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1、1.2集合的基本关系自主自主预习预习新知新知导学导学合作合作探究探究释疑释疑解惑解惑易易 错错 辨辨 析析随随 堂堂 练练 习习课标定位课标定位素养阐释素养阐释1.理解子集、真子集的概念及集合相等的含义理解子集、真子集的概念及集合相等的含义.2.掌握子集、真子集及集合相等的应用掌握子集、真子集及集合相等的应用,会判断会判断集合间的基本关系集合间的基本关系.3.在具体情境中了解空集的含义并会应用在具体情境中了解空集的含义并会应用.4.通过本节的学习通过本节的学习,学生能识别并判断集合的关学生能识别并判断集合的关系系,提升逻辑推理的能力提升逻辑推理的能力.一、元素与集合的相关概念一、元素与集合的相
2、关概念【问题思考】【问题思考】1.阅读下面的语句阅读下面的语句,并回答提出的问题并回答提出的问题:观察下列各组集合观察下列各组集合:A=1,2,3;B=1,2,7;C=1,2,3,4,5.P=马马;Q=黑马黑马.(1)集合集合A,B,C中的元素有关系吗中的元素有关系吗?(2)集合集合P与集合与集合Q中的元素有关系吗中的元素有关系吗?提示提示:(1)有关系有关系.集合集合A中的每一个元素都属于集合中的每一个元素都属于集合C,集合集合B中中的的1,2属于集合属于集合C,7不属于集合不属于集合C.(2)有关系有关系.集合集合Q中的每一个元素都属于集合中的每一个元素都属于集合P.2.填空填空:子集的概
3、念子集的概念:一般地一般地,对于两个集合对于两个集合A与与B,如果集合如果集合A中的中的任何任何一个一个元素都属于集合元素都属于集合B,即若即若aA,则则aB,那么称集合那么称集合A是集是集合合B的子集的子集,记作记作A B(或或B A),读作读作“A包含于包含于B”(或或“B包含包含A”).二、子集的性二、子集的性质【问题思考】【问题思考】1.已知集合已知集合A=x|(x-1)2=0,B=1,2,3,C=1,2,3,4,请问集合请问集合A与与B,B与与C,A与与C之间是什么关系之间是什么关系?提示提示:由题意由题意,知知A=1.根据集合的关系根据集合的关系,可知可知A B,B C,A C.2
4、.填空填空:子集的有关性质子集的有关性质(1)任何一个集合都是它本身的子集任何一个集合都是它本身的子集,即即A A.(2)规定规定:空集是任何集合的子集空集是任何集合的子集,也就是说也就是说,对于任意一个集合对于任意一个集合A,都有都有 A.(3)对于两个集合对于两个集合A与与B,如果集合如果集合A是集合是集合B的子集的子集,且集合且集合B也也是集合是集合A的子集的子集,那么称集合那么称集合A与集合与集合B相等相等,记作记作A=B.【拓展】对于集合【拓展】对于集合A,B,C,如果如果A B,且且B C,那么那么A C.3.想一想想一想:与与0有什么区别有什么区别?提示提示:是不含任何元素的集合
5、是不含任何元素的集合,0是含有一个元素是含有一个元素0的集合的集合,0.三、三、Venn图【问题思考】【问题思考】1.填空填空:Venn图图为了直观地表示集合间的关系为了直观地表示集合间的关系,常用平面上封闭曲线的常用平面上封闭曲线的内部内部表示集合表示集合,称为称为Venn图图.2.下列集合间是什么关系下列集合间是什么关系?能不能用能不能用Venn图表示图表示?(1)A=1,2,B=x|x2-3x+2=0;(2)A=平行四边形平行四边形,B=矩形矩形.提示提示:(1)解解x2-3x+2=0得得x=1或或x=2,故故B=1,2,所以所以A=B;(2)B A.它们用它们用Venn图表示如下图表示
6、如下.四、真子集四、真子集【问题思考】【问题思考】1.集合集合B=1,2,集合集合C=x|(x2-2x)(x-1)=0与集合与集合A=0,1,2的元的元素有何关系素有何关系?提示提示:集合集合B中的元素都是集合中的元素都是集合A中的元素中的元素,但集合但集合A中的元素中的元素0在集合在集合B中没有中没有.由由(x2-2x)(x-1)=0得得x=0或或x=1或或x=2,则则C=0,1,2,即集合即集合A与与C的元素完全相同的元素完全相同.2.填空填空:对于两个集合对于两个集合A与与B,如果如果A B,且且AB,那么称集合那么称集合A是是集合集合B的真子集的真子集,记作记作A B(或或B A),读
7、作读作“A真包含于真包含于B”(或或“B真包含真包含A”).3.列出集合列出集合A=0,1,2的真子集的真子集.提示提示:集合集合A=0,1,2的真子集有的真子集有,0,1,2,0,1,1,2,0,2.【思考辨析】【思考辨析】判断下列说法是否正确判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画正确的在它后面的括号里画“”,错误错误的画的画“”.(1)任何集合都有两个子集任何集合都有两个子集.()(2)已知集合已知集合A=x|y=x2,B=y|y=x2,C=(x,y)|y=x2,则则A=B=C.()(3)空集是任何集合的真子集空集是任何集合的真子集.()(4)集合集合A不能是其自身的真子集不能是其
