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1、第三章 力矩和平面力偶系第1页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 3.1 3.1 力矩及其计算力矩及其计算 一、力矩一、力矩 设刚体在体在图面内受力面内受力 F 作用（作用（图 3-1）。在同）。在同图面内取一点面内取一点 0，点点 0 称称为矩心，矩心到力作用矩心，矩心到力作用线的距离称的距离称为力臂，用力臂，用 h 表示，表示，则力力 F 在在图示平面内示平面内对矩心矩心 O 的矩（的矩（简称力矩）的定称力矩）的定义如下：如下：力矩是一个代数量，其力矩是一个代数量，其绝对值等于力的大小与力臂的乘等于力
2、的大小与力臂的乘积，其正，其正负号按：号按：力使物体逆力使物体逆时针转动时为正；反之正；反之为负。力力对点点O之矩之矩为：Mo(F)=Fh 图3-1OF hA第2页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 1）力的大小）力的大小为零零时，力矩，力矩为零；零；2）力的作用）力的作用线通通过矩心矩心时，力臂，力臂为零，故力矩零，故力矩为零；零；3）取不同矩心）取不同矩心时，力臂和，力臂和转动方向都可能改方向都可能改变，故同一力，故同一力对不同的矩心的不同的矩心的力矩一般并不相等。力矩一般并不相等。力矩概念是从力矩概
3、念是从实践中践中总结出来的，它表示力使物体出来的，它表示力使物体绕某点某点转动的效果。的效果。如如图3-2所示。所示。力矩的力矩的单位：牛位：牛顿.米（米（N.m)图3-1图3-2AOFh第3页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 二、合力矩定理：二、合力矩定理：设刚体受到某一平面力系的作用。此力系由力体受到某一平面力系的作用。此力系由力 Fl、FZ、Fn 组成，其合力成，其合力为 R。在平面内任。在平面内任选一点一点 O 作作为矩心，合力矩心，合力 R 与与各分力各分力 Fi(i=1、2、n）的力矩均可按
4、式（）的力矩均可按式（3-1)计算。由于合算。由于合力与整个力系等效，故力与整个力系等效，故 合力合力对点点O的矩，的等于各分力的矩，的等于各分力对点点O之矩的之矩的代数和。代数和。即作用于同一点的两个力的合力即作用于同一点的两个力的合力对一点（或一点（或轴）之矩等于）之矩等于这两个分力两个分力对同一点（或同一点（或轴）之矩的矢量和（或代数和）之矩的矢量和（或代数和）MO(FR)=MO(F1)+MO(F2)+MO(Fn)=MO(Fi)第4页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 三、力矩的三、力矩的计算算 力
5、矩可用式（力矩可用式（3-1）计算。若力臂算。若力臂 h 不易求出，也可用式（不易求出，也可用式（3-2）即合力矩定理）即合力矩定理计算。算。例例 3-1 图 3-3a 所示的所示的圆柱柱齿轮，受到法向力，受到法向力 Fn的作用。的作用。设 Fn=700N，压力角力角 a=20，齿轮的的节圆半径半径 r =80mm，试计算力算力 Fn对轴 O 的矩。的矩。解：此力矩可用两种方法解：此力矩可用两种方法计算：算：(1）根据力矩的定）根据力矩的定义求解求解 由由图 a 可可见，力臂，力臂 h=r cosa，故由式（，故由式（3-1）可得）可得 MO(Fn)=Fnh=Fn rcos a =700 x
6、0.08cos 20=52.62Nm 因力因力 Fn使使齿轮逆逆时针转动，故力矩，故力矩 MO(Fn）为正正值。图 3-3第5页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础 CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 解：此力矩可用两种方法解：此力矩可用两种方法计算：算：(2）用合力矩定理求解）用合力矩定理求解 由由图 a 可可见，力臂，力臂 h=rcosa，故由式（，故由式（3-1）可得）可得 MO(Fn)=Fnh=Fn rcos a =700 x 0.08cos 20=52.62Nm 因力因力 Fn使使齿轮逆逆时针转动，故力矩，故力矩 MO(Fn）为正
