：第2问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点 P 坐标-C 为顶点时，以 C 为圆心 CM 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，M 为顶点时，以 M 为圆心 MC 为半径画弧，与对称轴交点即为所求点 P，P 为顶点时，线段 MC 的垂直平分线与对称轴交点即为所求点 P。第3问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值涉及二次函数最值；方法二，先求与BC 平行且与抛物线相切点的坐标涉及简单二元二次方程组，再求面积 17、2009 年市 正方形ABCD在如下图的平面直角坐标系中
24、，A在x轴正半轴上，D在y轴的负半轴上，AB交y轴正半轴于EBC，交x轴负半轴于F，1OE，抛物线24yaxbx过ADF、三点 1求抛物线的解析式；2Q是抛物线上DF、间的一点，过Q点作平行于x轴的直线交边AD于M，交BC所在直线于N，假设32FQNAFQMSS四边形，则判断四边形AFQM的形状；3在射线DB上是否存在动点P，在射线CB上是否存在动点H，使得APPH且APPH，假设存在，请给予严格证明，假设不存在，请说明理由 注意：第2问，发现并利用好 NMFA 且 NMFA;第3问，将此问题别离出来单独解答，不受其它图形的干扰。需分类讨论，先画出适宜的图形，再证明 三年共同点：探究存在性问题
25、时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。特殊四边形为背景；点动带线动得出动三角形；探究动三角形问题相似、等腰三角形、面积函数关系式；求直线、抛物线解析式；-.z.“坐 标 几 何 题 动 点 问 题 分 析 中考题2 0 0 3 0 7 0 8 0 9 动点个数 两个 一个 两个 问题背景 特殊菱形两边上移动 特殊直角梯形三边上移动 抛物线中特殊直角梯形底边上移动 考察难点 探究相似三角形 探究三角形面积函数关系式 探究等腰三角形 考 点 菱形性质 特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式 相似三角形 不等式 求直线解析式 四边形面积的表示 动三角形面积函数矩形性质 求抛物线顶点坐标 探究平行四边形 探究动三角形面积是定值 探究等腰三角形存在性 特 点 菱形是含6 0 的特殊菱形；A O B是底角为3 0 的等腰三角形。一个动点速度是参数字母。探究相似三角形时，按对应角不同分类讨论；先画图，再探究。通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。利用a、t围，运用不等式求出a、t的值。观察图形构造特征适当割补表示面积 动点按到拐点时间分段分类 画出矩形必备条件的图形探究其存在性 直角梯形是特殊的一底角是4 5 点动带动线动 线动中的特殊性两个交点D、E是定点；动线段P F长度是定值，P F=O A 通过相似三角形过度，转化相似比得出方程。探究等腰三角形时，先画图，再探究 按边相等分类讨论