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1、第三章第三章 力矩力矩 平面力偶系平面力偶系 理论力学 西南科技大学 张建辉第三章第三章 力矩力矩 平面力偶系平面力偶系研究内容：研究内容：1 力矩和力偶的概念、力偶的性质、力矩和力偶的概念、力偶的性质、2 平面力偶系的合成与平衡。平面力偶系的合成与平衡。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 3.l 3.l 力对点的矩力对点的矩 合力矩定理合力矩定理1 力矩的概念力矩的概念:0点称为力矩中心点称为力矩中心 (简称简称矩心矩心)0点到力点到力F作用线的垂直作用线的垂直 距离距离d，称为称为力臂力臂doABF90在力学上以乘积在力学上以乘积 Fd 作为力作为力 F 使物体绕使物体绕O点点
2、转动效应的度量，这个物理量称为力转动效应的度量，这个物理量称为力 F 对对O点之矩，简称点之矩，简称力矩力矩第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 3.l 3.l 力对点的矩力对点的矩 合力矩定理合力矩定理1 力矩的概念力矩的概念:doABF90力矩的大小力矩的大小:力的力的大小于力臂的乘积大小于力臂的乘积力矩的表示方法力矩的表示方法:用用 表示表示F 对对O 点之矩点之矩 力矩的正负力矩的正负:规定转向是反时针向时，力矩取正号；顺规定转向是反时针向时，力矩取正号；顺时针向时，力矩取负号。时针向时，力矩取负号。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 3.l 3.l 力对点的矩力
3、对点的矩 合力矩定理合力矩定理1 力矩的概念力矩的概念:doABF90 注意注意:矩心可以任意选定矩心可以任意选定,矩心的位置变化矩心的位置变化,力矩变化力矩变化;力沿作用线移动力沿作用线移动,力矩不变力矩不变;由图可见，力由图可见，力F对对0点的矩的大小亦可用点的矩的大小亦可用 三角形三角形OAB面积的两倍表示面积的两倍表示.力矩的单位力矩的单位:牛顿牛顿米米;公斤力公斤力米米.第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉平面汇交力系合力矩定理；平面汇交力系合力矩定理；2 合力矩定理合力矩定理:平面汇交力系的合力平面汇交力系的合力,对于平面内任意一点的对于平面内任意一点的矩矩,等于所有各力
4、对于同一点之矩的代数和等于所有各力对于同一点之矩的代数和.证明证明 设有力设有力P,Q交于交于A点，点，其合力为其合力为R，选，选O作为矩心，作为矩心，连结连结AO，并将并将P、Q 和和R投影到与投影到与AO的垂直线上。的垂直线上。根据合力投影定理根据合力投影定理AQPROdcbaprq ad=ab+ac第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 证明证明 设有力设有力P,Q交于交于A点，点，其合力为其合力为R，选，选O作为矩心，作为矩心，连结连结AO，并将并将P、Q 和和R投影到与投影到与AO的垂直线上。的垂直线上。根据合力投影定理根据合力投影定理:ad=ab+acAQPROdcbapr
5、q 第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉AQPROdcbaprq 这就是两个相交力的这就是两个相交力的合力矩定理合力矩定理，这个结果这个结果可以推广到有任意个力可以推广到有任意个力的汇交力系情况，的汇交力系情况，第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 用合力矩定理计算一个力的力矩用合力矩定理计算一个力的力矩:ABXYOabbayxXYFYFXFFY FX 为为F的分力的分力;X Y 为分力在坐为分力在坐 标轴上的投影标轴上的投影;x y 为为A点的坐标点的坐标(矩心矩心)第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 试用三种不同方法求力试用三种不同方法求力F对对O点的力矩点
6、的力矩4m2m例例1第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉例例1 试用三种不同方法求力试用三种不同方法求力F对对O点的力矩点的力矩 解解 (1)利用利用 公式公式计算。计算。d=4cos40+2sin40 =4.35 Nmmo(F)=-6004.35 =-2610 Nm第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉例例1 试用三种不同方法求力试用三种不同方法求力F对对O点的力矩点的力矩 (2)利用合力矩定理计算利用合力矩定理计算:将作用于将作用于A 点点 的力的力 F 分解为正交分力分解为正交分力 Fl 和和 F2.F1=600cos40460 NF2=600sin40386 NBA第
7、三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉例例1 试用三种不同方法求力试用三种不同方法求力F对对O点的力矩点的力矩 OABF1CF2F1F2d1d2(3)将力将力F沿其作用线移到沿其作用线移到 B 点或点或 C 点点.再分解再分解 为正交分力为正交分力 Fl 与与 F2,在在B点时点时:第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉3.2 3.2 力偶与力偶矩力偶与力偶矩:大小相等、方向相反、作用线互相平行而大小相等、方向相反、作用线互相平行而 不重合的两个力叫做不重合的两个力叫做力偶力偶 两力线间的垂直距离两力线间的垂直距离 d 叫叫力偶臂力偶臂，1 力偶的概念力偶的概念:力偶中两力线所决
