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1、二次函数专题讲解暨二次不等式解法探究引言：历年数学高考考题中都或多或少的出现了二次函数题，所考查的内容涉及许多重要的数学思想及方法，如分类讨论、数形结合、函数方程思想；配方法、换元法、赋值法等。要求学生掌握二次函数的概念，掌握其图象、性质及图象与性质的关系，能灵活地运用“三个二次”的相关知识解题。充分体现了学生对函数内容的把握程度，是数学高考中一个永恒的话题，真可谓“考你千遍也不厌倦”。形如的函数叫做关于的一元二次函数，其定义域为，图象是一条抛物线，对称轴方程，顶点坐标。学习时应重点掌握下列内容：合理选择二次函数的解析式。*三种常用表达式：（定义式）；（顶点式）；（两根式）。【例题1】已知是二
2、次函数，且满足，则 。解答【例题2】设二次函数的图象的顶点是，与轴的两个交点之间的距离为6，求这个二次函数的解析式。解答【例题3】设二次函数，方程的两个根满足，当时，证明：解答熟练掌握二次函数的图象和性质。二次函数y=ax2+bx+c, (a0)y=ax2+bx+c, (a0 Dbbc，且a+b+c=0，则它的图象可能是（ ）分析即图象开口向上，与轴交点在原点下方，故应选D。【例题3】集合=，=，求实数的取值集合。解答深刻理解二次函数在区间上的最值问题。探究最值问题常与函数求值域问题相联系，则我们先求函数分别在区间上所对应的值域，由配方法化成顶点式，确定图象开口方向及对称轴方程，再结合图象、性
3、质（单调性）作答，如能取到最值，应分别在区间端点或顶点处取得，特别对含参数的二次函数，要讨论区间与对称轴的变化情况。解答【注意】二次函数在区间上的最值问题应主要考查函数对称轴与区间的位置关系，若在区间内则该点处必取一个最值，如有另一个最值应在离对称轴最远的区间端点处取得；若在区间外，如有最值应取在区间端点处，最值是最大值还是最小值要结合图象的开口方向及单调性判断。高中阶段我们主要研究：二次函数在闭区间m，n上的最值；二次函数在区间定（动），对称轴动（定）时的最值。【思考】（以a0为例）对于二次函数，设令结合函数图象则相应值域（最值）为：观察值域中最大值、最小值的变化情况易得：求闭区间上二次函数
4、的最值应先看二次项系数，含参数时要讨论，再把对称轴与区间端点及区间中点进行比较分类，如当时，求最小值分3种情况，即在区间端点处讨论；求最大值分2种情况，即在区间中点处讨论。当时规律相反。【例题1】求函数在区间上的最值，并求此时的的值。解答函数图象的对称轴为直线x=1，抛物线开口向上。【例题2】已知函数在区间0，1上的最大值是2，求实数的值。解答【例题3】求函数在区间上的最大值。解答透彻领悟“三个二次”（二次函数、二次方程、二次不等式）的内在联系。=b2-4ac0=00)的图象方程ax2+bx+c=0的根无实根不等式ax2+bx+c0的解集xx2xx1,2R不等式ax2+bx+c0的解集x1x0
5、的解集是（ ）Ax|x1 Bx|-2x1 Cx|x2 Dx|-1x22.已知集合，则集合=（ ）Ax|x3 Cx|-1x2 Dx|2x33.二次函数在y0时x的取值范围是 。 【练习】1.求下列不等式的解集：（1）-2x2+x+1/20;（2）x22x-3;（4）x22x-1;（5）3x2+53x。2.解下列不等式：（1）（2）二、关于分式不等式，一般是化为一边为零，另一边进行通分，转化为等价的一元二次不等式或不等式组来解（注意转化的等价性），在明确分母的符号的情况下，也可考虑去分母，转化为整式不等式（组）。【例题】4.不等式的解集为（ ）Ax|x1 Bx|x1 Cx|0x1 Dx|-3x0、
6、a=0、a0、=0、0？（2）中为什么考虑四个条件，缺一个行吗？结论一般地，用函数思想结合图象来分析方程ax2+bx+c=0(a0)的实根分布情况要考虑四个必要条件。二次项系数a，决定图象开口（延伸）方向；判别式=b2-4ac，决定与x轴的位置；对称轴x=-b/2a，决定图象左右平移；特殊点（区间端点）所对函数值f(x0)的正负，决定图象开口大小。原则上四者缺一不可，但是如果图象开口向上且有下方部分，则判别式可以省略，例（1）；如果两根的位置已经确定，则对称轴可以不考虑。上述结论切勿死记硬背，要结合图象具体分析。例（2）条件如果缺少就会出现如下情况：拓展对于只需利用变换即可化归为前面讨论过的问题，由于与同号，故我们有若相应的方程的两个实根为，实数，则方程的根的分布情况可总结如下：根的范围图象显示充要条件都大于n都小于m都在n，m之间n在之间只有一根在n，m之间n，m在之间【注意】以上结论，一定要结合图象推导，万不可死记硬背。【例题】分别求使方程的两根满足下列条件的值的集合。（1）一根小于0，另一根大于2；（2）一根在0与1之间，一根在1与2之间；（3）两根都在-4与0之间；（4）两根都大于-5。- 9 -