7、正值。先将先将 Fn 分解分解为圆周力周力 Ft和径向力和径向力 Fr，由，由图 b 可可见 Ft=Fn cosa Fr=Fnsina 由式（由式（3-2）可得）可得 Mo(Fn)=Mo(Ft)+Mo(Fr)=Fncosa r十十 0 =700 cos200 0.08 =52.62Nm第6页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 图 3-4 例例 3-2 图 3-4 所示所示为一液一液压驱动的起重臂。已知尺寸的起重臂。已知尺寸 a、b、。和角度、。和角度 a，试求油缸液求油缸液压推推力力 F 对轴 O 和和铰
8、 B 的矩。的矩。解解:取坐取坐标系系xOy.(1）求力）求力 F 对 O 点的矩。将点的矩。将力力 F 沿坐沿坐标轴分解，由分解，由图可得可得 F=Fsina,Fy=Fcos a第7页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 由式（由式（3-2）可得）可得 Mo(F)=MO(Fx)+MO(Fy)=Fxb+Fya =F(bsina+acosa)(2）求力）求力 F 对点点 B 的矩。同理可得（注意分力的矩。同理可得（注意分力 Fx 通通过 B 点）点）MB(F)=MB(Fx)+MB(Fy)=0+(-Fyc）=-
9、Fccos a第8页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 3.2 力偶及其性质力偶及其性质两个同向平行力的合力两个同向平行力的合力 大小：大小：R=Q+P 方向：平行于方向：平行于Q、P且指向一致且指向一致 作用点：作用点：C处处 确定确定C点，由合力距定理点，由合力距定理一、力偶一、力偶 力偶力偶：两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。两力大小相等，作用线不重合的反向平行力叫力偶。性质性质1：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。：力偶既没有合力，本身又不平衡，是一个基本力学量。ABQC
10、BR=第9页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 图3-5图3-6图3-7 图3-5这样的两个反向的平行力并不的两个反向的平行力并不满足二力平衡条件，故在力偶的作用下，足二力平衡条件，故在力偶的作用下，刚体不能保持平衡（体不能保持平衡（虽然此二力的矢量和然此二力的矢量和为零）。零）。力偶不能力偶不能简化化为合力，即不能与一力等效。力偶只能改合力，即不能与一力等效。力偶只能改变刚体的体的转动状状态。如。如图3-6、图3-7、图3-8和和钥匙开匙开门等等.因力偶不能因力偶不能简化化为一力，故力偶也不能被一力所平
11、衡。力和力偶是静力一力，故力偶也不能被一力所平衡。力和力偶是静力学的两个基本要素。学的两个基本要素。第10页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 二、力偶矩二、力偶矩 由上由上节已知，力使物体已知，力使物体绕某点某点转动的效果用力矩来度量。同理，力偶使的效果用力矩来度量。同理，力偶使物体物体转动的作用效果，可由的作用效果，可由组成力偶的两力成力偶的两力对某一点的矩的代数和来度量。某一点的矩的代数和来度量。设刚体上作用有力偶（体上作用有力偶（F,F )，如，如图 3-9 所示。在所示。在图面内任取一面内任取一
12、点点 O 为矩心，由矩心，由图可可见 MO(F)=F(d+x)MO(F )-F x 式中式中 d 为力偶臂。力偶臂。因因 F 二二 F ，可得，可得 MO(F )-F,x=一一 Fx 图3-9ABOFF xd图3-9图3-8第11页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 故力偶（故力偶（F,F ）对矩心矩心 O 的矩的矩为 Mo(F)+Mo (F ）=F(d+x）一）一 Fx=Fd 上式右上式右边为正正值，说明两力矩的代数和使明两力矩的代数和使刚体逆体逆时针转动，与，与该力力偶偶驱使使刚体体转动的的转向一致。
