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1、3反比例函数的应用反比例函数与一次函数的反比例函数与一次函数的综综合合应应用用1.1.反比例函数反比例函数 与正比例函数与正比例函数y=ky=k2 2x:x:(1)(1)当比例系数同号当比例系数同号时时,所在象限所在象限_,_,有有_个交点个交点,交点关于交点关于_对对称称.(2)(2)当比例系数异号当比例系数异号时时,所在象限所在象限_,_,_交点交点.相同相同2 2坐坐标标原点原点不同不同没有没有2.2.反比例函数反比例函数 与一次函数与一次函数y=ky=k2 2x+b:x+b:求两个函数的交点坐求两个函数的交点坐标标即是求两个函数表达式即是求两个函数表达式组组成的成的_的解的解.方程方程
2、组组【思维诊断思维诊断】(打打“”“”或或“”)”)1.1.用反比例函数解决用反比例函数解决实际问题时实际问题时,自自变变量的取量的取值值范范围围都是都是x0.x0.()()2.2.从反比例函数从反比例函数图图象中找到一个点即可由待定系数法求得反象中找到一个点即可由待定系数法求得反比例函数表达式比例函数表达式.()()3.3.正比例函数与反比例函数的交点关于原点正比例函数与反比例函数的交点关于原点对对称称.()()4.4.反比例函数与一次函数一定有两个交点反比例函数与一次函数一定有两个交点.()()知识点一知识点一 反比例函数的反比例函数的实际应实际应用用【示范示范题题1 1】(2013(20
3、13益阳中考益阳中考)我市某蔬菜我市某蔬菜生生产产基地在气温基地在气温较较低低时时,用装有恒温系用装有恒温系统统的的大棚栽培一种在自然光照且温度大棚栽培一种在自然光照且温度为为1818的条的条件下生件下生长长最快的新品种最快的新品种.如如图图是某天恒温系是某天恒温系统统从开启到关从开启到关闭闭及及关关闭闭后后,大棚内温度大棚内温度y()y()随随时间时间x(h)x(h)变变化的函数化的函数图图象象,其中其中BCBC段是双曲段是双曲线线y=y=的一部分的一部分.请请根据根据图图中信息解答下列中信息解答下列问题问题:(1)(1)恒温系恒温系统统在在这这天保持大棚内温度天保持大棚内温度1818的的时
4、间时间有多少小有多少小时时?(2)(2)求求k k的的值值.(3)(3)当当x=16x=16时时,大棚内的温度大棚内的温度约为约为多少度多少度?【思路点拨思路点拨】(1)(1)根据图象直接得出大棚温度根据图象直接得出大棚温度1818的时间的时间.(2)(2)利用待定系数法将点利用待定系数法将点B B的坐标代入求反比例函数关系式的坐标代入求反比例函数关系式.(3)(3)将将x=16x=16代入函数关系式求出代入函数关系式求出y y的值即可的值即可.【自主解答自主解答】(1)(1)恒温系统在这天保持大棚温度恒温系统在这天保持大棚温度1818的时间为的时间为12-2=10(h).12-2=10(h)
5、.(2)(2)点点B(12,18)B(12,18)在双曲线在双曲线y=y=上上,18=k=216.,18=k=216.(3)(3)当当x=16x=16时时,y=13.5,y=13.5,所以当所以当x=16x=16时时,大棚内的温度约为大棚内的温度约为13.5.13.5.【想一想想一想】示范示范题题1 1中当中当x=10 x=10时时,y=21.6,y=21.6吗吗?提示提示:不是不是,由图象可得由图象可得,反比例函数反比例函数 的自变量取值范围的自变量取值范围是是x12,x12,所以所以x=10 x=10不能代入不能代入 求值求值.由图象得由图象得x=10 x=10时时,y=18.,y=18.