8、定的平面力偶中两力线所决定的平面,叫叫力偶作用面力偶作用面，第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉例如例如:汽车司机旋转汽车司机旋转方向盘方向盘钳工两手作用于丝锥钳工两手作用于丝锥扳手上的两个力扳手上的两个力电动机的转子受到磁电动机的转子受到磁场给它的作用力场给它的作用力F第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 2 力偶矩力偶矩:(描述力偶对物体的转动效应描述力偶对物体的转动效应)计算力偶中两个力对任计算力偶中两个力对任一点一点O的力矩的代数和的力矩的代数和力偶中的任一力力偶中的任一力 F(或或 F)与力偶臂的乘积与力偶臂的乘积 F.d作为力偶使物体转动效应的度量。这个物理量作
9、为力偶使物体转动效应的度量。这个物理量叫做力偶矩。以符号叫做力偶矩。以符号m表示表示.OABFFxdC第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉力偶矩的大小力偶矩的大小:力偶矩的正负力偶矩的正负:规定转向是反时针向时，规定转向是反时针向时，力偶矩取正号；顺时针力偶矩取正号；顺时针向时，力偶矩取负号向时，力偶矩取负号力偶对矩心力偶对矩心O点的力矩点的力矩只与力只与力 F 和力偶臂和力偶臂d 的的大小有关，而与矩心位大小有关，而与矩心位置无关置无关第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 力偶的等效力偶的等效:两个在同平面内的力偶，如果力偶矩的两个在同平面内的力偶，如果力偶矩的大小相等、
10、转向相同，则这两个力偶大小相等、转向相同，则这两个力偶彼此等效。彼此等效。两个力偶两个力偶彼此等效。彼此等效。必要与充分条件必要与充分条件在同平面内的力偶，不管其位置，力和力偶臂在同平面内的力偶，不管其位置，力和力偶臂如何不同，只要力偶矩相等，转向相同，这两如何不同，只要力偶矩相等，转向相同，这两个力偶便是等效的。个力偶便是等效的。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉3 平面力平面力 偶的两个重要性质偶的两个重要性质力偶无合力力偶无合力力偶不能与一力等效力偶不能与一力等效,只能与另一个力偶等效只能与另一个力偶等效力偶不能与一力平衡力偶不能与一力平衡,只能与另一个力偶平衡只能与另一个力
11、偶平衡 性质性质1:力偶可以在作用面内任意力偶可以在作用面内任意转移而不改变它对刚体的作用。转移而不改变它对刚体的作用。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉FFFFFFFFFFFFFFFFFFFF 性质性质1:力偶可以在作用面内任意力偶可以在作用面内任意转移而不改变它对刚体的作用。转移而不改变它对刚体的作用。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 性质性质2在保持力偶矩的大小和在保持力偶矩的大小和转向不变的条件下，可以任意改转向不变的条件下，可以任意改变力和力偶臂的大小，而不影响变力和力偶臂的大小，而不影响它对刚体的作用。它对刚体的作用。3 平面力平面力 偶的两个重要性质偶的
12、两个重要性质第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉2FF12F2F2FF12F2F第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 综上所述可知，在同一平面内研究有关综上所述可知，在同一平面内研究有关力偶的问题时力偶的问题时,只须考虑力偶矩只须考虑力偶矩.而不必而不必研究其中力的大小和力偶臂的长研究其中力的大小和力偶臂的长.我们在力偶的作用面内用符号我们在力偶的作用面内用符号 表示一个力偶，弯箭头表示力偶的转向，表示一个力偶，弯箭头表示力偶的转向，m表示力偶矩的大小，表示力偶矩的大小，第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉2FF=2FF =第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学
13、张建辉以上的结论，不适用于变形体的研究以上的结论，不适用于变形体的研究虽然力偶矩相等，虽然力偶矩相等，(即即 Fldl=F2d2),对梁对梁的平衡没有影响，但对梁的变形效应却的平衡没有影响，但对梁的变形效应却不一样，这将在材料力学中讨论。不一样，这将在材料力学中讨论。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉力于力于力偶的区别力偶的区别:力偶只能产生力偶只能产生 转动效应转动效应力力转动效应转动效应移动效应移动效应 力偶的转动效应力偶的转动效应 与矩心无关与矩心无关力的力的作用点不同作用点不同,效果不同效果不同力偶可以在同一力偶可以在同一 刚体内任意移动刚体内任意移动 不会改变对刚体不会改
14、变对刚体 的作用的作用力力只能沿作用线移动只能沿作用线移动第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉3.33.3平面力偶系的合成和平衡条件平面力偶系的合成和平衡条件 作用在同一平面内的许多力偶称为作用在同一平面内的许多力偶称为:平面力偶系平面力偶系例如、例如、多轴钻床在水平汽缸多轴钻床在水平汽缸盖上同时钻孔时，工盖上同时钻孔时，工件就是受到平面力偶件就是受到平面力偶系的作用。系的作用。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉1 平面力偶系的合成平面力偶系的合成:两个力偶的合成两个力偶的合成:=F1F1F2F2RR ddm=Rd=F1d+F2d=m1+m2第三章 力矩 平面力偶系 西南
