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1、 26.1.4二次函数二次函数y=ax2+bx+c的图象的图象简市中学：汪世贵简市中学：汪世贵 如图，有一块铁皮，拱形边缘呈抛物线状，MN=4dm，抛物线顶点到MN的距离是4dm要在铁皮上截下一矩形ABCD，使矩形顶点B、C落在MN上，A、D落在抛物线上，试问这样截下的矩形铁皮周长能否等于8dm？2(2)4ya x解：设所求抛物线的解析式为由已知的抛物线过（0，0）点2(2)4yx所求抛物线为： 设 ,则BCa22aMC 2(2)4Dyx点 在抛物线上22ax当时244ay 18(82 )42dmaa当周长时CD2444aa所以截下的矩形铁皮周长不能等于8dm。解：不能 的方法和我们前面学过的
2、用配方法解二次方程 “ ”类似具体演算如下：化为化为的形式。的形式。用公式法把抛物线用公式法把抛物线2yaxbxc2ya xhk2yaxbxc2ya xhk把变形为20axbxc2yaxbxc24,24bacbaa2bxa 所以抛物线的顶点坐标是，对称轴是直线。2yaxbxc22222bbbca xxaaaa222424bacbaxaa22424bacba xaa2bca xxaa32yaxbxc图象的画法图象的画法 2yaxbxc2ya xhk步骤：1利用配方法或公式法把化为的形式。2确定抛物线的开口方向、对称轴及顶点坐标。3在对称轴的两侧以顶点为中心左右对称描点画图。 （3）开口方向：当）
3、开口方向：当 a0时，抛物线开时，抛物线开口向上；当口向上；当 a0时，抛物线开口向下。时，抛物线开口向下。4二次函数二次函数2yaxbxc的性质：的性质：（1）顶点坐标）顶点坐标24,;24bacbaa（2）对称轴是直线）对称轴是直线2bxa 2bxa 24-,4ac bya最小2bxa 24-;4ac bya最大如果如果a0，当，当时，函数有最小值，时，函数有最小值，如果如果a0，当，当时，函数有最大值，时，函数有最大值，（4）最值：）最值：2bxa 2bxa 2bxa 2bxa 若若a0，当，当时，时，y随随x的增大而增大；的增大而增大；当当时，时，y随随x的增大而减小。的增大而减小。若
4、若a0，当，当时，时，y随随x的增大而减小；的增大而减小；当时，时，y随随x的增大而增大。的增大而增大。（5）增减性：）增减性： 与与y轴的交点坐标轴的交点坐标为（为（0，c）(6)抛物线抛物线2yaxbxc与坐标轴的交点与坐标轴的交点抛物线抛物线2yaxbxc2yaxbxc 12,0 ,0 xx12,x x20axbxc抛物线抛物线与与x轴的交点坐标为轴的交点坐标为，其中，其中为方程为方程的两实数根的两实数根 与与x轴的交点情况轴的交点情况可由对应的一元二次方程可由对应的一元二次方程2yaxbxc20axbxc(7)抛物线抛物线的根的判别式判定：的根的判别式判定： 0有两个交点有两个交点抛物
5、线与抛物线与x轴相交；轴相交； 0有一个交点有一个交点抛物线与抛物线与x轴相切；轴相切； 0没有交点没有交点抛物线与抛物线与x轴相离。轴相离。例例1. 已知抛物线已知抛物线247,yxkxkk取何值时，抛物线经过原点；取何值时，抛物线经过原点；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在y轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在取何值时，抛物线顶点在x轴上；轴上；k取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。取何值时，抛物线顶点在坐标轴上。 ，所以k4，所以当k4时，抛物线顶点在y轴上。 ，所以k7，所以当k7时，抛物线经过原点；抛物线顶点在y轴上，则顶点横坐标为0，即解：抛物线经过原点，则当x0时，y0，
6、所以200407kk4022 1kba ，所以当k2或k6时，抛物线顶点在x轴上。抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即抛物线顶点在x轴上，则顶点纵坐标为0，即224 1744044 1kkacba 24120kk122,6kk ，整理得，解得：由、知，当k4或k2或k6时，抛物线的顶点在坐标轴上。224 1744044 1kkacba 例例2 已知二次函数已知二次函数212321ymxmxmm的最大值是的最大值是0，求此函数的解析式，求此函数的解析式解：解：此函数图象开口应向下，且顶点纵坐标的值为0所以应满足以下的条件组21041 322041mmmmm ，由解方程得121,22mm不合题
7、意，舍去所求函数解析式为21111232 ,222yxx 。21122yxx 即 相等，则形状相同。(1)a决定抛物线形状及开口方向，若aa0开口向上；5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。a0开口向下。5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(2)a和b共同决定抛物线对称轴的位置，由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线2bxa 若a，b异号对称轴在y轴右侧。，故若b0对称轴为y轴，若a，b同号对称轴在y轴左侧，5抛物线抛物线yax2bxc中中a，b，c的作用。的作用。(3)c的大小决定抛物线yax2bxc与y轴交点的位置。当x0时，yc，抛物线yax2b