8、自身的真子集.()探究探究一一 子集子集的确定的确定【例【例1】已知集合已知集合A满足满足a,b A a,b,c,d,求满足条件的集求满足条件的集合合A.解解:由题意可知由题意可知,A中一定有中一定有a,b,对于对于c,d可能没有可能没有,也可能有也可能有1个个,故满足故满足a,b A a,b,c,d的的A有有a,b,a,b,c,a,b,d.求解有限集合的子集问题求解有限集合的子集问题,关键有三点关键有三点(1)确定所求集合确定所求集合;(2)合理分类合理分类,按照子集所含元素的个数依次按照子集所含元素的个数依次写出写出;(3)注意两个特殊的集合注意两个特殊的集合,即空集和集合本身即空集和集合
9、本身.注意注意:一般地一般地,若集合若集合A中有中有n(n1)个元素个元素,则其子集有则其子集有2n个个,真真子集有子集有(2n-1)个个,非空真子集有非空真子集有(2n-2)个个.【变式训练【变式训练1】适合条件适合条件1 A 1,2,3,4,5的集合的集合A的个数的个数是是()A.15B.16C.31D.32解析解析:满足条件的集合满足条件的集合A有有1,1,2,1,3,1,4,1,5,1,2,3,1,2,4,1,2,5,1,3,4,1,3,5,1,4,5,1,2,3,4,1,2,3,5,1,2,4,5,1,3,4,5,共共15个个.答案答案:A探究探究二二 集合集合间关系的判断关系的判断
10、【例【例2】指出下列各对集合间的关系指出下列各对集合间的关系:(1)A=-1,1,B=(-1,-1),(-1,1),(1,-1),(1,1);(2)A=x|x是等边三角形是等边三角形,B=x|x是等腰三角形是等腰三角形;(3)A=x|-1x4,B=x|x-50;(4)M=x|x=2n-1,nN+,N=x|x=2n+1,nN+.解解:(1)集合集合A的代表元素是数的代表元素是数,集合集合B的代表元素是有序实数对的代表元素是有序实数对,故集合故集合A与与B之间无包含关系之间无包含关系.(2)等边三角形是三边相等的三角形等边三角形是三边相等的三角形,等腰三角形是两边相等等腰三角形是两边相等的三角形的
11、三角形,故故A B.(3)集合集合B=x|x5,用数轴表示集合用数轴表示集合A,B,如图所示如图所示.由图可知由图可知A B.(4)由列举法知由列举法知M=1,3,5,7,N=3,5,7,9,故故N M.判断集合与集合间关系的常用方法判断集合与集合间关系的常用方法:(1)一一列举观察一一列举观察.(2)集合集合元素特征法元素特征法:首先确定集合的元素是什么首先确定集合的元素是什么,弄清元素的特征弄清元素的特征,再再利用集合元素的特征判断关系利用集合元素的特征判断关系.(3)数形结合法数形结合法:利用数轴或利用数轴或Venn图判断图判断.若若A B和和A B同时成立同时成立,则则A B更能准确表
12、达更能准确表达集合集合A,B之间的关系之间的关系.【变式训练【变式训练2】已知集合已知集合M=x|x=3k-2,kZ,P=y|y=3n+1,nZ,S=z|z=6m+1,mZ,则集合则集合M,P,S之间的之间的关系为关系为()A.S P MB.S=P MC.S P=MD.S P M解析解析:对于对于M:x=3k-2=3(k-1)+1,kZ,对于对于P:y=3n+1,nZ,M=P.而集合而集合S中中,z=6m+1=3(2m)+1,mZ,故故S P=M.答案答案:C探究探究三三 集合集合相等相等【例【例3】已知集合已知集合A=1,1+a,1+2a,B=1,q,q2.若若A=B,求实数求实数a,q的值
13、的值.分析分析:根据两集合相等根据两集合相等,列出关于列出关于a,q的方程组的方程组,求出求出a,q并验证并验证是不是符合集合元素的互异性是不是符合集合元素的互异性,从而得解从而得解.1.若两个集合相等若两个集合相等,则所含元素完全相同则所含元素完全相同,与顺序无关与顺序无关,但要注但要注意检验意检验,排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形排除与集合元素互异性或与已知相矛盾的情形.2.若两个集合中的元素均有无限多个若两个集合中的元素均有无限多个,要看两集合的代表元素要看两集合的代表元素是否一致是否一致,且看代表元素满足的条件是否一致且看代表元素满足的条件是否一致,若均一致若均一致,则两则两集
