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1、数学解题技能提高讲座数学解题技能提高讲座2二次函数中题型的转变1（人教A版第27页A组第6题）解析式、待定系数法若，且，求的值变式1：若二次函数的图像的顶点坐标为，与y轴的交点坐标为(0,11)，则 A B C D变式2：若的图像x=1对称，则c=_变式3：若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点、，且，试问该二次函数的图像由的图像向上平移几个单位得到？2（北师大版第52页例2）图像特征将函数配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单调区间及最大值或最小值，并画出它的图像变式1：已知二次函数，如果(其中)，则 A B C DxyO变式2：函数对任意的x均有，那么、的大小关系是 A B C D变式3
2、：已知函数的图像如右图所示，请至少写出三个与系数a、b、c有关的正确命题_3（人教A版第43页B组第1题）单调性已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值变式1：已知函数在区间内单调递减，则a的取值范围是 A B C D变式2：已知函数在区间(,1)上为增函数，那么的取值范围是_变式3：已知函数在上是单调函数，求实数的取值范围4（人教A版第43页B组第1题）最值已知函数，(1)求，的单调区间；(2) 求，的最小值变式1：已知函数在区间0,m上有最大值3，最小值2，则m的取值范围是 A B C D变式2：若函数的最大值为M，最小值为m，则M + m的值等于_变式3：已知函数在区间0,2
3、上的最小值为3，求a的值5（人教A版第43页A组第6题）奇偶性已知函数是定义在R上的奇函数，当0时，画出函数的图像，并求出函数的解析式 变式1：若函数是偶函数，则在区间上是 A增函数 B减函数 C常数 D可能是增函数，也可能是常数 变式2：若函数是偶函数，则点的坐标是_变式3：设为实数，函数，(I)讨论的奇偶性；(II)求的最小值6（北师大版第64页A组第9题）图像变换已知(1)画出函数的图象；(2)求函数的单调区间；(3)求函数的最大值和最小值变式1：指出函数的单调区间变式2：已知函数给下列命题：必是偶函数； 当时，的图像必关于直线x=1对称； 若，则在区间a，上是增函数；有最大值 其中正确
4、的序号是_变式3：设函数给出下列4个命题： 当c=0时，是奇函数； 当b=0，c0时，方程只有一个实根； 的图象关于点（0，c）对称；方程至多有两个实根 上述命题中正确的序号为 7（北师大版第54页A组第6题）值域求二次函数在下列定义域上的值域：(1)定义域为；(2) 定义域为变式1：函数的值域是 A B C D 变式2：函数y=cos2x+sinx的值域是_变式3：已知二次函数 f (x) = a x 2 + bx（a、b 为常数，且 a 0），满足条件 f (1 + x) = f (1x)，且方程 f (x) = x 有等根(1)求 f (x) 的解析式；(2)是否存在实数 m、n（m 0
5、）有两个相异的不动点 x1、x2(I)若 x1 1 ；(II)若 | x1 | 0(开口方向)； c=1(和y轴的交点)； (和x轴的交点)；()； (判别式)； (对称轴)3（人教A版第43页B组第1题）单调性变式1： 解：函数图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，由已知函数在区间内单调递减可知区间应在直线的左侧，解得，故选D变式2：解：函数在区间(,1)上为增函数，由于其图像(抛物线)开口向上，所以其对称轴或与直线重合或位于直线的左侧，即应有，解得，即变式3：解：函数的图像是开口向下的抛物线，经过坐标原点，对称轴是，已知函数在上是单调函数，区间应在直线的左侧或右侧，xyO即有或，解得或4（人
6、教A版第43页B组第1题）最值变式1： 解：作出函数的图像，开口向上，对称轴上x=1，顶点是(1，2)，和y轴的交点是(0，3)，m的取值范围是，故选C变式2： 解：函数有意义，应有，解得， ，M=6，m=0，故M + m=6变式3： 解：函数的表达式可化为 当，即时，有最小值，依题意应有，解得，这个值与相矛盾当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求当，即时，是最小值，依题意应有，解得，又，为所求综上所述，或5（人教A版第43页A组第6题）奇偶性变式1： 解：函数是偶函数 ，当时，是常数；当时，在区间上是增函数，故选D变式2：解：根据题意可知应有且，即且，点的坐标是变式3： 解：（I）
