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1、第三十三讲 相似三角形(一)两个形状相同的图形称为相似图形，最基本的相似图形是相似三角形对应角相等、对应边成比例的三角形，叫作相似三角形相似比为1的两个相似三角形是全等三角形因此，三角形全等是相似的特殊情况，而三角形相似是三角形全等的发展，两者在判定方法及性质方面有许多类似之处因此，在研究三角形相似问题时，我们应该注意借鉴全等三角形的有关定理及方法当然，我们又必须同时注意它们之间的区别，这里，要特别注意的是比例线段在研究相似图形中的作用 关于相似三角形问题的研究，我们拟分两讲来讲述本讲着重探讨相似三角形与比例线段的有关计算与证明问题；下一讲深入研究相似三角形的进一步应用例1 如图2-64所示，
2、已知ABEFCD，若AB=6厘米，CD=9厘米求EF分析 由于BC是ABC与DBC的公共边，且ABEFCD，利用平行线分三角形成相似三角形的定理，可求EF解 在ABC中，因为EFAB，所以同样，在DBC中有得设EF=x厘米，又已知AB=6厘米，CD=9厘米，代入得说明 由证明过程我们发现，本题可以有以下一般结论：“如本题请同学自己证明例2 如图2-65所示 ABCD的对角线交于O，OE交BC于E，交AB的延长线于F若AB=a，BC=b，BF=c，求BE分析 本题所给出的已知长的线段AB，BC，BF位置分散，应设法利用平行四边形中的等量关系，通过辅助线将长度已知的线段“集中”到一个可解的图形中来
3、，为此，过O作OGBC，交AB于G，构造出FEBFOG，进而求解解 过O作OGBC，交AB于G显然，OG是ABC的中位线，所以在FOG中，由于GOEB，所以例3 如图2-66所示在ABC中，BAC=120，AD平分分析 因为AD平分BAC(=120)，所以BAD= EAD=60若引DEAB，交AC于E，则ADE为正三角形，从而AE=DE=AD，利用CEDCAB，可实现求证的目标证 过D引DEAB，交AC于E因为AD是BAC的平分线，BAC=120，所以BAD=CAD=60又BAD=EDA=60，所以ADE是正三角形，所以EA=ED=AD 由于DEAB，所以CEDCAB，所以由，得从而例4 如图
4、2-67所示 ABCD中，AC与BD交于O点，E为AD延长线上一点，OE交CD于F，EO延长线交AB于G求证：分析 与例2类似，求证中诸线段的位置过于“分散”，因此，应利用平行四边形的性质，通过添加辅助线使各线段“集中”到一个三角形中来求证证 延长CB与EG，其延长线交于H，如虚线所示，构造平行四边形AIHB在EIH中，由于DFIH，所以在OED与OBH中，DOE=BOH，OED=OHB，OD=OB，所以 OEDOBH(AAS)从而DE=BH=AI，例5(梅内劳斯定理) 一条直线与三角形ABC的三边BC，CA，AB(或其延长线)分别交于D，E，F(如图2-68所示)求分析 设法引辅助线(平行线
5、)将求证中所述诸线段“集中”到同一直线上进行求证证 过B引BGEF，交AC于G由平行线截线段成比例性质知说明 本题也可过C引CGEF交AB延长线于G，将求证中所述诸线段“集中”到边AB所在直线上进行求证例6 如图2-69所示P为ABC内一点，过P点作线段DE，FG，HI分别平行于AB，BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425求d分析 由于图中平行线段甚多，因而产生诸多相似三角形及平行四边形利用相似三角形对应边成比例的性质及平行四边形对边相等的性质，首先得到一个一般关系：进而求d因为FGBC，HICA，EDAB，易知，四边形AIPE，BDPF，CGPH均是平行
6、四边形BHIAFGABC，从而将代入左端得因为DE=PEPD=AIFB， AF=AIFI， BI=IFFB 由，知，的分子为DEAFBI=2(AIIFFB)=2AB从而即下面计算d因为DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，代入得解得d306练习十五1如图2-70所示梯形ABCD中，ADBC，BD，AC交于O点，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EFBCAD=12厘米，BC=20厘米求EF2已知P为ABCD边BC上任意一点，DP交AB的延长线于Q3如图 2-72所示梯形 ABCD中，ADBC，MNBC，且MN与对角线BD交于O若AD=DO=a，BC=BO=b，求MN
7、4P为ABC内一点，过P点作DE，FG，IH分别平行于AB，BC，CA(如图2-73所示)求证：5如图 2-74所示在梯形 ABCD中，ABCD，ABCD一条直线交BA延长线于E，交DC延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I已知EF=FG=CH=HI=HJ，求DCAB6已知P为ABC内任意一点，连AP，BP，CP并延长分别交对边于D，E，F求证：不少于2第十六讲 相似三角形(二)上一讲主要讲述了相似三角形与比例线段之间的关系的计算与证明，本讲主要讲述相似三角形的判定与性质的应用 例1 如图2-76所示ABC中，AD是BAC的平分线求证：ABAC=BDDC分析 设法通过添辅助
