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1、 2 224644826.1.2二次函数二次函数y=ax2的图象的图象一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c(a(a、b b、c c为常数为常数,a0a0)的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x是自变量是自变量,a,b,c分别是函数表达式的二次项系数、一次分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项项系数和常数项.二次函二次函数的定义数的定义:(1)一次函数的图象是一条一次函数的图象是一条_，反比例函数的图象是，反比例函数的图象是_.(2)通常怎样画一个函数的图象？通常怎样画一个函数的图象？直线直线双曲线双曲线(3)二次函数的图象是什么形二次函数的
2、图象是什么形 状呢？状呢？列表、描点、连线列表、描点、连线 结合结合图象图象讨论讨论性质性质是是数形结合数形结合的研究函数的重要的研究函数的重要方法我们得从最方法我们得从最简单的二次函数开简单的二次函数开始逐步深入地讨论始逐步深入地讨论一般二次函数的图一般二次函数的图象和性质象和性质1.列表列表：在：在y=x2 中自变量中自变量x可以是任意实数，列表表示几组对应值：可以是任意实数，列表表示几组对应值：x3210123y=x22.根据表中根据表中x,y的数值在坐标平面中的数值在坐标平面中描点（描点（x,y）画最简单的二次函数画最简单的二次函数 y=x2 的图象的图象3336901491493.连
3、线连线 如图，再用平滑曲线顺次如图，再用平滑曲线顺次连接各点，就得到连接各点，就得到y=x2 的图象的图象y=x 2 二次函数二次函数 y=x2的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做所经过的路线，只是这条曲线开口向上，这条曲线叫做抛物线抛物线 y=x2，看出：看出：y轴是抛物线轴是抛物线y=x 2 的对称轴，抛物线的对称轴，抛物线y=x 2 与它的对称轴的交与它的对称轴的交点（点（0，0）叫做）叫做抛物线抛物线y=x2 的顶点的顶点，它是抛物线，它是抛物线y=x 2 的的最低点最低点333
4、69 二次函数的图象都是二次函数的图象都是抛物线抛物线，它们的开口或者向上或者向下它们的开口或者向上或者向下 一般地，一般地，二次函数二次函数 y=ax2+bx+c（a0）的图象叫做）的图象叫做抛物线抛物线y=ax2+bx+c 实际上，每条抛物线实际上，每条抛物线都有对称轴都有对称轴，抛物线与对称轴的交点叫做，抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的抛物线的顶点顶点顶点是抛物线的顶点是抛物线的最低点或最高点最低点或最高点y=x2例例1 在同一直角坐标系中，画出函数在同一直角坐标系中，画出函数 的图象的图象解：分别填表，再画出它们的图象，如图解：分别填表，再画出它们的图象，如图x432101234x21
5、.510.500.511.5284.520.5084.520.584.520.5084.520.5 22246448函数函数 的图象与函数的图象与函数 y=x2 的图象相比，的图象相比，有什么共同点和不同点？有什么共同点和不同点？22246448相同点相同点：开口：向上，：开口：向上，顶点：原点（顶点：原点（0,0）最低点最低点 对称轴：对称轴：y 轴轴增减性：增减性：y 轴左侧，轴左侧，y随随x增大而减小增大而减小 y 轴右侧，轴右侧，y随随x增大而增大增大而增大不同点不同点：a 值越大，抛物线的开值越大，抛物线的开口越小口越小探究探究 画出函数画出函数 的图象，并考虑这些抛物的图象，并考虑
6、这些抛物线有什么共同点和不同点线有什么共同点和不同点x432101234x21.510.500.511.5284.52 0.5084.520.584.520.5084.520.522246448 你画出的图象与图中相同吗？你画出的图象与图中相同吗？请找出相同点与不同点：请找出相同点与不同点：1.1.二次函数的图像都是二次函数的图像都是抛物线抛物线.2.2.抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质:(2)(2)当当a0a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点;当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 m+10 mm2 2+m=2 +m=
7、2 解解得得:m:m1 1=2,m2,m2 2=1=1 由由得得:m:m1 1 m=1m=1 此时此时,二次函数为二次函数为:y=2x:y=2x2 2,x.-2-1012y=x241014y=x2+1 y=x2y=x2+1函数函数y=x2+1的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象可由象可由y=x2的图象的图象沿沿y轴向轴向上上平移平移1个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的的图象的形状相同吗形状相同吗?形状相同形状相同5 2 0 2 5x.-2-1012y=x241014y=x2-2y=x
8、2y=x2-22 -1 0 -1 2函数函数y=x2-2的图象的图象可由可由y=x2的图象沿的图象沿y轴向轴向下下平移平移2个个单位长度得到单位长度得到.函数函数y=x2-2的图象与的图象与y=x2的的图象的位置有什么关系图象的位置有什么关系?函数函数y=x2+1的图的图象与象与y=x2的图象的的图象的形状相同吗形状相同吗?形状相同形状相同 函数函数y=ax2(a0)和函数和函数y=ax2+c(a0)的图象形状的图象形状 ，只是位置不同；当，只是位置不同；当c0时，函数时，函数y=ax2+c的图象可的图象可由由y=ax2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到，当个单位得到，当c0时，时，函数函
9、数y=ax2+c的图象可由的图象可由y=ax2的图象的图象向向 平移平移 个单位得到。个单位得到。y=-x2-2y=-x2+3y=-x2函数函数y=-x2-2的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向下下平移平移2个单位长度得到个单位长度得到.函数函数y=-x2+3的图的图象可由象可由y=-x2的图的图象沿象沿y轴向轴向上上平移平移3个单位长度得到个单位长度得到.图象向上移还是向下移图象向上移还是向下移,移多少个移多少个单位长度单位长度,有什么规律吗有什么规律吗?上加下减上加下减相同相同上上c下下|c|(1)函数函数y=4x2+5的图象可由的图象可由y=4x2的图象的图象 向向
10、平移平移 个单位得到；个单位得到；y=4x2-11的图象的图象 可由可由 y=4x2的图象向的图象向 平移平移 个单位得到。个单位得到。（3）将抛物线）将抛物线y=4x2向上平移向上平移3个单位，所得的个单位，所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。将抛物线将抛物线y=-5x2+1向下平移向下平移5个单位个单位,所得的所得的 抛物线的函数式是抛物线的函数式是 。(2)将函数将函数y=-3x2+4的图象向的图象向 平移平移 个单位可得个单位可得 y=-3x2的图象；将的图象；将y=2x2-7的图象向的图象向 平移平移 个个 单位得到单位得到y=2x2的图象。将的图象。将y=x2-7的图象的图
11、象 向向 平移平移 个单位可得到个单位可得到 y=x2+2的图象。的图象。上上5下下11下下4上上7上上9y=4x2+3y=-5x2-4 当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2+c的开口的开口 ，对称轴，对称轴是是 ，顶点坐标是，顶点坐标是 ，在对称轴的左侧，在对称轴的左侧，y随随x的的增大而增大而 ，在对称轴的右侧，在对称轴的右侧,y随随x的增大而的增大而 ，当当x=时，取得最时，取得最 值，这个值等于值，这个值等于 ；当当a0a0开口方向开口方向顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴增增减减性性极值极值向上向上向下向下(0,c)(0,c)y轴y轴当当x0时，时，y随着随着x的增大而增大。的增大而增大。当当x0时，时，y随着随着x的增大而减小。的增大而减小。x=0时,y最小=cx=0时,y最大=c抛物线抛物线y=ax2+c(a0)的图象可由的图象可由y=ax2的图象通过上的图象通过上下平移得到下平移得到.