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1、学习必备 欢迎下载 初二动点问题 1.如图，在直角梯形ABCD 中，ADBC，B=90，AD=24cm，AB=8cm，BC=26cm，动点 P 从 A 开始沿 AD 边向 D 以 1cm/s 的速度运动；动点 Q从点 C 开始沿 CB 边向 B 以 3cm/s 的速度运动P、Q 分别从点 A、C 同时出发，当其中一点到达端点时，另外一点也随之停止运动，设运动时间为 ts （1）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为等腰梯形？（3）当 t 为何值时，四边形 PQCD 为直角梯形？分析：（1）四边形 PQCD 为平行四边形时 PD=CQ （2
2、）四边形 PQCD 为等腰梯形时 QC-PD=2CE （3）四边形 PQCD 为直角梯形时 QC-PD=EC 所有的关系式都可用含有 t 的方程来表示，即此题只要解三个方程即可 解答：解：（1）四边形 PQCD 平行为四边形 PD=CQ 24-t=3t 解得：t=6 即当 t=6 时，四边形 PQCD 平行为四边形 （2）过 D 作 DEBC 于 E 则四边形 ABED 为矩形 BE=AD=24cm 学习必备 欢迎下载 EC=BC-BE=2cm 四边形 PQCD 为等腰梯形 QC-PD=2CE 即 3t-（24-t）=4 解得：t=7（s）即当 t=7（s）时，四边形 PQCD 为等腰梯形 （
3、3）由题意知：QC-PD=EC 时，四边形 PQCD 为直角梯形即 3t-（24-t）=2 解得：t=6.5（s）即当 t=6.5（s）时，四边形 PQCD 为直角梯形 点评：此题主要考查了平行四边形、等腰梯形，直角梯形的判定，难易程度适中 2.如图，ABC 中，点 O 为 AC 边上的一个动点，过点 O 作直线 MNBC，设MN 交BCA 的外角平分线 CF 于点 F，交ACB 内角平分线 CE 于 E（1）试说明 EO=FO；（2）当点 O 运动到何处时，四边形 AECF 是矩形并证明你的结论；（3）若 AC 边上存在点 O，使四边形 AECF 是正方形，猜想ABC 的形状并证明你的结论
4、分析：（1）根据 CE 平分ACB，MNBC，找到相等的角，即OEC=ECB，再根据等边对等角得 OE=OC，同理 OC=OF，可得 EO=FO （2）利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形（3）利用已知条件及正方形的性质解答 解答：解：（1）CE 平分ACB，ACE=BCE，MNBC，OEC=ECB，形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 OEC=OCE，OE=OC，同理，OC=OF，OE=OF （2）当点 O 运动到 A
5、C 中点处时，四边形 AECF 是矩形 如图 AO=CO，EO=FO，四边形 AECF 为平行四边形，CE 平分ACB，ACE=ACB，同理，ACF=ACG，ECF=ACE+ACF=（ACB+ACG）=180=90，四边形 AECF 是矩形 （3）ABC 是直角三角形 四边形 AECF 是正方形，ACEN，故AOM=90，MNBC，BCA=AOM，BCA=90，ABC 是直角三角形 点评：本题主要考查利用平行线的性质“等角对等边”证明出结论（1），再利用结论（1）和矩形的判定证明结论（2），再对（3）进行判断解答时不仅要注意用到前一问题的结论，更要注意前一问题为下一问题提供思路，有相似的思考方
6、法是矩形的判定和正方形的性质等的综合运用 3.如图，直角梯形 ABCD 中，ADBC，ABC=90，已知 AD=AB=3，BC=4，动点 P 从 B 点出发，沿线段 BC 向点 C 作匀速运动；动点 Q 从点 D 出发，沿线段 DA 向点 A 作匀速运动过 Q 点垂直于 AD 的射线交 AC 于点 M，交 BC于点 NP、Q 两点同时出发，速度都为每秒 1 个单位长度当 Q 点运动到 A点，P、Q 两点同时停止运动设点 Q 运动的时间为 t 秒（1）求 NC，MC 的长（用 t 的代数式表示）；（2）当 t 为何值时，四边形 PCDQ 构成平行四边形；（3）是否存在某一时刻，使射线 QN 恰好
