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1、国家开放大学工程数学综合练习题参考答案本套练习题包括题型：一、单项选择题（40）二、填空题（35）三、计算题（28）四、证明题（6）一、单项选择题1.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 2.下列命题正确的是AS（C）AEA个维向量组成的向量组一定线性相关；B向量组是线性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组 有解C向量组,0的秩至多是 D设是矩阵，且，则的行向量线性相关3.设线性方程组的两个解为，（）则下列向量中（D）一定是的解A. B. C. D. 4.设，则随机变量（B ）。A. B. C. D. 5.对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（A）
2、A. 已知方差，检验均值B. 未知方差，检验均值C. 已知均值，检验方差D. 未知均值，检验方差 6.设为矩阵，为矩阵，当为（B）矩阵时，乘积有意义A. B. C. D. 7.向量组的极大线性无关组是（A）ABCD.8.若线性方程组的增广矩阵为，则当（D）时线性方程组有无穷多解 A1B4C2 D9.掷两颗均匀的骰子，事件“点数之和为4”的概率是（C）.A. B. C. D. 10.在对单正态总体的假设检验问题中，检验法解决的问题是（B）A. 已知方差，检验均值B. 未知方差，检验均值C. 已知均值，检验方差D. 未知均值，检验方差11.设都是方阵，则下列命题中正确的是（A）A. B.若 ，则
3、或 C.若 ，且，则D.12.若齐次线性方程组只有零解，则非其次线性方程组解的情况是（C）A有唯一解B有无穷多解C可能无解D.有非零解13.设是两个随机事件，则下列等式中不准确的是（B）.A B C D14.袋中有3个红球，2个白球，第一次取出一球后放回，第二次再取一球，则两次都取到红球的概率是（D）.A. B. C. D. 15.对于单个正态总体，未知时，关于均值的假设检验应采用（D）A. 检验法 B. 检验法 C. 检验法D. 检验法 16.设均为阶可逆矩阵，则下列等式成立的是（D） A. B. C. D. 17.下列命题正确的是AS（）AEA个维向量组成的向量组一定线性相关；B向量组是线
4、性相关的充分必要条件是以为系数的齐次线性方程组 有解C向量组,0的秩至多是 D设是矩阵，且，则的行向量线性相关18.设线性方程组的两个解为，（）则下列向量中（ ）一定是的解A. B. C. D. 19.设，则随机变量（ ）。A. B. C. D. 20.对正态总体的假设检验问题中，检验解决的问题是（）A. 已知方差，检验均值B. 未知方差，检验均值C. 已知均值，检验方差D. 未知均值，检验方差21.下列命题中不正确的是（D）AA与有相同的特征多项式B若是A的特征值，则的非零解向量必是A对应于的特征向量C若=0是A的一个特征值，则必有非零解DA的特征向量的线性组合仍为A的特征向量22.设A，B
5、都是阶矩阵，则下列等式中正确的是(C) A BCD 23.设是两个随机事件，下列命题中不正确的是(B) A. B. C. D. 24.设袋中有6只红球，4只白球，从其中不放回地任取两次，每次取1只，则两次都取到红球的概率是（A）A. B. C. D. 25.对于单个正态总体总体，已知时，关于均值的假设检验应采用（B）At检验法BU检验法C检验法DF检验法26.设为阶矩阵，则下列等式成立的是（A）ABCD27.方程组相容的充分必要条件是(B)，其中，ABCD 28.设矩阵的特征值为0，2，则3A的特征值为 (D) A0，2 B2，6 C0，0 D0，629.若事件与互斥，则下列等式中正确的是（A
6、）ABCD 30.设是来自正态总体的样本，则检验假设采用统计量U =（C）AB CD 31.A，B都是阶矩阵（，则下列命题正确的是( D ) AAB=BAB若AB =O，则或CD 32.向量组的秩是（C）ABCD33.设矩阵A的特征多项式，则A的特征值为 ( D )AB CD，34.若随机变量X与Y相互独立，则方差=（B）A BCD 35.已知总体，未知，检验总体期望采用（A）At检验法 BU检验法 C检验法DF检验法36.方程组相容的充分必要条件是( B )，其中，A BC D 37.设都是n阶方阵，则下列等式中正确的是( C )A BC D38.下列命题中不正确的是（ A）AA与有相同的特
