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1、初中数学初中数学圆的总复习 圆 理解圆及其有关概念，了解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系。探索圆的性质，了解圆周角与圆心角的关系、直径所对圆周角的特征。了解三角形的内心和外心。了解切线的概念，探索切线与过切点的半径之间的关系；能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。会计算弧长及扇形的面积，会计算圆锥的侧面积和全面积。一、圆的概念n1.平面上到定点的离等于定长的所有点组成的图形叫做圆.其中,定点称为圆心,定长称为半径的长(通常也称为半径).以点O为圆心的圆记作O,读作“圆O”.n2.圆心确定圆的位置,半径确定圆面积的大小.n3.圆是轴对称图形,圆
2、的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.n4.圆也是中心对称图形,它的对称中心就是圆心.n5.圆的旋转不变性.n6.圆上任意两点间的线段叫做弦,经过圆心的弦称为直径,圆心到弦的距离称为弦心距.n7.圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.直径分圆为两条相等的弧,称为半圆.大于半圆的弧称为优弧,小于半圆的弧称为劣弧.n8.圆心相同,半径不同圆称为同心圆.n9.半径相同,圆心不同的圆称为等圆.n10.在同圆或等圆中，能够重合的弧称为等弧.n11.顶点在圆心的角称为圆心角.n12.顶点在圆上,它的两边分别 与圆还有另一个交点,像这样的角,叫做圆周角.二、点与圆的位置关系n1.点与圆的位置关
3、系有三种：点在圆外,点在圆上,点在圆内.n2.点与圆的位置关系的数量点到圆心的距离(d)与半径(r)关系：点在圆外 点在圆上 点在圆内 drdrdrABC中，C=90，AB=4cm，BC=2cm，以点A为圆 心，以 3.5cm长 为 半 径 画 圆，则 点 C在 A ，点B在A ；三、垂径定理n1.定理 垂直于弦的直径平分弦,并且平分弦所的两条弧.OABCDMAM=BM,重视：模型“垂径定理三角形”若 CD是直径 CDAB可推得 AC=BC,AD=BD.只要具备其中两个条件,就可推出其余三个结论.AC=BC,AD=BD.2.垂径定理的逆定理 在下列五个条件中:CD是直径,CDAB,AM=BM,
4、判断：垂直于弦的直线平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。（）平分弦所对的一条弧的直径一定平分这条弦所对的另一条弧 。（）经过弦的中点的直径一定垂直于弦。（）圆的两条弦所夹的弧相等，则这两条弦平行。（）弦的垂直平分线一定平分这条弦所对的弧。（）ABCD0EFGH如图,圆O与矩形ABCD交于E、F、G、H，EF=10，HG=6，AH=4，求BE的长。MN534已知：如图，直径CDAB，垂足为E.若半径R=2，AB=,求OE、DE 的长.若半径R=2，OE=1，求AB、DE 的长.由、两题的启发，你还能编出什么其他问题？a/2hrdd+h=r 在a,d,r,h中，已知其中任意两个量，可以求出其它两个
5、量。ABOED油的最大深度ED=ODOE=200(mm)或者油的最大深度ED=OD+OE=450(mm).(1)(2)在直径为650mm的圆柱形油槽内装入一些油后,油面宽AB=600mm,求油的最大深度.OE=125(mm)BAOED 如图，某地有一圆弧形拱桥，桥下水面宽为7.2米，拱顶高出水面2.4米。现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里，此货船能顺利通过这座拱桥吗？四、圆心角,弧,弦,弦心距之间的关系定理n1.定理 在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等所对的弦相等,所对的弦的弦心距相等.2.推论 在同圆或等圆中,如果两个圆心角,两条弧,两条弦,两条弦的弦心距中
6、,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.OABDABDOABDOABD（一）、圆的中心对称性（一）、圆的中心对称性（1 1）若将圆以圆心为旋转中心，旋转）若将圆以圆心为旋转中心，旋转180180，你能发现什么？你能发现什么？圆绕其圆心旋转圆绕其圆心旋转180180后能与原来图形相重合。后能与原来图形相重合。因此，因此，圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆是中心对称图形，对称中心是圆心。圆绕圆心旋转任意角度圆绕圆心旋转任意角度，都能够与原来的图形重合。都能够与原来的图形重合。圆具有旋转不变性圆具有旋转不变性B（2 2）若旋转角度不是）若旋转角度不是180180，而是旋转任意角度，则