13、上式向一致。上式说明：力偶明：力偶对其作用面内任意一点的其作用面内任意一点的矩矩为一恒定代数量，一恒定代数量，该量称量称为力偶矩，它表示力偶力偶矩，它表示力偶对物体物体转动的作用效的作用效果。果。由上述可知由上述可知:力偶矩是代数量，其力偶矩是代数量，其绝对值等于力偶中的一力的大小与力等于力偶中的一力的大小与力偶臂的乘偶臂的乘积，其正，其正负号确定如下：力偶使物体逆号确定如下：力偶使物体逆时针转动为正，反之正，反之为负。力偶力偶对其作用平面内任意其作用平面内任意 一点的矩恒等于力偶矩。用一点的矩恒等于力偶矩。用 M 表示力偶矩，可得表示力偶矩，可得 M=士士 Fd (3-3)力偶矩的力偶矩的单
14、位与力矩的位与力矩的单位相同。位相同。第12页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 三、力偶的性三、力偶的性质 作用在作用在刚体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等则两力偶等效。即只有两力偶等效。即只有M1=M2，两力偶等效。，两力偶等效。(a)(b)图 3-10第13页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 三、力偶的性三、力偶的性质 作用在作用在刚体内同一平面上的两
15、个力偶，只要两者的力偶矩相等体内同一平面上的两个力偶，只要两者的力偶矩相等则两力偶等效。即只有两力偶等效。即只有M1=M2，两力偶等效。，两力偶等效。由上述力偶等效的条件可以看出：由上述力偶等效的条件可以看出：(1）力偶可以在其作用面内任意）力偶可以在其作用面内任意转移，而不改移，而不改变它它对刚体的作用。体的作用。因因为这种种转移不改移不改变其力偶矩；其力偶矩；(2）只要保持力偶矩不）只要保持力偶矩不变，可以同，可以同时改改变力偶中力的大小和力偶臂力偶中力的大小和力偶臂的的长短，而不改短，而不改变力偶力偶对刚体的作用。体的作用。例如例如图 3-11 所示的方向所示的方向盘，司机，司机对它所施
16、加的力偶由（它所施加的力偶由（F,F ）变为（2F,2F ）时，只要将力偶臂同，只要将力偶臂同时减半，使方向减半，使方向盘转动的效果就不会的效果就不会变化。化。若将（若将（F,F ）改）改为（F1,F1）并保持）并保持 Fl=F，作用效果也不，作用效果也不变。第14页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 图 3-11 图 3-12 由此可由此可见，力偶中力的三要素和力偶臂，力偶中力的三要素和力偶臂长度都不是力偶的特征量，度都不是力偶的特征量，决定平面内力偶决定平面内力偶对刚体作用效果的唯一特征量是力偶矩体作
17、用效果的唯一特征量是力偶矩 M。作用在。作用在刚体上的力偶，可按体上的力偶，可按图 3-12 中的任一种方法来表示。中的任一种方法来表示。第15页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 3.3 平面力偶系的合成与平衡平面力偶系的合成与平衡 作用在作用在刚体上同一平面内的几个力偶称体上同一平面内的几个力偶称为平面力偶系。可以平面力偶系。可以证明，明，平面力偶系能与一个力偶等效，平面力偶系能与一个力偶等效，这个力偶称个力偶称为该平面力偶系的合力偶，平面力偶系的合力偶，合力偶矩等于力偶系中各力偶矩的代数和。合力偶矩
18、等于力偶系中各力偶矩的代数和。用用 M 表示合力偶矩，用表示合力偶矩，用 Ml、MZ、Mn 表示力偶系中的各力偶表示力偶系中的各力偶矩，矩，则有有 M M (3 一一 4)由上述由上述结果可知，平面力偶系平衡的必要和充分的条件是各力果可知，平面力偶系平衡的必要和充分的条件是各力偶矩的代数和偶矩的代数和为零，即零，即 Mi=0 (3 一一 5)用式（用式（3-5）可以解决平面力偶系的平衡）可以解决平面力偶系的平衡问题，其解，其解题步步骤与与 2 一一 4 中所述步中所述步骤类似。似。第16页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车
