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1、等差数列的前n项和一一.复习回顾复习回顾 等差数列的通项公式等差数列的通项公式:等差数列的性质等差数列的性质:若若则则前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业即求和:如图所示如图所示,表示堆放的钢管共表示堆放的钢管共8层层,自上而下各层自上而下各层的钢管数组成等差数列的钢管数组成等差数列4,5,6,7,8,9,10,11,求求钢管的总数钢管的总数.想一想,大家能发现什么有趣的算法吗?4+11=5+10=6+9=7+8=15 方法1:注意到注意到前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业这两堆钢管构成了一个这两堆钢管构成了
2、一个平行四边形平行四边形,从而得到了从而得到了:每一层的钢管数都相等每一层的钢管数都相等,都是都是15,总共是总共是8层层.也即由于也即由于:前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业如果数列有n项，如何求和？将各项倒序排列得将各项倒序排列得:两式相加得两式相加得,又因为可以根据等差数列的性质:若则即:前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业记为记为:公式一公式一又等差数列的通项公式为又等差数列的通项公式为:将其代入公式一得,等差数列的前n项和的另一个公式:记为记为:公式二公式二前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境
3、导入情境导入应用应用小结小结作业作业n 用用梯梯形形面面积积公公式式记记忆忆等等差差数数列列前前n n项项和和公公式式，这这里里对对图图形形进进行行了了割割、补补两两种种处处理理，对对应应着着等等差差数数列列前前n项和的两个公式项和的两个公式.前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业解解:解解:1.已知等差数列已知等差数列 .中求2.已知等差数列已知等差数列 .中求前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业若上式中令则有,前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业xyox=1有最大值3
4、.当公差d 0即a0即a0时,有最小值.1.当公差d=0即a=0时,是常数列若,则它是关于n的一次函数,若,则=0前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业nS对我们解题有帮助吗？如如:(1)(2)(不是)(是)考虑一下取最值时所对应考虑一下取最值时所对应n的值为多少的值为多少?前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业例例1.等差数列等差数列-10,-6,-2,2,前多少项的和是前多少项的和是54?解:由题意得,即有,得(舍去)答:该等差数列前9项的和是54.前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用
5、小结小结作业作业例例2.已知一个等差数列的前已知一个等差数列的前10项的和是项的和是310,前前20项项的和是的和是1220,由此可以确定求其前由此可以确定求其前n项和的公式吗项和的公式吗?解:由题意知,将它们代入公式得到 与d的方程组,得解这个关于前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业还有其他方法吗？解:设 代入公式有,解得,对比两种解法,发现公式的应用是很灵活的,对有些题而言选择适当的公式可以简化求解的计算量.将前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业例例3.求集合求集合M=m|m=7n,n是正整数是正整数,且且
6、m100的元素个数的元素个数,并求这些元素的和并求这些元素的和.解解:由由7n100得得 n1007,由于满足它的正整数由于满足它的正整数n共有共有14个个,集合集合M中的元素共有中的元素共有14个个.即即7,14,21,91,98.这是一个等差数列这是一个等差数列,各项的和是各项的和是=735前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列、根据下列各题中的条件，求相应的等差数列an的的sn(1)a=5,an=95,n=10(2)a1=100,d=2,n=50(3)a1=14.5,d=0.7,an=322、(1)求正整数列
7、中前求正整数列中前n个数的和；个数的和；(2)求正整数列中前求正整数列中前n个偶数的和个偶数的和。3、等差数列、等差数列5,4,3,2,1,前多少项的和是前多少项的和是30？前前15项项前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业 1.推导等差数列前推导等差数列前 n项和公式的方法项和公式的方法2.公式的应用中的数学思想公式的应用中的数学思想.-倒序相加法倒序相加法-方程思想方程思想3.公式中五个量公式中五个量a1,d,an,n,sn,已知已知 其中三个量，可以求其余两个其中三个量，可以求其余两个-知三求二知三求二前前n项和公式项和公式探究思考探究思考情境导入情境导入应用应用小结小结作业作业