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1、第七讲 层次分析法的应用基础教研部：夏冰 一、层次分析法基本思想一、层次分析法基本思想二、层次分析法的基本步骤二、层次分析法的基本步骤三、层次分析法的广泛应用三、层次分析法的广泛应用层次分析法层次分析法 一、层次分析法基本思想分解分解建立建立 确定确定计算计算判断判断实际问题实际问题层次结构层次结构多个因素多个因素诸因素的相诸因素的相 对重要性对重要性权向量权向量综合决策综合决策1.1.建立层次结构模型建立层次结构模型 该结构图包括目标层，准则层，方案层。层次分析法的基本步骤基本步骤归纳如下3.计算单排序权向量并做一致性检验计算单排序权向量并做一致性检验2.构造成对比较矩阵构造成对比较矩阵从第
2、二层开始用成对比较矩阵和19尺度。对每个成对比较矩阵计算最大特征值及其对应的特征向量，利用一致性指标、随机一致性指标和一致性比率做一致性检验。若检验通过，特征向量（归一化后）即为权向量；若不通过，需要重新构造成对比较矩阵。计算最下层对最上层总排序的权向量。4.4.计算总排序权向量并做一致性检验计算总排序权向量并做一致性检验 进行检验，若通过，则可按照总排序权向量表示的结果进行决策，否则需要重新考虑模型或重新构造那些一致性比率 较大的成对比较矩阵。利用总排序一致性比率例1 评价影视作品 在电视节上评价影视作品，用以下三个评价指标：x1表示教育性x2表示艺术性x3表示娱乐性经专家赋值：x1/x2=
3、1 x1/x3=1/5 x2/x3=1/3 于是得到逆对称矩阵 由于e4=e3,迭代经过4次中止，权系数是w1=0.156,w2=0.185,w3=0.659 相应的综合评价公式是Y=0.156x1+0.185x2+0.659x3 如果用同样的分制来给作品的三个指标评分，由以上公式算出的便是作品综合评分y。目标层目标层O(选择旅游地选择旅游地)P2黄山黄山P1桂林桂林P3北戴河北戴河准则层准则层方案层方案层C3居住居住C1景色景色C2费用费用C4饮食饮食C5旅途旅途例例2 2 选择旅游地选择旅游地如何在如何在3 3个目的地中按照景色、费用、居住条件等个目的地中按照景色、费用、居住条件等因素选择
4、因素选择.“选择旅游地选择旅游地”的基本步骤：的基本步骤：将决策问题分为将决策问题分为3个层次：目标层个层次：目标层O，准则层准则层C，方案层方案层P；每层有若干元素，每层有若干元素，各层元素间的关系各层元素间的关系用相连的直线表示。用相连的直线表示。通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方通过相互比较确定各准则对目标的权重，及各方案对每一准则的权重。案对每一准则的权重。将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的将上述两组权重进行综合，确定各方案对目标的权重。权重。2 4 6 8 Saaty等人提出等人提出19尺度尺度aij 取值取值1,2,9及其及其互反数互反数1,1/2,1/9尺度尺度
5、1 3 5 7 9 相同相同 稍强稍强 强强 明显强明显强 绝对强绝对强 心理学家认为成对比较的因素不宜超过心理学家认为成对比较的因素不宜超过9个个构造成对比较阵构造成对比较阵构造成对比较阵构造成对比较阵比较各准则比较各准则C C1 1,C,C2 2,C,Cn n对目标对目标O O的重要性，得的重要性，得A成对比较阵成对比较阵A是正互反阵是正互反阵成对比较的不一致情况成对比较的不一致情况一致比较一致比较不一致不一致允许不一致，但要确定不一致的允许范围允许不一致，但要确定不一致的允许范围考察完全一致的情况考察完全一致的情况 A的秩为的秩为1，A的唯一非零特征根为的唯一非零特征根为n A的任一列向
6、量是对应于的任一列向量是对应于n 的特征向量的特征向量 A的归一化特征向量可作为权向量的归一化特征向量可作为权向量一致阵性质：一致阵性质：一致性检验一致性检验（对（对A A确定不一致的允许范围）确定不一致的允许范围）已知：已知：n 阶一致阵的唯一非零特征根为阶一致阵的唯一非零特征根为n可证：可证：n 阶正互反阵最大特征根阶正互反阵最大特征根 n,且且 =n时为一致阵时为一致阵定义一致性指标定义一致性指标:CI 越大，不一致越严重。越大，不一致越严重。为衡量为衡量CI 的大小，引入随机一致性指标的大小，引入随机一致性指标 RI随机模随机模拟得到拟得到aij,形成形成A，计算，计算CI 即得即得R
7、I。RI0 0 0.580.90 1.121.241.32 1.411.451.491.51 n1 234567891110定义一致性比率定义一致性比率当当CR0.1时，通过一致性检验。时，通过一致性检验。Saaty的结果如下的结果如下CR=CI/RI“选择旅游地选择旅游地”中中准则层对目标的权准则层对目标的权向量及一致性检验向量及一致性检验准则层对目标的准则层对目标的成对比较阵成对比较阵最大特征根最大特征根=5.073权向量权向量(特征向量特征向量)w=(0.263,0.475,0.055,0.090,0.110)T一致性指标一致性指标随机一致性指标随机一致性指标 RI=1.12(查表查表)
8、一致性比率一致性比率CR=0.018/1.12=0.0160.1通过一致性检验通过一致性检验组合权向量组合权向量（2）求第）求第3层层(方案方案)对第对第2层每一元素层每一元素(准则准则)的权向的权向量量方案层对方案层对C1(景色景色)的成对比较阵的成对比较阵方案层对方案层对C2(费用费用)的成对比较阵的成对比较阵CnBn（1）记第）记第2层（准则）对第层（准则）对第1层（目标）的权向量为层（目标）的权向量为同理得最大特征根最大特征根 1，2，n 权向量权向量 w1(3)，w2(3)，wn(3)权向量矩阵（3 3）组合权向量（4 4）组合一致性检验第第3层对第层对第2层的计算结果层的计算结果k
9、10.5950.2770.1293.0050.0030.00100.00503.0020.6820.2360.082230.1420.4290.42933.0090.1750.1930.633430.6680.1660.1665组合权向量组合权向量RI=0.58(n=3),CIk 均可通过一致性检均可通过一致性检验验 w(2)方案方案P1对目标的组合权重为对目标的组合权重为0.595 0.263+=0.300方案层对目标的组合权向量为方案层对目标的组合权向量为(0.300,0.246,0.456)T三三.层次分析法的广泛应用层次分析法的广泛应用 应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，应用领
10、域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。产业结构，教育，医疗，环境，军事等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。策层参与。构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。断力强的专家给出。练习：选住房 某人需要购买一套住房，他考虑的主要因素有：价格适中，上下班比较方便，小区对应的中小学较好，居住环境相对较好，经房地产中介商介绍，他初步选择了甲、乙、丙三套住房，情况如表所示：我曾听到有人说我是数学的反对者，是数学的敌人，但没有人比我更尊重数学，因为它完成了我不曾得到其成就的业绩。哥德