7、当时，函数，此时，为偶函数；当时，此时既不是奇函数，也不是偶函数（II）（i）当时，若，则函数在上单调递减，从而函数在上的最小值为若，则函数在上的最小值为，且（ii）当时，函数，若，则函数在上的最小值为，且，若，则函数在上单调递增，从而函数在上的最小值为综上，当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为；当时，函数的最小值为6（北师大版第64页A组第9题）图像变换变式1： 解：函数可转化为二次函数，作出函数图像，由图像可得单调区间xyxO当时，当时，作出函数图像，由图像可得单调区间在和上，函数是增函数；在和上，函数是减函数变式2： 解：若则，显然不是偶函数，所以是不正确的；若则，满足，但的图像不
8、关于直线x=1对称，所以是不正确的；若，则，图像是开口向上的抛物线，其对称轴是，在区间a，上是增函数，即是正确的；显然函数没有最大值，所以是不正确的变式3： 解：，(1)当c=0时，满足，是奇函数，所以是正确的；(2)当b=0，c0时，方程即 或 ，显然方程无解；方程的唯一解是 ，所以 是正确的；(3)设是函数图像上的任一点，应有，而该点关于（0，c）对称的点是，代入检验即，也即，所以也是函数图像上的点，所以是正确的； (4)若，则，显然方程有三个根，所以 是不正确的7（北师大版第54页A组第6题）值域变式1： 解：作出函数的图象，容易发现在上是增函数，在上是减函数，求出，注意到函数定义不包含
9、，所以函数值域是变式2：解： y= cos2x+sinx=2sin2x+sinx+1，令t= sinx 1,1，则y=2t2+t+1，其中t 1,1，y 2, ，即原函数的值域是2, 变式3： 解：(I) f (1 + x) = f (1x)， = 1，又方程 f (x) = x 有等根 a x 2 + (b1) x = 0 有等根， = (b1) 2 = 0 b = 1 a = ， f (x) = x 2 + x(II) f (x) 为开口向下的抛物线，对称轴为 x = 1，1 当 m1 时，f (x) 在 m,n 上是减函数，3m = f (x)min = f (n) = n 2 + n(
10、*)， 3n = f (x)max = f (m) = m 2 + m，两式相减得：3 (mn) = (n 2m 2) + (nm)，1m 0 的解集为 R，应有 a 1，实数 a 的取值范围是(1,+) (II) 函数 f (x) 的值域为 R，即a x 2 + 2x + 1 能够取 (0,+) 的所有值1 当 a = 0 时，a x 2 + 2x + 1 = 2x + 1满足要求；2 当 a 0 时，应有 0 0，由x1，x2 是方程 f (x) = x的两相异根，且 x1 1 x2，g(1) 0 a + b 1 ，即 m (II) = (b1) 24a 0 (b1) 2 4a， x1 +
11、 x2 = ，x1x2 = ，| x1x2 | 2 = (x1 + x2) 24x1x2 = () 2= 2 2，(b1) 2 = 4a + 4a 2(*)又| x1x2 | = 2， x1、x2 到 g(x) 对称轴 x = 的距离都为1，要 g(x) = 0 有一根属于 (2,2)，则 g(x) 对称轴 x = (3,3)， 3 | b1 |，把代入 (*) 得：(b1) 2 | b1 | + (b1) 2，解得：b ， b 的取值范围是：(, )( ,+)10（北师大版第52页例3）应用变式1： 解：设矩形ABCD在x轴上的边是BC，BC的长是x(0xa)，则B点的坐标为，A点的坐标为设矩形ABCD的周长为P，则P=2(0x2，则当x=2时，矩形的周长P有最大值，这时矩形两边的长分别为2和，两边之比为8:；若0 2时，周长最大的内接矩形两边之比为8:；当0 0，则0，此时g(a)=g( ) a+2= +2 a = a =1(舍去a=1)；若a0，则2，此时g(a)=g( ) a+2= a=2+(舍去)；若a，则2，此时g(a)=g( ) a= a= (舍去)；若a，则，此时g(a)=g( ) =恒成立；若2a，则，此时g(a)=g( ) =a a= (舍去)；若a2，则2 (舍去) 综上所述，满足的所有实数a为：或