15、科技大学 张建辉1 平面力偶系的合成平面力偶系的合成:任意多个力偶的合成任意多个力偶的合成:(平面力偶系的合成平面力偶系的合成)若作用在问一平面向有若作用在问一平面向有n个力偶，则其个力偶，则其合力偶矩应为合力偶矩应为:即平面力偶系合成的结果是一个合力偶，即平面力偶系合成的结果是一个合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉2 平面力偶系的平衡条件平面力偶系的平衡条件:平面力偶系平衡的必要和充分条件是：平面力偶系平衡的必要和充分条件是：力偶系中各力偶矩的代数和等于零力偶系中各力偶矩的代数和等于零.平面力偶系
16、平面力偶系 平衡平衡力偶系各力偶矩力偶系各力偶矩的代数和等于零的代数和等于零利用这个平衡方程，显然可以求出一个未知量。利用这个平衡方程，显然可以求出一个未知量。平面力偶系平面力偶系 平衡平衡第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 梁梁AC受一力偶作用受一力偶作用,其矩其矩m120 kN.m.尺寸如图所示。试求支座尺寸如图所示。试求支座A、B的反力。的反力。例例2解解:(1)取梁取梁AB 为研究对象。为研究对象。(2)画受力画受力 图。图。2m2mABCmRBRA(3)列平衡列平衡方程求未知量方程求未知量第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉2m2mABCmRBRA(3)列平衡列
17、平衡方程求未知量方程求未知量第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 已知支架的构造如图所示，在支架上作已知支架的构造如图所示，在支架上作用有一力偶，其力偶矩用有一力偶，其力偶矩 m200N.m，支架支架杆重不计，试求铰链杆重不计，试求铰链B处的约束反力。处的约束反力。例例3第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉解解:取构件取构件BCD 为研究对象。为研究对象。画受画受力图力图;列列平衡方程平衡方程:计算结果力负值，表示计算结果力负值，表示它们假设的指向与实际它们假设的指向与实际的指向相反的指向相反.第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 在题图所示结构中，二曲杆自重不计
18、，在题图所示结构中，二曲杆自重不计，曲秆曲秆AB上作用有主动力偶上作用有主动力偶,其力偶矩为其力偶矩为 L，试求试求A和和C点处的反力。点处的反力。例例4 4ABCaaa 3a 解解:取曲杆取曲杆AB为为研究对象，画受研究对象，画受力图，这是平面力图，这是平面力偶系平衡问题力偶系平衡问题.平衡方程只有一平衡方程只有一个。个。第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉ABCaaa 3aNA AB4545SCB第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉NA AB4545SCB第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉NA AB4545SCB根据二力平衡条件得根据二力平衡条件得:SCBN
19、C第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图齿轮箱的两个轴上作用的力偶如题图所示，它们的力偶矩的大小分别为所示，它们的力偶矩的大小分别为Ll500(N.m)，L2125(N.m)。求两焊螺栓处的铅求两焊螺栓处的铅垂约束反力。图中长度单位为厘米。垂约束反力。图中长度单位为厘米。例5第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉 解解:取齿轮箱为研究取齿轮箱为研究对象对象.受力如图所示。受力如图所示。因为因为L1L2，所以所以主动力偶为顺时针，主动力偶为顺时针，约束力偶为逆时针约束力偶为逆时针列平衡方程：列平衡方程：m=0第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学
20、 张建辉例例6 四连杆机构在图示位置平衡，四连杆机构在图示位置平衡，已知已知OA60(cm)，BC40(cm)，作用在作用在BC上上力偶的力偶矩大小力偶的力偶矩大小L21(N.m)，试求作用试求作用在在0A上力偶的力偶矩大小上力偶的力偶矩大小 Ll 和和AB所受的所受的力力SAB。各杆重量不计。各杆重量不计。L1L2OABC30第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉L1L2OABC30 解：解：1.取杆取杆BC为为研究对象研究对象.受力如受力如图所示。图所示。L2BC30SABNC第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉L1OAL1L2OABC30SABNO2,取杆取杆OA为研究
21、为研究对象，受力如图对象，受力如图所示。所示。m=0L1 SABAO=0L1=SABAO =50.6 =3(Nm)第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉力偶没有合力，不可能用一个力来平衡，力偶没有合力，不可能用一个力来平衡，只能用另一力偶来平衡。只能用另一力偶来平衡。在保持力偶矩不变的条件下，可同时改变在保持力偶矩不变的条件下，可同时改变 力和力偶臂，并且主动力可在作用面内任力和力偶臂，并且主动力可在作用面内任 意移转意移转,便于分析便于分析.而对于物体系而对于物体系,不能从不能从 一个刚体移动到另一个刚体一个刚体移动到另一个刚体.当当主动力为力偶主动力为力偶,约束反力必然为力偶约束反力必然为力偶.应用平面力偶系的平衡条件应用平面力偶系的平衡条件求约束反力应注意几点求约束反力应注意几点:第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉第三章 力矩 平面力偶系 西南科技大学 张建辉