7、征值BA与有相同的特征多项式C若A可逆，则零不是A的特征值DA与有相同的特征值39.若事件与互斥，则下列等式中正确的是（ D ）ABCD40.设随机变量，则下列等式中不正确的是（ A ）ABCD二、填空题1.设均为n阶可逆矩阵，逆矩阵分别为，则B(A-1)C-12.线性方程组有解的充分必要条件是r(A)=r(A|b)3.若，则0.34.设随机变量的概率密度函数为，则1/85.设是来自正态总体的一个样本，则6.设均为3阶矩阵，且，则-87.当= 0 时，矩阵的秩最小8.设是三个事件，那么发生，但至少有一个不发生的事件表示为.9.设随机变量，则1510.设是来自正态总体的一个样本，则11.设均为3
8、阶矩阵，且，则1212.设为阶方阵，若存在数和非零维向量，使得矩阵，则称为相应于特征值的特征向量.13.若，则3元齐次方程组的一个基础解析系中含有2个解向量.14.若，则0.115.设随机变量，若，则716.若3阶方阵，则217.设为n阶方阵，若存在数和 非零 n维向量，使得，则称数为的特征值，为相应于特征值的特征向量18.设，那么3元齐次线性方程组AX=O的一个基础解系中含有 2 个解向量19.设随机变量，则0.320.设为随机变量，已知，那么1821.设，则的根是1，-1，2，-2 22.设4元线性方程组AX=B有解且r（A）=1，那么AX=B的相应齐次方程组的基础解系含有 3 个解向量2
9、3.设互不相容，且，则024.设随机变量X B（n，p），则E（X）= np25.若样本来自总体，且，则26.设三阶矩阵的行列式，则=227.线性方程组中的一般解的自由元的个数是2，其中A是矩阵，则方程组增广矩阵= 3 28.若事件A，B满足，则 P（A - B）= 29.设随机变量，则0.930.设是未知参数的一个估计，且满足，则称为的无偏 估计31.若三阶方阵，则=0 32.设为n阶方阵，若存在数和非零n维向量，使得，则称数为的特征值 33.已知，则当事件,相互独立时，0.0834.设随机变量，则0.135.不含未知参数的样本函数称为统计量 三、计算题1已知，其中，求解：利用初等行变换得即
10、 由矩阵乘法和转置运算得 2.求线性方程组的全部解解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解. 方程组相应的齐方程的一般解为 （其中为自由未知量）令=1，得到方程的一个基础解系 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数）3.设，试求；（已知）解： 4.某一批零件重量，随机抽取4个测得重量（单位：千克）为14.7, 15.1, 14.8, 15.2 可否认为这批零件的平均重量为15千克(已知)？解：零假设由于已知，故选取样本函数经计算得，已知，故接受零假设，即可以认为这批零件的平均重量为15千克.5.解矩阵方程，其中解：利用初等行变换得 即由
11、矩阵乘法和转置运算得6.为何值时，下列方程组有解，有解时求出其全部解.解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形方程组的一般解为（其中为自由未知量） 令=0，得到方程的一个特解 不计最后一列，令=1，得到方程的一个基础解系 于是，方程组的全部解为 （其中为任意常数）7.设，试求；（已知）解： 8.据资料分析，某厂生产的砖的抗断强度服从正态分布，今从该厂最近生产的一批砖中随机抽取9块，测得抗断强度（单位：）的平均值为31.18.假设标准差没有改变，在0.05的显著水平下，文这批砖的抗断强度是否合格？（ ）解：零假设；由于标准差没有改变，故已知选取样本函数由已知，于是得在0.05的显著水平下，因此拒绝零假
12、设，即这批砖的抗断强度不合格.9.已知，其中，求参考答案：10.为何值时，线性方程组 有解，并求出一般解参考答案：11.设，试求；（已知）参考答案：12.随机抽取某班28名同学的数学考试成绩，得平均分为分，样本标准差分，若全年级的数学成绩服从正态分布，且平均成绩为85分，试问在显著水平下，能否认为该班的数学成绩为85分？ 参考答案：13.设矩阵，求参考答案：解：利用初等行变换可得 因此， =14.为何值时，下列方程组有解？有解时求出其全部解参考答案：解：将方程组的增广矩阵化为阶梯形 由阶梯阵可知：当即时，方程组有解 此时，由最后一个行简化阶梯阵得方程组的一般解为：，（其中为自由元）令，得方程组