7、将ABC 的面积和周长同时平分？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，请说明理由；（4）探究：t 为何值时，PMC 为等腰三角形 形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 分析：（1）依据题意易知四边形 ABNQ 是矩形NC=BC-BN=BC-AQ=BC-AD+DQ，BC、AD 已知，DQ 就是 t，即解；ABQN，CMN CAB，CM：CA=CN：CB，（2）CB、CN 已知，根据勾股定理可求 CA=5，即可表示 CM；四边形 PCDQ 构成
8、平行四边形就是 PC=DQ，列方程 4-t=t 即解；（3）可先根据 QN 平分ABC 的周长，得出 MN+NC=AM+BN+AB，据此来求出 t 的值然后根据得出的 t 的值，求出MNC 的面积，即可判断出MNC 的面积是否为ABC 面积的一半，由此可得出是否存在符合条件的 t 值（4）由于等腰三角形的两腰不确定，因此分三种情况进行讨论：当 MP=MC 时，那么 PC=2NC，据此可求出 t 的值 当CM=CP 时，可根据CM 和CP 的表达式以及题设的等量关系来求出t的值 当 MP=PC 时，在直角三角形 MNP 中，先用 t 表示出三边的长，然后根据勾股定理即可得出 t 的值 综上所述可
9、得出符合条件的 t 的值 解答:解：（1）AQ=3-t CN=4-（3-t）=1+t 在 RtABC 中，AC2=AB2+BC2=32+42 AC=5 在 RtMNC 中，cos NCM=，CM=（2）由于四边形 PCDQ 构成平行四边形 PC=QD，即 4-t=t 解得 t=2（3）如果射线 QN 将ABC 的周长平分，则有：MN+NC=AM+BN+AB 即：（1+t）+1+t=（3+4+5）解得：t=（5 分）而 MN=NC=（1+t）形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线
10、下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 SMNC=（1+t）2=（1+t）2 当 t=时，SMNC=（1+t）2=4 3 不存在某一时刻 t，使射线 QN 恰好将ABC 的面积和周长同时平分 （4）当 MP=MC 时（如图 1）则有：NP=NC 即 PC=2NC 4-t=2（1+t）解得：t=当 CM=CP 时（如图 2）则有：（1+t）=4-t 解得：t=当 PM=PC 时（如图 3）则有：在 RtMNP 中，PM2=MN2+PN2 而 MN=NC=（1+t）PN=NC-PC=（1+t）-（4-t）=2t-3 （1+t）2+（2t-3）2=（4-t）2 解得：t1=，t2=-1（舍去）当 t=
11、，t=，t=时，PMC 为等腰三角形 点评：此题繁杂，难度中等，考查平行四边形性质及等腰三角形性质考查学生分类形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 讨论和数形结合的数学思想方法 4.如图，在矩形 ABCD 中，BC=20cm，P，Q，M，N 分别从 A，B，C，D 出发沿 AD，BC，CB，DA 方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若 BQ=xcm（x0），则 AP=2xcm，CM
12、=3xcm，DN=x2cm （1）当 x 为何值时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形；（2）当 x 为何值时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形；（3）以 P，Q，M，N 为顶点的四边形能否为等腰梯形？如果能，求 x 的值；如果不能，请说明理由 分析：以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边构成一个三角形的必须条件是点 P、N 重合且点 Q、M 不重合，此时 AP+ND=AD即2x+x2=20cm，BQ+MCBC 即 x+3x20cm；或者点 Q、M 重合且点 P、N 不重合，此时 AP+NDAD 即 2
13、x+x220cm，BQ+MC=BC即 x+3x=20cm 所以可以根据这两种情况来求解 x 的值 以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形的话，因为由第一问可知点 Q 只能在点 M 的左侧当点 P 在点 N 的左侧时，AP=MC，BQ=ND；当点 P 在点 N的右侧时，AN=MC，BQ=PD 所以可以根据这些条件列出方程关系式 如果以 P，Q，M，N 为顶点的四边形为等腰梯形，则必须使得 AP+NDAD 即2x+x220cm，BQ+MCBC 即 x+3x20cm，AP=ND 即 2x=x2，BQ=MC 即x=3x，x0 这些条件不能同时满足，所以不能成为等腰梯形 解答：解：（1）当点 P
