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1、-.z.分式的意义和性质 一、分式的概念 1、用 A、B 表示两个整式，AB 可以表示成的形式，其中 A 叫做分式的分子，B 叫做分式的分母，如果除式 B 中含有字母，式子就叫做分式。这就是分式的概念。研究分式就从这里展开。2、既然除式里含有字母的有理代数式叫做分式，则，在分式里分母所包含的字母，就不一定可以取任意值。分式的分子 A 可取任意数值，但分母 B 不能为零，因为用零做除数没有意义。一般地说，在一个分式里，分子中的字母可取任意数值，但分母中的字母，只能取不使分母等于零的值。3.（1）分式：，当 B=0 时，分式无意义。（2）分式：，当 B0 时，分式有意义。（3）分式：，当 时，分式
2、的值为零。（4）分式：，当 时，分式的值为 1。（5）分式：，当 时，即或时，为正数。（6）分式：，当时，即或时，为负数。（7）分式：，当时或时，为非负数。-.z.三、分式的基本性质：1、学习分式的基本性质应该与分数的基本性质类比。不同点在于同乘以或同除以同一个不等于零的整式，这个整式可以是数也可以是字母，只要是不为零的整式。2、这个性质可用式子表示为：（M 为不等于零的整式）3、学习基本性质应注意几点：（1）分子与分母同乘或同除的整式的值不能为零；（2）易犯错误是只乘（或只除）分母或只乘（或只除）分子；（3）如果分子或分母是多项式时，必须乘以多项式的每一项。4、分式变号法则的依据是分式的基本
3、性质。5、分式的分子，分母和分式的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，如下列式子：，。四、约分：1、约分是约去分子、分母中的公因式。就是用分式中分子和分母的公因式去除分子和分母，使分式化简为最简分式，最简分式又叫既约分式。2、约分的理论依据是分式的基本性质。3、约分的方法：（1）如果分式的分子和分母都是几个因式乘积的形式，就约去分子和分母中相同因式的最低次幂，当分子和分母的系数是整数时，还要约去它们的最大公约数。例 1，请说出下列各式中哪些是整式，那些是分式.（1）（2）（3）（4）-.z.（5）a2-a（6）。解：根据分式定义知（1）、（2）、（3）是分式，（4）、（5）、（6）是整式。说
4、明：判断一个代数式是否是分式要紧紧抓住除式中含不含字母。这里是分式，不能因为=a+b，而认为是整式，a+b 是分式的值。要区分分式的值和分式这两个不同的概念。另外是整式而不是分式。虽然分母中有，但 不是字母而是无理数，是无限不循环小数，因此的除式中不含字母。例 2，在分式（1）（2）（3）中，字母*的值有什么限制.解：（1）在中，当*=2 时，使得分母*-2=0，*2,（2）在中，当*=-2 时，使得分母*+2=0,*-2,（3）在中，当*=-2 或*=3 时，使得分母(*+2)(*-3)=0，*-2 且*3。例 3，*为何值时，分式，（1）无意义；（2）值为零；（3）值为 1；（4）值为非负
5、数。解：（1）当分母 2*+3=0 时分式无意义，*=-时，分式无意义。（2）当时，分式值为零。，*=1 时分式值为零。-.z.（3）当时，分式值为 1，*=-4 时分式值为 1。（4）当或 时，分式值为非负数。或*1 或*-时分式值为非负数。例 4，当*取何值时，分式（1）值为零；（2）无意义；（3）有意义。解：（1）当(*+3)(*-1)0 时，分式有意义，当*-3 且*1 时分式有意义。又 6-2|*|=0 时分式值为零，则 3-|*|=0,|*|=3,*=3。，*=3 时分式值为零。（2）(*+3)(*-1)=0分式无意义，即*+3=0 或*-1=0，*=-3 或*=1 时分式无意义。
6、说明：对于（1）也可先令分子为零，求出字母的所有可能值为*=3 后，再逐一代入分母验证是否为零，不为零者即为所求。对于（2）当*+3=0 或*-1=0 时，都会使分式的分母等于零，所以要注意“或”字的使用。解：（3）(*+3)(*-1)0 时分式有意义。即*+30 且*-10 时，*-3 且*1 时分式有意义，说明：对于（3）分母(*+3)(*-1)只有不为零时，分式有意义，而(*+3)(*-1)0，当*+3=0 或*-1=0都会使(*+3)(*-1)=0，所以应将*=-3 和*=1 都同时排除掉，写成*-3 且*1，用“且”字，而不用“或”字。意义为*不能为-3 而且还不能为 1，即-3 和