8、xc与y轴有且只有一个交点(0，c)， c0抛物线经过原点；c0与y轴交于正半轴； c0与y轴交于负半轴。例例3 已知如图是二次函数已知如图是二次函数yax2bxc的图的图象，判断以下各式的值是正值还是负值象，判断以下各式的值是正值还是负值(1)a；(2)b；(3)c；(4)b24ac；(5)2ab；(6)abc；(7)abc分析：已知的是几何关系分析：已知的是几何关系(图形的位置、图形的位置、形状形状)，需要求出的是数量关系，所以应，需要求出的是数量关系，所以应发挥数形结合的作用发挥数形结合的作用解：解：(1)因为抛物线开口向下，所以因为抛物线开口向下，所以a0；判断判断a的符号的符号(2)
9、因为对称轴在因为对称轴在y轴右侧，所以轴右侧，所以02ba，而，而a0，故，故b0；判断判断b的符号的符号(3)因为因为x0时，时，yc，即图象与，即图象与y轴交点轴交点的坐标是的坐标是(0，c)，而图中这一点在，而图中这一点在y轴正轴正半轴，即半轴，即c0；判断判断c的符号的符号2404acba240acb240bac(4)因为顶点在第一象限，其纵坐标因为顶点在第一象限，其纵坐标 ，且，且a0，所以，所以，故，故。判断判断b24ac的符号的符号 ，且且a0，所以，所以b2a，故，故2ab0；(5)因为顶点横坐标小于因为顶点横坐标小于1，即，即12ba判断判断2ab的符号的符号(6)因为图象上
10、的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，点时，点的纵坐标为正值，即的纵坐标为正值，即a12b1c0，故故abc0；判断判断abc的符号的符号(7)因为图象上的点的横坐标为因为图象上的点的横坐标为1时，时，点的纵坐标为负值，即点的纵坐标为负值，即a(1)2b(1)c0，故，故abc0判断判断abc的符号的符号3222013222 x)(x)(xxy.的最大值和最小值的最大值和最小值数数分别在下列范围内求函分别在下列范围内求函)(cba),(P,x)a(cbxaxy.值为值为的的则则且经过点且经过点是是的对称轴的对称轴抛物线抛物线 0320320432114230321212021100042
11、1212.D.C.B.A)(a)(ba)(ba)(ba)().,(y,x,x),x)(,x(xcbxaxy.的的个个数数为为其其中中正正确确下下列列结结论论：轴轴交交于于点点与与两两点点，且且轴轴交交于于的的图图象象与与已已知知二二次次函函数数 2.521.510.5-0.5-1-1.5-2-2.5-3-3.5-4-3-2-112345121 2 xyB12ba20ab20ab(1)因为因为所以所以(2)因为因为所以所以0a 30ab(3)因为因为10 xabc时，2c 所以所以2ab(4)因为因为把x=-1，-2，-3分别代入比较1 21xy轴相交于负半轴轴相交于负半轴且与且与图象经过点图象
12、经过点的图象开口向上，的图象开口向上，二次函数二次函数y),)(,(cbxaxy.012152 _cba )(c )(b )(a )()a(其中正确结论的序号是其中正确结论的序号是问：给出四个结论：问：给出四个结论：04030201 _1)4( 1)3(02)2(0)1()(是是其中正确结论的序号其中正确结论的序号问：给出四个结论：问：给出四个结论： acabaabcb(1)(4)(3)(4)此抛物线的解析式此抛物线的解析式，求，求全相同，又抛物线过点全相同，又抛物线过点完完的开口方向和开口大小的开口方向和开口大小线线上，并且它与抛物上，并且它与抛物抛物线抛物线的顶点在的顶点在已知抛物线已知抛
13、物线),(Mxyxycbxaxy.2021836222 2211424222yxxyxx或？试证明你的结论？试证明你的结论为为，使它的周长，使它的周长是否存在这样的矩形是否存在这样的矩形的取值范围的取值范围的函数解析式，并求出的函数解析式，并求出关于自变量关于自变量周长周长的的，试求矩形，试求矩形的坐标为的坐标为设点设点求二次函数的解析式求二次函数的解析式图形内图形内轴所围成的轴所围成的在抛物线与在抛物线与线上，矩形线上，矩形在抛物在抛物轴上，轴上，在在的顶点的顶点矩形矩形，的顶点坐标为的顶点坐标为二次函数二次函数932120472ABCD)(xxPABCD)y,x(A)()(xABCDD,A
14、xC,BABCD),(mmxy. 2122yx 244pxx 2449xx(1)(2)(3)不存在，理由如下：2450 xx244 1 540 所以不存在这样的矩形_y,y,yxxy)y,(C)y,(B)y,(A.的大小关系是的大小关系是的图象上的三点，则的图象上的三点，则为二次函数为二次函数若若3212321543514138 的周长的周长求求，坐标原点为，坐标原点为轴的交点为轴的交点为若抛物线与若抛物线与的值的值求求且交点为且交点为轴只有一个交点，轴只有一个交点，与与已知抛物线已知抛物线OAB,OBy)(c ,b)(),(Axcbxxy. 210292 （1）4,4bc62 5（2）制作人：汪世贵制作人：汪世贵