19、教车教 研研 室室 例例 3-3 用端面用端面铣刀加工刀加工连杆的端面，如杆的端面，如图 3-3 所示。所示。连杆在杆在图面面内受到矩内受到矩为 M1=l00N m 的切削力偶的作用。的切削力偶的作用。连杆大杆大头的孔套在固定的孔套在固定心心轴 O 上，小上，小头靠在固定靠在固定挡销 A 上以防止上以防止连杆在杆在图面内面内转动。若不加。若不加夹紧并忽略摩擦，且已知并忽略摩擦，且已知l=200mm。试求心求心轴与与挡销所受的横向力。所受的横向力。图 3 一一 13第17页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室
20、 解解:以以连杆杆为研究研究对象。它在象。它在图面内受面内受给定的切削力偶矩定的切削力偶矩 M1作用。作用。挡销为光滑面，其光滑面，其约束力束力为 NA；心；心轴可可视为固定支座。由于力偶只能被力固定支座。由于力偶只能被力偶所平衡，故心偶所平衡，故心轴的的约束力束力 NO 必与必与 NA 构成一力偶，从而可知构成一力偶，从而可知 No 的方的方向向下，且向向下，且 No=NA。连杆的受力杆的受力图如如图所示。所示。连杆在杆在图面内受平面力面内受平面力偶系作用。由式（偶系作用。由式（3-5）可得）可得 M O，一，一 MI+NAl=0 N0=NA=M/l=100/0.2=500N 由力的作用和反
21、作用定律，可知心由力的作用和反作用定律，可知心轴与与挡销均受到均受到 50ON 的横向力，其指的横向力，其指向分向分别与与图中中 No 和和 NA 相反。相反。这些力将使心些力将使心轴和和挡销发生生变形甚至形甚至损坏，故加坏，故加工工时连杆必杆必须夹紧。NANO第18页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 习题 3-1 如如图所示，构件上作用有力所示，构件上作用有力 F。设 F、l 和和 均已知。均已知。试求：求：(1）若）若 1 已知，求已知，求 F 对点点 O 的矩；的矩；(2)多大多大时此力矩最大，最
22、大此力矩最大，最大值等于多少？等于多少？(3)1多大多大时，此力矩，此力矩为零？零？题 3 一一 1 图第19页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 习题 3 一一 2 试求求图中力中力 F 对点点 A 和点和点 B 的矩。已知的矩。已知 F=50N，图中中长度度单位位为 cm。题 3 一一 2 图?第20页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室?思考题思考题-第三章第三章 3-1 3-1矩心到力作用点的距离等于力臂矩心到
23、力作用点的距离等于力臂吗？力的作用点沿作用？力的作用点沿作用线移移动时，其力矩是否改，其力矩是否改变？3-2 3-2 比比较力矩与力偶矩的异同。力矩与力偶矩的异同。3-3 3-3 比比较力偶与力偶矩的异同。力偶与力偶矩的异同。3-5 3-5对于于变形体，力偶能否在作用面内任意搬移；形体，力偶能否在作用面内任意搬移；为什么？什么？3-6 3-6 拧旋旋钮时，手指，手指对旋旋钮施加的力偶由两个什么力施加的力偶由两个什么力组成？成？为什么旋什么旋钮外面有花外面有花纹？3-4 3-4 既然一力不能与一力偶平衡，那么既然一力不能与一力偶平衡，那么为什么什么图 3-14 3-14 所示的所示的绞车鼓鼓轮，
24、它在力偶，它在力偶 M M 和和绳的拉力的拉力 G G 的作用下，能匀速提升的作用下，能匀速提升该重物？重物？第21页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室?思考题思考题-第三章第三章 3-4 3-4 既然一力不能与一力偶平衡，那么既然一力不能与一力偶平衡，那么为什么什么图 3-14 3-14 所示的所示的绞车鼓鼓轮，它在力偶，它在力偶 M M 和和绳的拉力的拉力 G G 的作用下，的作用下，能匀速提升能匀速提升该重物？重物？图 3-14第22页，共23页，编辑于2022年，星期二 机械基础机械基础CAICAI课件课件汽汽 车车 学学 院院 汽汽 车教车教 研研 室室 作作业：思考：思考题 3-2、例、例3-1第23页，共23页，编辑于2022年，星期二