14、合相等集合相等.3.另外证明两个集合相等的思路是证另外证明两个集合相等的思路是证A B且且B A.答案答案:C探究探究四四 由由集合集合间的关系求参数范的关系求参数范围【例【例4】已知集合已知集合A=x|-2x5,B=x|m-6x2m-1,若若A B,求实数求实数m的取值范围的取值范围.分析分析:根据集合关系把已知集合标在数轴上根据集合关系把已知集合标在数轴上,然后建立不等式然后建立不等式组求解组求解.1.本例中若将本例中若将“A=x|-2x5,A B”改为改为“A=x|x5,B A”,求实数求实数m的取值范围的取值范围.2.已知集合已知集合A=x|x2-2x-3=0,B=x|ax-2=0,且
15、且B A,求实数求实数a的的值值.解解:A=x|x2-2x-3=0=-1,3.当当B=时时,ax-2=0无解无解,可得可得a=0.当当B 时时,由于由于B A,因此因此B=-1或或B=3.当当B=-1时时,由由a(-1)-2=0,可得可得a=-2;1.求解集合中的参数问题求解集合中的参数问题,应先分析、化简每个集合应先分析、化简每个集合,然后应然后应用数形结合思想与分类讨论思想求解用数形结合思想与分类讨论思想求解.2.利用数轴分析法利用数轴分析法,将各个集合在数轴上表示出来将各个集合在数轴上表示出来,其中特别其中特别要注意端点值的检验要注意端点值的检验.3.注意空集的特殊性注意空集的特殊性,遇
16、到遇到“B A”时时,若若B为含字母参数的集为含字母参数的集合合,一定要分一定要分“B=”和和“B”两种情形讨论两种情形讨论.【变式训练【变式训练4】已知集合已知集合A=x|1x2,B=x|2a-3xa-2,且且B A,求实数求实数a的取值范围的取值范围.因忽视空集的特殊性致误因忽视空集的特殊性致误【典例】【典例】已知集合已知集合A=x|x2+x-6=0,B=x|mx+1=0,且且B A,求求m的值的值.错解错解A=x|x2+x-6=0=-3,2.B A,mx+1=0的解为的解为x=-3或或x=2.以上解答过程中都有哪些错误以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么出错的原因是什么?你如何改
17、你如何改正正?你如何防范你如何防范?提示提示:上述上述解法是初学者解此类题的典型错误解法解法是初学者解此类题的典型错误解法.原因是考原因是考虑不全面虑不全面,由集合由集合B的含义及的含义及B A,忽略了集合忽略了集合B为为 的可能的可能,而而漏掉解漏掉解.正解正解:A=x|x2+x-6=0=-3,2.B A,可以分以下情形讨论可以分以下情形讨论:当当B=时时,有有m=0,符合题意符合题意.在解决此类问题时在解决此类问题时,若题目出现包含关系时若题目出现包含关系时,应首先想到有没应首先想到有没有出现有出现 的可能的可能.【变式训练】【变式训练】已知集合已知集合A=x|1ax2,B=x|-1x1,
18、求满足求满足A B的实数的实数a的取值范围的取值范围.1.下列关系错误的个数是下列关系错误的个数是()10,1,2;10,1,2;0,1,2 0,1,2;0,1,2=2,0,1;0,1(0,1).A.1B.2C.3D.4解析解析:正确正确;因为集合因为集合1是集合是集合0,1,2的真子集的真子集,而不能用而不能用属于来表示属于来表示,所以所以错误错误;正确正确,因为任何集合都是它本身的因为任何集合都是它本身的子集子集;正确正确,因为集合元素具有无序性因为集合元素具有无序性;因为集合因为集合0,1表示数表示数集集,它有两个元素它有两个元素,而集合而集合(0,1)表示点集表示点集,它只有一个元素它
19、只有一个元素,所所以以错误错误,所以错误的个数是所以错误的个数是2.故选故选B.答案答案:B2.集合集合A=x|0 x3,xN的真子集的个数为的真子集的个数为()A.4B.7C.8D.16解析解析:由题意由题意,可得可得A=0,1,2,其其真子集为真子集为,0,1,2,0,1,0,2,1,2,共共7个个.答案答案:B3.若若1,2=x|x2+bx+c=0,则则()A.b=-3,c=2B.b=3,c=-2C.b=-2,c=3D.b=2,c=-3解析解析:依题意知依题意知,x1=1,x2=2是方程是方程x2+bx+c=0的两个实数根的两个实数根,由由根与系数的关系根与系数的关系,得得b=-3,c=
20、2.答案答案:A4.已知集合已知集合U,S,T,F的关系如图所示的关系如图所示,则下列关系正确的是则下列关系正确的是()SU;F T;S T;S F;SF;F U.A.B.C.D.解析解析:元素与集合之间的关系才用元素与集合之间的关系才用,故故错误错误;子集的区子集的区域要被全部涵盖域要被全部涵盖,故故错误错误,正确正确.答案答案:D5.已知集合已知集合A=x|x-72,B=x|x5,判断集合判断集合A,B间的关系间的关系.解解:因为因为A=x|x-72=x|x9,B=x|x5,所以所以A B.十年寒窗磨利剑，十年寒窗磨利剑，十年寒窗磨利剑，十年寒窗磨利剑，一朝折桂展宏图！一朝折桂展宏图！一朝折桂展宏图！一朝折桂展宏图！