14、 与点 N 重合或点 Q 与点 M 重合时，以 PQ，MN 为两边，以矩形的边（AD 或 BC）的一部分为第三边可能构成一个三角形 当点 P 与点 N 重合时，由 x2+2x=20，得 x1=-1，x2=-1（舍去）因为 BQ+CM=x+3x=4（-1）20，此时点 Q 与点 M 不重合 所以 x=-1符合题意 当点 Q 与点 M 重合时，由 x+3x=20，得 x=5 此时 DN=x2=25 20，不符合题意 故点 Q 与点 M 不能重合 形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动
15、线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 所以所求 x 的值为-1（2）由（1）知，点 Q 只能在点 M 的左侧，当点 P 在点 N 的左侧时，由 20-（x+3x）=20-（2x+x2），解得 x1=0（舍去），x2=2 当 x=2 时四边形 PQMN 是平行四边形 当点 P 在点 N 的右侧时，由 20-（x+3x）=（2x+x2）-20，解得 x1=-10（舍去），x2=4 当 x=4 时四边形 NQMP 是平行四边形 所以当 x=2 或 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形（3）过点 Q，M 分别作 AD 的垂线，垂足分别为点 E，F 由于 2xx，所以点 E 一定
16、在点 P 的左侧 若以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是等腰梯形，则点 F 一定在点 N 的右侧，且 PE=NF，即 2x-x=x2-3x 解得 x1=0（舍去），x2=4 由于当 x=4 时，以 P，Q，M，N 为顶点的四边形是平行四边形，所以以 P，Q，M，N 为顶点的四边形不能为等腰梯形 点评：本题考查到三角形、平行四边形、等腰梯形等图形的边的特点 5.如图，在梯形 ABCD 中，ADBC，B=90，AB=14cm，AD=15cm，BC=21cm，点 M 从点 A 开始，沿边 AD 向点 D 运动，速度为 1cm/s；点 N 从点 C 开始，沿边 CB 向点 B 运动，速度为 2cm/s
17、、点 M、N 分别从点 A、C 出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒 （1）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是平行四边形？（2）当 t 为何值时，四边形 MNCD 是等腰梯形？分析：形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载（1）根据平行四边形的性质，对边相等，求得 t 值；（2）根据等腰梯形的性质，下底减去上底等于 12，求解即可 解答：解：（1）MDNC，当 MD=NC，即 15-t=2t，t=5 时，四
18、边形 MNCD 是平行四边形；（2）作 DEBC，垂足为 E，则 CE=21-15=6，当 CN-MD=12 时，即 2t-（15-t）=12，t=9 时，四边形 MNCD 是等腰梯形 点评：考查了等腰梯形和平行四边形的性质，动点问题是中考的重点内容 6.如图，在直角梯形 ABCD 中，ADBC，C=90，BC=16，DC=12，AD=21，动点 P 从点 D 出发，沿射线 DA 的方向以每秒 2 个单位长的速度运动，动点 Q从点 C 出发，在线段 CB 上以每秒 1 个单位长的速度向点 B 运动，P、Q 分别从点 D、C 同时出发，当点 Q 运动到点 B 时，点 P 随之停止运动，设运动时间
19、为 t（s）（1）设BPQ 的面积为 S，求 S 与 t 之间的函数关系；（2）当 t 为何值时，以 B、P、Q 三点为顶点的三角形是等腰三角形？分析：（1）若过点 P 作 PMBC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形，得出 PM=DC=12，由 QB=16-t，可知：s=PM QB=96-6t；（2）本题应分三种情况进行讨论，若 PQ=BQ，在 RtPQM 中，由形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 PQ2=PM2+MQ2，PQ=QB，将
