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1、第四章第四章 统计估值统计估值4.1 参数的点估计参数的点估计一、点估计的概念二、矩法估计三、极大似然估计v一、点估计的概念v二、矩法估计4.2 点估计优劣的评价标准v一、无偏性v二、有效性v三、一致性问题的提出 从前一节可以看到从前一节可以看到,对于同一个参数对于同一个参数,用用不同的估计方法求出的估计量可能不相同不同的估计方法求出的估计量可能不相同,那么那么那一个估计量好？好坏的标准是什么那一个估计量好？好坏的标准是什么?下面介绍几个常用标准下面介绍几个常用标准.一、无偏性(2)无偏估计的实际意义无偏估计的实际意义:无系统误差无系统误差.(1)无偏性是对估计量的一个基本而重要的要求无偏性是
2、对估计量的一个基本而重要的要求.如果有的一列估计如果有的一列估计 ,满足关系式满足关系式则称则称 是是 的渐近无偏估计（量）。的渐近无偏估计（量）。一个估计量如果不是无偏估计量，就称一个估计量如果不是无偏估计量，就称 这个估计量是有偏的，且称这个估计量是有偏的，且称 为估为估计量计量 的偏差。的偏差。证明证明例例1特别地特别地:证明证明例例2(这种方法称为这种方法称为无偏化无偏化).证明证明例例3证明证明例例4 0,1/又设又设其中参数其中参数其它其它度度概率密概率密的指数分布的指数分布服从参数为服从参数为设总体设总体 q q q q=q qq qq q-,00,1);(xxexp 由以上两例
3、可知,同一个参数可以有不同的无偏估计量.无偏性虽然是评价估计量的一个重无偏性虽然是评价估计量的一个重要标准要标准,而且在许多场合是合理的而且在许多场合是合理的,必要必要的。然而有时一个参数的无偏估计可能的。然而有时一个参数的无偏估计可能不存在，或不合理的。不存在，或不合理的。这些说明仅有无偏性要求是不够的。于这些说明仅有无偏性要求是不够的。于是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的是，人们又在无偏性的基础上增加了对方差的要求。若估计量的方差越小。表明该估计量的要求。若估计量的方差越小。表明该估计量的取值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越取值（即估计值）围绕着待估参数的波动就越小，也就是更为理
4、想的估计量。为此，引入最小，也就是更为理想的估计量。为此，引入最小方差无偏计。小方差无偏计。2.如例如例4 有时对同一个参数可有多个无偏估计有时对同一个参数可有多个无偏估计.1.例例:设总体设总体 ,则则 就没有无偏就没有无偏估计。估计。二、有效性 由于方差是随机变量取值与其数学期望的由于方差是随机变量取值与其数学期望的偏离程度偏离程度,所以无偏估计以方差小者为好所以无偏估计以方差小者为好.证明证明例例5 (续例续例4)证明证明练习练习 (续例续例3)说明说明最小方差无偏估计是一种最优估计.定义定义6.4三、一致性三、一致性有时候我们不仅要求估计量有较小的方差，还有时候我们不仅要求估计量有较小
5、的方差，还希望当样本容量希望当样本容量n充分大时，估计量能在某种意充分大时，估计量能在某种意义下收敛于被估计参数，这就是所谓一致性的义下收敛于被估计参数，这就是所谓一致性的概念。概念。定义定义6.56.5 设设 是未知参数是未知参数 估计序列，如果估计序列，如果 依概率收敛于依概率收敛于 ，即对任意，即对任意 ，有，有 或或则则 称是称是 的一致估计量（的一致估计量（相合估计相合估计）。）。小 结估计量的评选的三个标准估计量的评选的三个标准无偏估计无偏估计有效估计有效估计一致估计一致估计 相合性是对估计量的一个基本要求相合性是对估计量的一个基本要求,不具不具备相合性的估计量是不予以考虑的备相合性的估计量是不予以考虑的.估计量的相合性只有当样本容量相当大时估计量的相合性只有当样本容量相当大时,才能显示出优越性才能显示出优越性,这在实际中往往难以做到这在实际中往往难以做到,因此因此,在工程中往往使用无偏性和有效性这两个在工程中往往使用无偏性和有效性这两个标准标准.