7、 1 都不能取。因为取任何其中一个值，分母(*+3)(*-1)都会为 0，而使分式都会无意义。例 5，写出等式中未知的分子或分母：（1）；（2）；（3）；（1）分析：这类问题要从已知条件入手，根据分式的基本性质，分析变化的过程，如（1）-.z.右边分母*2-y2是(*+y)(*-y)，而左边分母为*+y，所以需将左式的分子和分母同乘以(*-y)。解：，未知的分子是(*-y)2,（2）分析：左边分子 a2-ab=a(a-b)，而右边分子是 a-b，所以需将左式的分子和分母同除以 a。解：=，未知的分母是 b。（3）a2+ab=a(a+b)（将分子因式分解）（比较分子，发现分子、分母同乘以 a）=
8、，2ab 即为所求的分母。例 6，把下列分式的分子和分母中各项的系数都化为整数。（1）；（2）；（1）分析：先找到分式中分子和分母中的分母的最小公倍数为 15，再据分数基本性质，分子和分母同乘以 15。解：=。（2）解：=注：必须乘以分子和分母的每一项，避免发生(0.2a+3b)10=2a+3b 这样的错误。例 7，不改变分式的值，使下列分式中分子与分母不含“-”号，（1）-；（2）-.z.-。解：根据分式的符号法则得：（1）-=；（2）-=-。注意：分式、分子和分母的符号中，任意改变其中两个，分式的值不变。（1）中改变分式本身和分母两个负号，（2）中改变分子和分母两个负号。例 8，不改变分式
9、的值，依照*的降幂排列，使分子和分母中*的最高项的系数都为正数。（1）；（2）-。解：（1）=；（2）-=-=-=-。说明：解题可分为三步：（1）先将分式的分子和分母都按*的降幂排列，这步只是运用加法交换律，不改变符号。（2）将分子和分母的最高项系数化为正数，只要提取公因式-1 即可，提取时注意每项都要变号。（3）运用符号法则进行变号。注意：如果分子或分母的首项为负，则必须先将负号提到括号外面，再使用符号法则，要注意避免下列的错误：=。例 9，约分：（1）（2）。-.z.解：（1）=-3yz10。注意：分母的因式约去后得 1，分式变为整式。若化简分式时千万不要犯下列错误：=0。（2）=-。注意
10、：分母的负号一般要移去。（2）如果分式的分子或分母是多项式，应先分解因式，然后再约分。例 10、约分：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）。解：（1）=。注意：不要把约成=，也不要将最后结果写成，因为分式的横线表示括号，再写括号就多余了。（2）=。注：不要将约做，因为这样是分子分母都减 a2，不是同除以相同的整式。-.z.（3）=*2+1。注：不要犯下面的错误：=*3-*2。（4）=-。注意：这里应用到了(2-*)3=-(*-2)3的变形。（5）=（分子按*的降幂排列）=（分子提取公因式-1）=（分子、分母都分解因式）=（约去公因式：*-1）=-（应用分式的符号法则）说明：此题的解法，一方面
11、显示出分式约分的一般步骤，另一方面在解题的右侧的括号内写出运算的算理，平日的化简是不写这些的，但不是它不存在，在思维上它是不可缺少的。分数的乘除法的关键是约分，而分式乘除法的关键也是约分，就是说，分式乘除法运算的实质是约分，它能使运算的结果化为最简分式。同分数的约分一样，分式的约分是应用分式的基本性质，把分式的分子、分母同除以它们的公因式，把分式化简，因此约分的关键在于正确寻找到分式分子、分母中的公因式。附录：-.z.一、本讲教学内容及要求 单元 节次 知识要点 教学要求 分 式 分式 （1）分式概念 （2）有理式概念 A（了解）A 分式的基本性质 （1）分式的基本性质 （2）分式的符号法则 D（灵活运用）C（掌握）分式的约分 （1）约分和最简分式 （2）约分的根据 （3）分式的约分 B（理解）C D 二、本讲技能要求 1、了解分式、有理式、最简分式、最简公分母的概念，会利用这些概念进行判断。2、掌握分式有意义的条件，分式为零的条件及分式的基本性质，掌握分式的变号法则，能熟练地进行约分。3、重要数学思想 通过本讲中分式性质及分式约分进一步理解转化思想；对本章中数、式通性的理解，进一步掌握类比归纳的思维方法。