7、，而是旋转任意角度，则 旋转过后的图形能与原图形重合吗？旋转过后的图形能与原图形重合吗？OA如图，点如图，点O O是是EPFEPF的平分线上的一点，以的平分线上的一点，以O O为圆心的圆和角的两边分别交于为圆心的圆和角的两边分别交于 点点 A A、B B和和C C、D D。求证：求证：AB=CDAB=CDMN证明：作证明：作OMABOMAB，ONCDONCD，M M，N N为垂足。为垂足。推广：若将上题中的点推广：若将上题中的点O O看作是沿着看作是沿着EPFEPF的平分线运动的。的平分线运动的。在在EPFEPF的每边与圆的每边与圆O O有两个交点的时候，是否都能够得到上题的结论？有两个交点的
8、时候，是否都能够得到上题的结论？如图，如图，A A、B B分别为分别为CDCD和和EFEF的中点，的中点，ABAB分别交分别交CDCD、EFEF于点于点M M、N N，且且AM=BNAM=BN。求证：求证：CD=EFCD=EF 证：连结证：连结OAOA、OBOB，设分别与设分别与CDCD、EFEF交于点交于点F F、G G A A为为CDCD中点，中点，B B为为EFEF中点中点 OACDOACD，OBEF OBEF 故故AFC=BGE=90AFC=BGE=90 又由又由OA=OBOA=OB，OAB=OBA OAB=OBA 且且AM=BN AM=BN AFMBGN AFMBGN AF=BG A
9、F=BG OF=OG OF=OG DC=EF DC=EF FG如图：如图：和和 是两个等圆，直线是两个等圆，直线 平行于平行于 分别交分别交 于于 点点 、，交，交 于点于点 、。求证：求证：五、圆周角定理n1.定理 一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半.2.推论1:n在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等.n3.推论2:直径所对的圆周角是直角.n4.推论3:90的圆周角所对的弦是直径.即 ABC=AOC.OABCOBACDEOABC1 如图，以O的半径OA为直径作O1,O的弦AD交O1于C,则OC与AD的位置关系是_。2 在上题中,若AC=2cm,则AD=_cm。ABCDOO1OC
10、与BD的位置关系是_。垂 直平 行4六、直线与圆的位置关系n1.相交、相切、相离.n2.直线和圆有惟一公共点(即直线和圆相切)时,这条直线叫做圆的切线,这个惟一的公共点叫做切点.OO相交O相切相离n3.直线与圆的位置关系量化揭密.n圆心到直线的距离为d,圆的半径为r.n直线和圆相交nd r;nd r;n直线和圆相切n直线和圆相离nd r;OO相交O相切相离rrrddd公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN=30，点A处有一所中学。AP=160米。假设拖拉机行驶时，周围100米以内会受到噪声影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向匀速行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由；如果受影响，那么学
11、校受影响的时间为多少秒？（已知拖拉机的速度为18千米/时）QPMNABCD七、七、切线切线的性质和判定定理的性质和判定定理n1.1.性质性质定理定理 圆切线垂直于过切点的半径圆切线垂直于过切点的半径(直径直径).).n2.2.判定定理判定定理 经过半径经过半径(直径直径)的外端的外端,并且垂直于这条并且垂直于这条半径半径(直径直径)的直线是圆的切线的直线是圆的切线.CDBOABOACD例例1 1、已知：直线、已知：直线ABAB经过经过O O上的上的 点点C C，并且并且OA=OB,CA=CB.OA=OB,CA=CB.求证：直线求证：直线ABAB是是O O的切线。的切线。证明：如图，连结证明：如
12、图，连结OC.OC.OA=OB,CA=CB OA=OB,CA=CB OC OC是等腰是等腰OABOAB 底边底边BCBC上的中线上的中线 OCABOCAB 又又ABAB过半径过半径OCOC的外端的外端 ABAB是是O O的切线的切线OACBA AO OT TC CB练习：如图，练习：如图，ABAB是是O O的直径，的直径，ABT=45,AT=ABABT=45,AT=AB。求证：求证：ATAT是是O O的切线。的切线。八、三角形与八、三角形与圆圆n1 1.定理定理 不在不在一条直线上的三个点确定一个圆一条直线上的三个点确定一个圆.n2.2.三角形的三个三角形的三个顶点顶点确定一个圆确定一个圆,这