13、的一个特解 不计最后一列，令x3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1 = 于是，方程组的通解为：，(其中k是任意常数)15.设，试求：(1)；(2)（已知）参考答案：解：（1） （2） 16.设某种零件长度X服从正态分布，今从中任取100个零件抽检，测得平均长度为84.5 cm，试求此零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间参考答案：解：由于已知，故选取样本函数 零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间 由已知，于是可得，因此，零件长度总体均值的置信度为0.95的置信区间：7.设矩阵，求参考答案：解：由矩阵乘法和转置运算得利用初等行变换得即 18.求下列线性方程组的通解
14、参考答案：解:利用初等行变换，将方程组的增广矩阵化成行简化阶梯形矩阵，即方程组的一般解为：，其中，是自由未知量 令，得方程组的一个特解方程组的导出组的一般解为：，其中，是自由未知量令，得导出组的解向量；令，得导出组的解向量 所以方程组的通解为： ，其中，是任意实数.19.设随机变量X N（3，4）求：（1）P（1 X 7）；（2）使P（X a）=0.9成立的常数a (已知，) 参考答案：解：（1）P（1 X 7）= = 0.9773 + 0.8413 1 = 0.8186 （2）因为 P（X a）= 0.9所以 ，a = 3 + = 5.5620.从正态总体N（，4）中抽取容量为625的样本，
15、计算样本均值得= 2.5，求的置信度为99%的置信区间.(已知 )参考答案：解：已知，n = 625，且 因为 = 2.5， 所以置信度为99%的的置信区间为： .21.设矩阵，解矩阵方程参考答案：解：因为 ，得 所以22.设齐次线性方程组，为何值时方程组有非零解？在有非零解时，求出通解参考答案：解：因为 A = 时，所以方程组有非零解 方程组的一般解为： ，其中为自由元 令 =1得X1=，则方程组的基础解系为X1 通解为k1X1，其中k1为任意常数23.设随机变量（1）求；（2）若，求k的值 （已知） 参考答案：解：（1）1 = 11（） = 2（1）0.0454 （2） 1 1 即k4 =
16、 -1.5， k2.524.从正态总体N（，9）中抽取容量为64的样本，计算样本均值得= 21，求的置信度为95%的置信区间(已知 )参考答案：解：已知，n = 64，且 因为 = 21，且 所以，置信度为95%的的置信区间为： 25.设矩阵，求参考答案：解：利用初等行变换可得 因此， 于是由矩阵乘法可得 26.求线性方程组的通解参考答案：解： 将方程组的增广矩阵化为阶梯形 方程组的一般解为 ，(其中x3是自由元) 令x3 = 0，得到方程组的一个特解X0 =；不计最后一列，x3 = 1，得到相应的齐次线性方程组的一个基础解系X1 = 于是，方程组的通解为： ，(其中k是任意常数)27.设，试
17、求: (1) ； (2) （已知）参考答案：解： 28.某厂生产日光灯管根据历史资料,灯管的使用寿命X服从正态总体在最近生产的灯管中随机抽取49件进行测试，平均使用寿命为1520小时假设标准差没有改变，在0.05的显著性水平下，判断最近生产的灯管质量是否有显著变化(已知 )参考答案：解：零假设；由于标准差没有改变，故已知，选取样本函数由已知，于是得 在0.05的显著性水平下， ，因此拒绝零假设，即最近生产的灯管质量出现显著变化四、证明题1.设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知而，故由概率的性质可知即2.设阶方阵满足：，试证可逆证明：由可得因此，方阵可逆，其逆为3.设A, B是n阶对称矩阵，试证：A+ B也是对称矩阵证明：因为，由矩阵的运算性质可得 所以 A+ B也是对称矩阵4.设n阶矩阵A满足，则A为可逆矩阵证明：因为 ，即所以，A为可逆矩阵5.设,为随机事件，试证：证明：由事件的关系可知 而，故由概率的性质可知 6.设都是n阶矩阵，且A为对称矩阵，试证也是对称矩阵证明：由矩阵转置的运算性质可得 又A为对称矩阵，故，从而 因此，也是对称矩阵