8、线构造相似三角形，这里应注意利用角平分线产生等角的条件证 过B引BEAC，且与AD的延长线交于E因为AD平分BAC，所以1=2又因为BEAC，所以2=3从而1=3，AB=BE显然BDECDA，所以 BEAC=BDDC，所以 ABAC=BDDC说明 这个例题在解决相似三角形有关问题中，常起重要作用，可当作一个定理使用类似的还有一个关于三角形外角分三角形的边成比例的命题，这个命题将在练习中出现，请同学们自己试证在构造相似三角形的方法中，利用平行线的性质(如内错角相等、同位角相等)，将等角“转移”到合适的位置，形成相似三角形是一种常用的方法例2 如图 2-77所示在ABC中，AM是BC边上的中线，A
9、E平分BAC，BDAE的延长线于D，且交AM延长线于F求证：EFAB分析 利用角平分线分三角形中线段成比例的性质，构造三角形，设法证明MEFMAB，从而EFAB证 过B引BGAC交AE的延长线于G，交AM的延长线于H因为AE是BAC的平分线，所以BAE=CAE因为BGAC，所以CAE=G，BAE=G，所以 BA=BG又BDAG，所以ABG是等腰三角形，所以ABF=HBF，从而ABBH=AFFH又M是BC边的中点，且BHAC，易知ABHC是平行四边形，从而BH=AC，所以 ABAC=AFFH因为AE是ABC中BAC的平分线，所以ABAC=BEEC，所以 AFFH=BEEC，即(AM+MF)(AM
10、-MF)=(BM+ME)(BM-ME)(这是因为ABHC是平行四边形，所以AM=MH及BM=MC)由合分比定理，上式变为AMMB=FMME在MEF与MAB中，EMF=AMB，所以MEFMAB(两个三角形两条边对应成比例，并且夹角相等，那么这两个三角形相似)所以ABM=FEM，所以 EFAB例3 如图2-78所示在ABC中，ABC=124 即可，为此若能设法利用长度分别为AB，BC，CA及l=ABAC这4条线段，构造一对相似三角形，问题可能解决注意到，原ABC中，已含上述4条线段中的三条，因此，不妨以原三角形ABC为基础添加辅助线，构造一个三角形，使它与ABC相似，期望能解决问题证 延长AB至D
11、，使BD=AC(此时，AD=ABAC)，又延长BC至E，使AE=AC，连结ED下面证明，ADEABC设A=，B=2，C=4，则A+B+C=7=180由作图知，ACB是等腰三角形ACE的外角，所以ACE=180-43，所以 CAE=180-3-3=7-6=从而EAB=2EBA，AEBE又由作图AE=AC，AE=BD，所以 BE=BD，BDE是等腰三角形，所以DBEDCAB，所以 ABCDAE，所以例4 如图2-79所示P，Q分别是正方形ABCD的边AB， BC上的点，且BP=BQ，BHPC于H求证：QHDH.分析 要证QHDH，只要证明BHQ=CHD由于PBC是直角三角形，且BHPC，熟知PBH
12、=PCB，从而HBQ=HCD，因而BHQ与DHC应该相似证 在RtPBC中，因为BHPC，所以PBC=PHB=90，从而 PBH=PCB显然，RtPBCRtBHC，所以由已知，BP=BQ，BC=DC，所以因为ABC=BCD=90，所以HBQ=HCD，所以 HBQHCD，BHQ=DHC，BHQQHC=DHCQHC又因为BHQQHC=90，所以 QHD=QHCDHC=90，即 DHHQ例5 如图2-80所示P，Q分别是RtABC两直角边AB，AC上两点，M为斜边BC的中点，且PMQM求证：PB2QC2=PM2QM2分析与证明 若作MDAB于D，MEAC于E，并连接PQ，则PM2QM2=PQ2=AP
13、2AQ2于是求证式等价于PB2+QC2=PA2+QA2， 等价于PB2-PA2=QA2-QC2 因为M是BC中点，且MDAC，MEAB，所以D，E分别是AB，AC的中点，即有AD=BD，AE=CE，等价于(ADPD)2-(AD-PD)2=(AEEQ)2-(AE-EQ)2， 等价于ADPD=AEEQ 因为ADME是矩形，所以AD=ME，AE=MD，故等价于MEPD=MDEQ 为此，只要证明MPDMEQ即可下面我们来证明这一点事实上，这两个三角形都是直角三角形，因此，只要再证明有一对锐角相等即可由于ADME为矩形，所以DME=90=PMQ(已知) 在的两边都减去一个公共角PME，所得差角相等，即P
14、MD=QME 由，所以MPDMEQ由此成立，自逆上，步步均可逆推，从而成立，则原命题获证例6 如图2-81所示ABC中，E，D是BC边上的两个三等分点，AF=2CF，BF=12厘米求：FM，MN，BN的长解 取AF的中点G，连接DF，EG由平行线等分线段定理的逆定理知DFEGBA，所以CFDCAB，MFDMBA 所以MB=3MF，从而BF=4FM=12，所以FM=3(厘米)又在BDF中，E是BD的中点，且EHDF，所以因为EHAB，所以NEHNAB，从而显然，H是BF的中点，所以故所求的三条线段长分别为练习十六1如图2-82所示在ABC中，AD是BAC的外角CAE的平分线求证：ABAC=BDDC2如图2-83所示在ABC中，ACB=90，CDAB于D，AE平分CAB，CF平分BCD求证：EFBC3如图2-84所示在ABC内有一点P，满足APB=BPC=CPA若2B=A+C，求证：PB2PAPC(提示：设法证明PABPBC)4如图2-85所示D是等腰直角三角形ABC的直角边BC的中点，E在斜边AB上，且AEEB=21求证：CEAD5如图2-86所示RtABC中，A=90，ADBC于D，P为AD的中点，延长BP交AC于E，过E作EFBC于F求证：EF2=AEEC6在ABC中，E，F是BC边上的两个三等分点，BM是AC边上的中线，AE，AF分别与BM交于D，G求：BDDGGM