6、【备选备选例例题题】某某乡镇乡镇要在生活垃圾存放区建一个老年活要在生活垃圾存放区建一个老年活动动中心中心,这样这样必必须须把把1200m1200m3 3的生活垃圾运走的生活垃圾运走.(1)(1)假如每天能运假如每天能运xmxm3 3,所需所需时间为时间为y y天天,写出写出y y与与x x之之间间的函数关系的函数关系式式.(2)(2)若每若每辆辆拖拉机一天能运拖拉机一天能运12m12m3 3,则则5 5辆这样辆这样的拖拉机要用多少天的拖拉机要用多少天才能运完才能运完?(3)(3)在在(2)(2)的情况下的情况下,运了运了8 8天后天后,剩下的任剩下的任务务要在不超要在不超过过6 6天的天的时时
7、间间完成完成,那么至少需要增加多少那么至少需要增加多少辆这样辆这样的拖拉机才能按的拖拉机才能按时时完成完成任任务务?【解析解析】(1)(1)每天运量每天运量xmxm3 3时时,需时间需时间y=y=天天,所以所以y y与与x x之间的函数关系式为之间的函数关系式为y=.y=.(2)5(2)5辆拖拉机每天能运辆拖拉机每天能运5 512=60(m12=60(m3 3),),则则y=1200y=120060=20,60=20,即需要即需要2020天运完天运完.(3)(3)假设需要增加假设需要增加n n辆辆,根据题意根据题意:8:860+660+612(n+5)1200,12(n+5)1200,解解得得
8、n5,n5,所以至少需要增加所以至少需要增加5 5辆这样的拖拉机才能按时完成任务辆这样的拖拉机才能按时完成任务.【方法一点通方法一点通】解决反比例函数应用题的一般思路解决反比例函数应用题的一般思路1.1.从实际问题中抽象出函数模型从实际问题中抽象出函数模型.2.2.代入已知对应值确定待定系数代入已知对应值确定待定系数,建立反比例函数关系式建立反比例函数关系式.3.3.根据自变量的取值求出函数值根据自变量的取值求出函数值.知识点二知识点二 反比例函数与一次函数的反比例函数与一次函数的综综合合应应用用【示范示范题题2 2】(2013(2013防城港中考防城港中考)工匠制作某种金属工具要工匠制作某种
9、金属工具要进进行材料煅行材料煅烧烧和和锻锻造两个工序造两个工序,即需要将材料煅即需要将材料煅烧烧到到800,800,然后然后停止煅停止煅烧进烧进行行锻锻造操作造操作.第第8min8min时时,材料温度降材料温度降为为600,600,煅煅烧时烧时,温度温度y()y()与与时间时间x(min)x(min)成一次函数关系成一次函数关系;锻锻造造时时,温度温度y()y()与与时间时间x(min)x(min)成反比例关系成反比例关系(如如图图),),已知已知该该材料初始温度是材料初始温度是32.32.(1)(1)分分别别求出材料煅求出材料煅烧烧和和锻锻造造时时y y与与x x的函数关系式的函数关系式,并
10、且写出自并且写出自变变量量x x的取的取值值范范围围;(2)(2)根据工根据工艺艺要求要求,当材料温度低于当材料温度低于480480时时,须须停止操作停止操作,那么那么锻锻造的操作造的操作时间时间有多有多长长?【解题探究解题探究】(1)(1)怎样求出一次函数与反比例函数的函数关系怎样求出一次函数与反比例函数的函数关系式式?提示提示:用待定系数法先设出两类函数的关系式用待定系数法先设出两类函数的关系式,先把点先把点C C代入反代入反比例函数关系式比例函数关系式,再求出点再求出点B B的坐标的坐标,把点把点A,BA,B代入一次函数关系代入一次函数关系式式.(2)(2)应把应把y=480y=480代
11、入哪个函数关系式代入哪个函数关系式?怎样求出锻造的操作时间怎样求出锻造的操作时间?提示提示:题目要求锻造的操作时间有多长题目要求锻造的操作时间有多长,所以要代入反比例函数所以要代入反比例函数关系式关系式,求出停止操作的时刻求出停止操作的时刻,再求出从开始锻造到停止的时间再求出从开始锻造到停止的时间差即为锻造的操作时间差即为锻造的操作时间.【尝试解答尝试解答】(1)(1)设锻造时的函数关系式为设锻造时的函数关系式为 k k1 1=4800.=4800.当当y=800y=800时时,800=x=6,800=x=6,点点B B坐标为坐标为(6,800).(6,800).锻造时的函数关系式为锻造时的函
12、数关系式为y=(x6).y=(x6).设煅烧时的函数关系式为设煅烧时的函数关系式为y=ky=k2 2x+b,x+b,则则 煅烧时的函数关系式为煅烧时的函数关系式为y=128x+32(0 x6).y=128x+32(0 x6).(2)(2)当当y=480y=480时时,x=10,10-6=4,x=10,10-6=4,锻造的操作时间有锻造的操作时间有4 4分分钟钟.【想一想想一想】示范示范题题2 2中什么中什么时间时间材料温度低于材料温度低于600?600?是是8 8分分钟钟以后以后吗吗?提示提示:不一定不一定8 8分钟以后分钟以后,由图象可知材料温度低于由图象可知材料温度低于600600的时间的
13、时间应分两段应分两段,一段是在一次函数图象上当一段是在一次函数图象上当y=600y=600时时,x=,x=一段在一段在反比例函数图象上反比例函数图象上y=600y=600时时,x=8.,x=8.所以材料温度低于所以材料温度低于600600的时的时间为间为0 x 0 x8.x8.【微点拨微点拨】(1)(1)求函数关系式求函数关系式,一般先根据题意一般先根据题意,求出图象上相关点的坐标求出图象上相关点的坐标,用待定系数法列方程用待定系数法列方程(组组)求解求解.(2)(2)待定系数法求一次函数关系式需确定函数图象上的两个点待定系数法求一次函数关系式需确定函数图象上的两个点;求反比例函数关系式求反比
14、例函数关系式,只要确定图象上一点的坐标即可只要确定图象上一点的坐标即可.【方法一点通方法一点通】反比例函数与一次函数综合应用反比例函数与一次函数综合应用1.1.主要思想方法主要思想方法:数形结合思想数形结合思想.2.2.解题思路解题思路:见形想式见形想式看图找点看图找点建模求解建模求解.3.3.主要题型主要题型:(1):(1)求交点坐标求交点坐标:由两个函数关系式联立方程组求由两个函数关系式联立方程组求方程组的解得到两个函数交点的坐标方程组的解得到两个函数交点的坐标.(2)(2)比较函数值的大小比较函数值的大小:根据函数图象分析根据函数图象分析,上方函数图象的值上方函数图象的值大大,进而确定自变量的取值范围进而确定自变量的取值范围.