20、各数据代入，可将时间 t 求出；若 BP=BQ，在 RtPMB 中，由 PB2=BM2+PM2，BP=BQ，将数据代入，可将时间 t 求出；若 PB=PQ，PB2=PM2+BM2，PB=PQ，将数据代入，可将时间 t 求出 解答：解：（1）过点 P 作 PMBC 于 M，则四边形 PDCM 为矩形 PM=DC=12，QB=16-t，s=QBPM=（16-t）12=96-6t（0t）（2）由图可知，CM=PD=2t，CQ=t，若以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形，可以分三种情况：若 PQ=BQ，在 RtPMQ 中，PQ2=t2+122，由 PQ2=BQ2得 t2+122=（16-t）2，
21、解得；若 BP=BQ，在 RtPMB 中，PB2=（16-2t）2+122，由 PB2=BQ2得（16-2t）2+122=（16-t）2，此方程无解，BPPQ 若 PB=PQ，由 PB2=PQ2得 t2+122=（16-2t）2+122 得，t2=16（不合题意，舍去）综上所述，当 或 时，以 B、P、Q 为顶点的三角形是等腰三角形 点评：形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 本题主要考查梯形的性质及勾股定理 在解题（2）时，应注意分情况进
22、行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 7.直线 y=-34x+6 与坐标轴分别交于 A、B 两点，动点 P、Q 同时从 O 点出发，同时到达 A 点，运动停止点 Q 沿线段 OA 运动，速度为每秒 1 个单位长度，点 P 沿路线 OBA 运动（1）直接写出 A、B 两点的坐标；（2）设点 Q 的运动时间为 t（秒），OPQ 的面积为 S，求出 S 与 t 之间的函数关系式；（3）当 S=485 时，求出点 P 的坐标，并直接写出以点 O、P、Q 为顶点的平行四边形的第四个顶点 M 的坐标 分析：（1）分别令 y=0，x=0，即可求出 A、B 的坐标；（2）因为 OA=8，OB=6，利用勾股定理
23、可得 AB=10，进而可求出点 Q 由 O到 A 的时间是 8 秒，点 P 的速度是 2，从而可求出，当 P 在线段 OB 上运动（或 0t3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2，当 P 在线段BA 上运动（或 3t8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，作 PDOA 于点 D，由相似三角形的性质，得 PD=48-6t5，利用 S=12OQPD，即可求出答案；（3）令 S=485，求出 t 的值，进而求出 OD、PD，即可求出 P 的坐标，利用平行四边形的对边平行且相等，结合简单的计算即可写出 M 的坐标 解答：解：（1）y=0，x=0，求得 A（8，0）B（0，6），（2）OA=
24、8，OB=6，AB=10 点 Q 由 O 到 A 的时间是 81=8（秒），点 P 的速度是 6+108=2（单位长度/秒）当 P 在线段 OB 上运动（或 Ot3）时，OQ=t，OP=2t，S=t2 当 P 在线段 BA 上运动（或 3t8）时，OQ=t，AP=6+10-2t=16-2t，如图，做 PDOA 于点 D，由 PDBO=APAB，得 PD=48-6t5 形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分学习必备 欢迎下载 S=12OQPD=-35t2+245
25、t （3）当 S=485 时，48512 3 6点 P 在 AB 上 当 S=485 时，-35t2+245t=485 t=4 PD=48-6 45=245，AD=16-2 4=8 AD=82-(245)2=325 OD=8-325=85 P（85，245）M1（285，245），M2（-125，245），M3（125，-245）点评：本题主要考查梯形的性质及勾股定理 在解题（2）时，应注意分情况进行讨论，防止在解题过程中出现漏解现象 形当为何值时四边等腰梯直角分边析即平行过作于则矩学习必角直习备分欢迎下载学习的判定难直易过欢迎易过程度直于分适中如图点上图一备个上动线设交外动线中备?上动线下载学腰中备一?分