13、圆叫做三角这圆叫做三角形的形的外接圆外接圆.这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的内接三角形内接三角形.n3.3.与三角形与三角形三边都相切的三边都相切的圆圆,叫做三角形的叫做三角形的内切内切圆圆.这个三角形叫做圆的这个三角形叫做圆的外切三角形外切三角形.n4.4.外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的的交点点,叫做三角形的叫做三角形的外心外心.n5.5.内切圆内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点的圆心是三角形三条角平分线的交点,叫做三角形的叫做三角形的内心内心.八、三角形与八、三角形与圆圆n1.1.切线长定理及其推论切线长定理及其推论:n从圆外一点向圆面
14、积所引的两条切线的长相等从圆外一点向圆面积所引的两条切线的长相等;n并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角并且这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.n2.2.直角三角形的内切圆半径与三边关系直角三角形的内切圆半径与三边关系.n3.3.三角形的内切圆半径与圆面积三角形的内切圆半径与圆面积.ABPO12ABCODEFABCOODEF在在RtRtABCABC中，中，AB=6AB=6，BC=8BC=8，则这个三角形外接圆直径是则这个三角形外接圆直径是 。九、四边形与九、四边形与圆圆n1.1.如果四边形的四个如果四边形的四个顶点顶点在一个圆在一个圆,这圆叫做四边形这圆叫做四边形的的外接圆外接圆.这个四
15、边形叫做圆的这个四边形叫做圆的内接四边形内接四边形.n2.2.如果四边形的四条如果四边形的四条边边都与一个圆相切都与一个圆相切,这圆叫做四这圆叫做四边形的边形的内切圆内切圆.这个四边形叫做圆的这个四边形叫做圆的外切四边形外切四边形.n3.3.圆内接四边形对角互补圆内接四边形对角互补.n4.4.圆内接四边形的一个外角等于它的内对角圆内接四边形的一个外角等于它的内对角.n5.5.对角互补的四边形内接于圆对角互补的四边形内接于圆.n6.6.圆外切四边形两组对边的和相等圆外切四边形两组对边的和相等.菱菱形形ABCDABCD中中，周周长长为为4040，ABC=120ABC=120，则则内内切切圆圆的的半
16、半径为（径为（）（A）（B）（C）（D）如如图图，O O是是ABCABC的的内内切切圆圆，D D、E E、F F是是切切点点，A=50A=50，C=60C=60，则则DOE=DOE=（）（A A）70 70 （B B）110 110 （C C）120 120 （D D）130 130 十、十、圆与圆的位置关系圆与圆的位置关系1.1.外离、外切、相交、内切、内含外离、外切、相交、内切、内含.上述五种位置关系还可以分成上述五种位置关系还可以分成:相交、相切、相离相交、相切、相离三类三类O2 2O1 1内切内切外切外切O2 2O1 1O2 2O1 1内含内含外离外离O2 2O1 1O2 2O1 1相
17、切相切相交相交相离相离相交相交3.3.圆与圆的位置关系量化揭密圆与圆的位置关系量化揭密内切内切内含内含外离外离外切外切O2 2O1 1O2 2O2 2相交相交O1 1O1 1O2 2O1 1O2 2O1 1RrRrRrRrRr两圆外切两圆外切d d R+r;R+r;=两圆内切两圆内切d d R-r;R-r;=d d R-r;R-r;两圆内含两圆内含两圆相交两圆相交R-rR-r d d R+r.R+r.两圆外离两圆外离已知已知O O1 1与与O O2 2相切，且相切，且O O1 1的半径的半径6 6cmcm，两圆的两圆的圆心距为圆心距为8 8cmcm，则则O O2 2的半径为的半径为 。十一、十
18、一、弧长弧长与与扇形面积扇形面积1.1.半径为半径为R R的圆中的圆中,nn的圆心角所对的的圆心角所对的弧长弧长的计算公式的计算公式n2.2.半径为半径为R R的圆中的圆中,nn的圆心角所对的的圆心角所对的扇形面积扇形面积.弓形的弦长弓形的弦长2424cm,cm,圆弧半径为圆弧半径为1313cm,cm,则弓形的高则弓形的高为为十二、十二、圆锥圆锥的的侧面积侧面积(扇形扇形)1.1.如如图图,设设圆圆锥锥的的母母线线长长为为l l,底底面面半半径径为为r,r,那那么么,这这个个扇扇形形的的半半径径(R)R)为为圆圆锥锥的的母母线线l l,扇扇形形的的弧弧长长(L)L)为为圆圆锥锥底底面面的的周周
19、长长(L=2r)L=2r),因因此此圆圆锥锥的的侧侧面面积积(S S侧)为为圆圆锥锥的的母母线线与与扇扇形形弧弧长长积积的的一一半半;若若圆圆锥锥的的底底面面半半径径为为r,r,母母线线长长为为l l,则则它它的的侧侧面面积积(S S侧)圆圆锥锥的的母母线线与与底底面面周周长长积的一半积的一半.n2.2.若圆锥的底面半径为若圆锥的底面半径为r,r,母线长为母线长为l,l,则它的侧面积则它的侧面积(S S侧侧)圆锥的母线与底圆锥的母线与底面周长积的一半面周长积的一半.已知圆锥的轴截面是一等腰直角三角形，则其侧已知圆锥的轴截面是一等腰直角三角形，则其侧面展开图扇形的圆心角为（面展开图扇形的圆心角为（）D祝大家学习愉快！