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1、19.1 19.1 多边形内角和多边形内角和张集学校张集学校 魏俊廷魏俊廷观察：观察：由由这组图形中你能抽这组图形中你能抽象出什么几何图形？象出什么几何图形？三角形三角形在平面内，在平面内，由由 不在同一不在同一条直线上的线段首尾顺次相接所条直线上的线段首尾顺次相接所组成的封闭图形组成的封闭图形.的定义：三条三条ABC.若干条若干条多边形多边形四边形四边形四条四条内角内角对角线对角线对角线对角线：多边形中连接多边形中连接不不相邻相邻的两个顶点的的两个顶点的线段线段.可表示为：可表示为：五边形五边形ABCDE或五边形或五边形AEDCBABCDE外角外角1多多边边形形的的元元素素及及表表示示顶点顶
2、点边边比一比你能说出这两幅图形的异同点吗？你能说出这两幅图形的异同点吗？是凸多边形是凸多边形不不是是凸凸多多边边形形(1)(2)一个多边形，如果把它任何一边双向延长，一个多边形，如果把它任何一边双向延长，其他各边都在延长所得直线的其他各边都在延长所得直线的同一旁同一旁，这样，这样的多边形叫做的多边形叫做凸多边形凸多边形.三角形内角和是多少度？三角形内角和是多少度？动手操作，探索新知动手操作，探索新知:（2）长方形、正方形的内角和是多少？）长方形、正方形的内角和是多少？490=360 能猜想任意凸四边形内角和是多少度吗？能猜想任意凸四边形内角和是多少度吗？ABCD你有什么方法验证你你有什么方法验
3、证你的猜想？的猜想？任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和过一个顶点画对角线过一个顶点画对角线1 1条，得到条，得到2 2个三角形，个三角形，内角和为内角和为 2 2180180=360=3600 0任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和在四边形内部任取一点在四边形内部任取一点，连接各顶点，连接各顶点，如图如图内角和为内角和为 4180-360任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和在四边形一边上任取一点，在四边形一边上任取一点，连接不相临连接不相临的各顶点，的各顶点，内角和为内角和为 3 3180180-180-180任意凸四边形内角和任意凸四边形内角和在四边形外部任取一点在四边形外部任取一点，连接
4、各顶点，连接各顶点，如图如图内角和为内角和为 3180-180 A BCDE想想一想：一想：五边形的内角和是多少度呢？五边形的内角和是多少度呢？3 1800=5400你能动手做一做吗你能动手做一做吗?按照第一种分割的做法来看：按照第一种分割的做法来看：动动脑和手动动脑和手多边多边形边形边数数从一个顶点引出从一个顶点引出对角线条数对角线条数图形图形分割成的分割成的三角形个三角形个数数多边形的内角和多边形的内角和456.n221800331800441800n-2(n-2)1800123n-3猜想：猜想：n边形的内角和等于边形的内角和等于（n-2）180(n为不小于为不小于3的整数的整数)你能用其
5、他的方法得出这个结论吗？你能用其他的方法得出这个结论吗？你能证明你能证明n边形内角和定理吗？边形内角和定理吗？证明证明：在：在n边形边形内部内部任任取一点取一点O，再把点，再把点O与与各顶点连接，将原多边各顶点连接，将原多边形分割成形分割成n个三角形，个三角形，n个三角形的内角和减去个三角形的内角和减去一个周角，即得一个周角，即得n边形边形的内角和为的内角和为180n-360=(n-2)180n边形内角和定理边形内角和定理的证明的证明由此，我们就可以得出由此，我们就可以得出:n边形的内角和为：边形的内角和为：(n-2)180 它有什么作用它有什么作用呢呢?1.知道多边形的边数知道多边形的边数,
6、可以求出多边形的度数可以求出多边形的度数.2.知道多边形的度数知道多边形的度数,可以求出多边形的边数可以求出多边形的边数.练一练：练一练：1、十边形的内角和为十边形的内角和为_.2、已知多边形内角和、已知多边形内角和等于等于25202520，则它的边数为则它的边数为_.1440 163、已知多边形每个内角都等于、已知多边形每个内角都等于150，求它的边数及内角和，求它的边数及内角和.解：解：设此多边形边数为设此多边形边数为n，由多边形的，由多边形的内角和公式可得：内角和公式可得：（n-2)180=150 n n=12 15012=1800答：此多边形边数为答：此多边形边数为12，内角和为，内角
7、和为1800.做一做做一做（2 2）如图，求）如图，求ABCABC的三个外角的和。的三个外角的和。三角形的三个外角三角形的三个外角之和为之和为3603600 0 探究探究（1）什么是三角形的外角？外角有什么）什么是三角形的外角？外角有什么性质？性质？（3 3）四边形的外角和等于多少度？）四边形的外角和等于多少度？（4 4）五边形的外角和怎么求？）五边形的外角和怎么求？n n边形呢边形呢？多边形内角的多边形内角的一边与另一边的反向延长线一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的所组成的角叫做这个多边形的外角外角。在每个顶点处取在每个顶点处取这个多边形的一个外角，这个多边形的一个外角，它们
