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1、判断点判断点K是否在线段是否在线段AB上？上？a b k 因因k 不在不在a b 上，上，故点故点K不在不在AB上。上。应用定比定理应用定比定理abka b k 另一判断法是另一判断法是因因a k:k b ak:kb 故点故点K不在不在AB上。上。3.3.1 两直线平行两直线平行投影特性：投影特性：空间两直线平行，则其各空间两直线平行，则其各同面投影同面投影必相互平行必相互平行，反之亦然。，反之亦然。3.3两直线的相对位置两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为：空间两直线的相对位置分为：平行、相交、交叉。平行、相交、交叉。abcda b c d 判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否
2、平行。对于一般位置直对于一般位置直线，只要有两个同名线，只要有两个同名投影互相平行，空间投影互相平行，空间两直线就平行。两直线就平行。结论：结论：AB/CDXcbadd b a c b d c a 对于投影面平行线，只对于投影面平行线，只有两个同面投影互相平行，有两个同面投影互相平行，空间直线不一定平行。若用空间直线不一定平行。若用两个投影判断，其中应包括两个投影判断，其中应包括反映实长的投影。反映实长的投影。结论结论:AB:AB与与CDCD不平行不平行判断图中两条直线是否平行。判断图中两条直线是否平行。求出侧面投影求出侧面投影如何判断如何判断HVXABCDabcda b c d abcdb
3、a c d 3.3.2 3.3.2 两直线相交两直线相交判别方法：判别方法：若空间两直线相交，若空间两直线相交，则其同名投影必相则其同名投影必相交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。交，且交点的投影必符合空间一点的投影规律。kk 交点是两直线交点是两直线的共有点的共有点k kKcabb a c d k kd过过C点点作水平线作水平线CD与与AB相交。相交。先作正面投影先作正面投影12d b a abcdc1(2 )3(4)3.3.3 两直线交叉两直线交叉 同名投影可能相交，同名投影可能相交，但但“交点交点”不符合空间不符合空间一个点的投影规律。一个点的投影规律。“交点交点”是两直线上是两直
4、线上的一的一 对对重影点的投影，重影点的投影，用其可帮助判断两直线用其可帮助判断两直线的空间位置。的空间位置。1、2 是面的重影点，是面的重影点，3、4是是H面的重影点。面的重影点。3 4 AB与与CD两直线相交吗两直线相交吗投影特性：投影特性：结论：结论：AB与与CD两直线不相交两直线不相交 3.当两直线中有一直线平行于某投影面时，如果夹角是直角，则它在该投影面上的投影仍然是直角是直角。-直角投影定理直角投影定理两直线的夹角，其投影有下列三种情况：两直线的夹角，其投影有下列三种情况：1.当两直线都平行平行于某投影面时，其夹角在该投影面上的投影反映实形反映实形。2.当两直线都不平行不平行于某投
5、影面时，其夹角在该投影面上的投影一般不反映实形不反映实形。3.4 3.4 3.4 3.4 直角投影定理直角投影定理直角投影定理直角投影定理 若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面若直角有一边平行于投影面，则它在该投影面上的投影仍为直角。上的投影仍为直角。设直角边设直角边BC/H面面因因BCAB,同时同时BCBb所以所以BCABba平面平面结论结论:直线在直线在H面上面上的投影互相垂直的投影互相垂直即即abc为直角为直角因此因此 bcab故故bc ABba平面平面又因又因BCbcABCabcH证明：证明：d abca b c d例例4：过：过C点作直线与点作直线与AB垂直相交。垂直相交。.AB
6、为正平线为正平线,正面正面投影反映直角。投影反映直角。2.求作求作AB、CD交叉线的公垂线交叉线的公垂线。abcdabcdsss s空间分析：1）因为AB为正垂线正垂线，所以SN必为正平线正平线。2）由于SN为正平线正平线，根据 直角投影定理则SNSN CDCD 必有snsn cdcd n nVDCABSN投影nn正平线直角投影定理-(解题演示解题演示)直角投影定理-(解题演示解题演示)3.已知矩形已知矩形ABCD的顶点的顶点C在直线在直线EF上，上，试补全此矩形的投影。试补全此矩形的投影。aebfabfcdecd分析：分析：ABCDEF作图步骤：过b作直线与ab垂直，并交ef于c；用几何作图
7、法作平行四边形，补全矩形 ABCD的两面投影。投影特点：AB为正平线，则 ab bc。矩形对边平行，则投影仍然平行。方法是：以线段在某一投影面上的投影长为一直角边，两端点与这个投影面的距离差为另一直角边形成的直角三角形。其斜边是线段的实长，斜边与投影长的夹角就是该直线与这个投影面的倾角。VHX0ZYWbababaAB X0ZYWYHbababa在正面投影上求线段实长与倾角在水平投影上求线段实长与倾角在侧面投影上求线段实长与倾角实长实长实长实长实实长长 3.5 直角三角形法Bo直角三角形求线段实长及其与投影面的倾角中的三个三角形 设所求线段为AB 在三个直角三角形中，斜边为线段实长；一个直角边为
8、某投影长，该投影与斜边的夹角为该直线与投影面的夹角；夹角所对的边为线段两端点相应的坐标差。AB线段实长ZABab的长AB线段实长XABa b 的长 AB线段实长YABa b 的长例1 已知线段的实长AB，求它的水平投影。aAB 根据已知条件，要求得ab，其方法一是求得A、B两点的Y坐标差(YAB)；方法二是求得ab的长。此题有两解(多解时一般只画一解）bxaobABbxaobABbxaoba bA B方法二 已知线段的实长AB，求它的水平投影。aAB此题有两解bxaob解法二方法三：求出ab的长ABbxaobABxabABBaZAB12以AB两点的Z坐标差为一直角边的直角三角形中，另一直角边为
9、AB水平投影ab的长。即：12=ab ZAB例例2 2 已知直线已知直线ABAB的的=30=30 求作求作ABAB的正面投影。的正面投影。oxababZAB301.分析要求得ab，其实就是求b；要求得b也就是想办法找到A、B两点的Z坐标差或者求出ab的长。B02.作图1）作abB0,使=30A的对边为ZAB2）过a作直线平行于Ox轴，与过b而垂直于ox轴的直线交于一点b0 3）以b0为圆心以ZAB为半径画圆弧，交bb0的延长线于点b4）用直线连接ab即为所求。b0oxaabkbcd6820dc6820k例3 已知CDAB=K，CDH，求CD的正面投影。求k同前。由于CDH所以cdox轴。直角投影定理-(解题演示解题演示)1.求A点到CD的真实距离。acdcadzC-zD作图步骤：1）过A作直线ASCD；（此时AS为一般位置直线）2）应用直角三角形法求 AS的实长；sss sAS关键步骤分析:设A点到CD的距离为AS必有ASCD CD为正平线 as cd由此可求出AS的两面投影。