8、的和它们的和叫做这个多边形的外角和。叫做这个多边形的外角和。明确：明确：清晨，小华清晨，小华沿一个五边沿一个五边形广场周围形广场周围的小路，按的小路，按逆时针方向逆时针方向跑步。跑步。（2 2）他每跑完一圈，身）他每跑完一圈，身体转过的角度之和是体转过的角度之和是多少？多少？（3 3）在图中，你能求出）在图中，你能求出 1+1+2+2+3+3+4+4+5 5吗？你是怎样吗？你是怎样得到的？得到的？（1 1）小华每从一条街）小华每从一条街道转到下一条街道时，道转到下一条街道时，身体转过的角是哪个身体转过的角是哪个角？角？ABCDEACDEBO12345结论：1 1，2 2，3 3，4 4，5 5
9、的和等于的和等于3636想一想：如果广场的形状是六边形、八边形，如果广场的形状是六边形、八边形，那么还有类似的结论吗？那么还有类似的结论吗？想一想议一议：（1 1）还有什么方法可以推导出多边形外角和）还有什么方法可以推导出多边形外角和公式？公式？（2 2）利用多边形外角和的结论，能否推导出）利用多边形外角和的结论，能否推导出多边形内角和的结论？多边形内角和的结论？反过来呢？反过来呢？n n边形的外角和等于边形的外角和等于3636(n(n为不为不小于小于3 3的整数）的整数）定理定理猜想与说理猜想与说理:n边形的外角和是多少度呢边形的外角和是多少度呢?答:都是360.因为多边形的外角与它相邻的内
10、角是邻补角，所以n边形的外角和加内角和等于n180，内角和为(n2)180,因此，外角和为：n180(n2)180=360.结论结论:多边形的外角和都等于多边形的外角和都等于360.做一做：例例1 1：一个多边形的内角和等于它的：一个多边形的内角和等于它的外角和的外角和的3 3倍，它是几边形？倍，它是几边形？1、什么叫正三角形？什么叫正方形？、什么叫正三角形？什么叫正方形？2、什么叫正多边形？、什么叫正多边形？问题问题 三角形如果三条三角形如果三条边都相等边都相等，三个，三个角角也都相等，也都相等，那么这样的三角形就叫做那么这样的三角形就叫做正正三角形。三角形。如果多边形各如果多边形各边边都相
11、等，各个都相等，各个角角也都相等，也都相等，那么这样的多边形就叫做那么这样的多边形就叫做正多边形正多边形。如正三角形、如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等正四边形（正方形）、正五边形等等。正三角形正三角形正方形正方形正五边形正五边形正六边形正六边形正八边形正八边形(或正三边形或正三边形)(或正四边形或正四边形)归归纳纳：那么对于正多边形来说,又遇到怎样的问题呢?因为正多边形的每个角相等因为正多边形的每个角相等,所以知道所以知道正多边形的边数正多边形的边数,就可以求出每一个内角的度数就可以求出每一个内角的度数.（n2）180/nl怎样求正六边形每个内角的度数？怎样求正六边形每个内角的度数
12、？l解：解：l正六边形内角和为正六边形内角和为l（6-2）x180=720所以所以每个内角的度数：每个内角的度数：720 /6=120 四边形四边形从顶点从顶点A出发可以引出对角线出发可以引出对角线-（用（用字母表示）四边形有字母表示）四边形有-个顶点，总共有个顶点，总共有-条对角线。条对角线。五边形五边形从顶点从顶点A出发可以引出对角线出发可以引出对角线-，（用字，（用字母表示）母表示）五边形有五边形有-个顶点，总共有个顶点，总共有-条对角线。条对角线。六边形六边形从顶点从顶点A出发可以引出对角线出发可以引出对角线-（用字母（用字母表示）表示）六边形有六边形有-个顶点，总共有个顶点，总共有-
13、条对角线。条对角线。从以上分析可知从从以上分析可知从n边形的一个顶点引对角线，可以引边形的一个顶点引对角线，可以引-条，条，n边边形形有有-个顶点，个顶点，n边形一共有边形一共有-条对角线。条对角线。ACAC.ADAC.AD.AE（n-3）nn(n-3)2425569思考思考 将四边形木架上再钉一根木条将四边形木架上再钉一根木条,将它的一将它的一对顶点连接起来对顶点连接起来,然后再扭动它然后再扭动它,这时木架的形这时木架的形状还会改变吗状还会改变吗?三角形具有稳定性，三角形具有稳定性，四边形具有不稳定性四边形具有不稳定性四边形不稳定性的应用四边形不稳定性的应用.1、下列图形中具有稳定性的是（、
14、下列图形中具有稳定性的是（）（A）正方形正方形 （B）长方形长方形（C）直角三角形直角三角形 （D）平行四边形平行四边形2、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？、要使下列木架稳定各至少需要多少根木棍？C3、下列图中具有稳定性有下列图中具有稳定性有（）A 1个个 B 2个个 C 3个个 D 4个个C练练练你练你的的“本领本领”l有有一张长方形的桌面，现在一张长方形的桌面，现在锯掉它的一个角，剩下的桌锯掉它的一个角，剩下的桌面是一个几边形？它的内角面是一个几边形？它的内角和是多少？和是多少？ABCDEMN2、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生、有一六边形，截去一三角形，内角和会发生怎样变化？
15、请画图说明。怎样变化？请画图说明。内角和减少内角和减少180O内角和不变内角和不变内角和增加内角和增加180O课堂小结课堂小结:（1）通过本节课的学习，你学到了）通过本节课的学习，你学到了哪些知识和方法？哪些知识和方法？（2）你认为这节课中最大的收获是什么？）你认为这节课中最大的收获是什么？（3）你还有哪些疑惑或不足？）你还有哪些疑惑或不足？谈谈收获1 1、n n边形的内角和等于边形的内角和等于(n-2)(n-2)1801800 0；2 2、多边形的外角和是、多边形的外角和是360360度；度；3 3、会运用多边形的内角和与外角和、会运用多边形的内角和与外角和 解决有关问题；解决有关问题；1.课本课本P74 习题习题 19.1 第第1-4题题2.同步练习同步练习19.1及拓展与提高及拓展与提高 多边形的内角和多边形的内角和日日行，不怕千万里；常常做，不怕千万事。