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1、第一篇第一篇 力力 学学 3.1 3.1 3.1 3.1 质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理质点的动量定理一、动量定理我们从牛顿第二定律出发讨论力对时间的累积效果。我们从牛顿第二定律出发讨论力对时间的累积效果。动量定理的动量定理的微分微分形式形式定义了力在定义了力在dtdt时间内的时间内的冲量冲量质点在质点在dtdt时间内所受到的合外力的冲量时间内所受到的合外力的冲量等于质点在等于质点在dtdt时间内动量的增量。时间内动量的增量。当力持续了一段有限时间当力持续了一段有限时间(从从t1t1到到t2)t2)后后等式左边定义了等式左边定义了从从t1t1到到t2t2时间时间内力内力的的冲量冲量
2、I I第一篇第一篇 力力 学学 动量定理动量定理 合外力在给定的时间间隔内产生的冲量，等于质点在同合外力在给定的时间间隔内产生的冲量，等于质点在同一时间段内动量的增量。一时间段内动量的增量。说明说明动量定理的动量定理的积分积分形式形式1 1 动量定理说明了冲量和质点运动状态改变动量定理说明了冲量和质点运动状态改变(动量的改变动量的改变)的关系。的关系。2 2 冲量是由力和作用时间两个因素决定。冲量是由力和作用时间两个因素决定。利用冲力：增大冲力，减利用冲力：增大冲力，减小作用时间小作用时间冲床冲床避免冲力：减小冲力，增避免冲力：减小冲力，增大作用时间大作用时间轮船靠岸轮船靠岸时的缓冲时的缓冲
3、第一篇第一篇 力力 学学 说明说明当力是当力是恒定不变恒定不变的时候，就变成了中学的公式。的时候，就变成了中学的公式。当力是当力是变力变力时，就需要小心了。时，就需要小心了。例子例子1 1：某力随时间：某力随时间t t的表达式为的表达式为F(t)=3ti+t2j，试写出，试写出t=0t=0秒到秒到t=1t=1秒时间段内的冲量。秒时间段内的冲量。3 3 冲量是一个冲量是一个矢量矢量。方向？方向？F(xF(x)F(vF(v)可以吗？可以吗？例子例子2 2：质量：质量m m的质点以速率的质点以速率v v在水平面内做匀速圆周运动，求向心在水平面内做匀速圆周运动，求向心力在质点转过力在质点转过1/41/
4、4圆弧时间内的冲量。圆弧时间内的冲量。直接求吗？直接求吗？第一篇第一篇 力力 学学 说明说明4 4 当有多个外力作用，求当有多个外力作用，求合外力合外力的冲量的冲量t1F0tt2dtF(t)5 5 几何表示力的冲量几何表示力的冲量第一篇第一篇 力力 学学 在碰撞问题中，物体所受的力在碰撞问题中，物体所受的力(冲力冲力)随随时间变化很快，为了估算冲力大小，可以时间变化很快，为了估算冲力大小，可以引入引入平均冲力平均冲力的概念。的概念。平均冲力的冲量平均冲力的冲量 =真实冲力的冲量真实冲力的冲量以冲力在以冲力在x轴的分量轴的分量F为例为例二、平均冲力实验上很难测出冲力，往往是利用实验上很难测出冲力
5、，往往是利用动量定理来计算动量定理来计算平均冲力平均冲力的。的。第一篇第一篇 力力 学学 例例1 1、如图如图,质量为质量为2.5g2.5g的乒乓球以的乒乓球以20m/s20m/s的速率飞来，被板推挡后，又以的速率飞来，被板推挡后，又以10m/s10m/s的速率飞出，如果必须考虑板与球间的摩擦力。设两速度在垂直于的速率飞出，如果必须考虑板与球间的摩擦力。设两速度在垂直于板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为板面的同一平面内，且它们与板面法线的夹角分别为4545度和度和3030度，求：度，求：（1 1）乒乓球得到的冲量；（）乒乓球得到的冲量；（2 2）若撞击时间为）若撞击时间为0.01s
6、0.01s，求板施于球的平均，求板施于球的平均冲力冲力F F的大小和方向。的大小和方向。45o 30o nv2v1Oxy解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，解：取挡板和球为研究对象，由于作用时间很短，忽略重力影响。由动量定理：忽略重力影响。由动量定理：代入已知数据，计算得到冲量和力的分量：代入已知数据，计算得到冲量和力的分量：方向用与方向用与x x夹角表示：夹角表示：板子倾斜板子倾斜怎么做？怎么做？第一篇第一篇 力力 学学 例例2 2、圆锥摆，小球质量圆锥摆，小球质量m m，绳子长度，绳子长度l l，与竖直方向成，与竖直方向成角，角速度为角，角速度为，求拉力在小球运动完二分之一圆弧过程
7、中的冲量。，求拉力在小球运动完二分之一圆弧过程中的冲量。利用动量定理利用动量定理OAxyz第一篇第一篇 力力 学学 3.2 3.2 3.2 3.2 质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系的动量定理质点系也有一个形式简洁的动量定理。我们验证如下：质点系也有一个形式简洁的动量定理。我们验证如下：全部相加全部相加每一个质点的动量定理每一个质点的动量定理质点系质点系 由多个质点组成的系统称为质点系。由多个质点组成的系统称为质点系。内力与外力内力与外力 质点受到质点系以外施加的力称为外力，受到的质点质点受到质点系以外施加的力称为外力，受到的质点系内其它质点施加的力称为内力。系内其它质点施
8、加的力称为内力。质点系动量的增量。质点系动量的增量。第一篇第一篇 力力 学学 质点系的内力实际上是质点系的内力实际上是作用力作用力与与反作用力反作用力，所以内力求和，所以内力求和为零为零。全部相加全部相加接下来化简等号左边力的求和形式接下来化简等号左边力的求和形式质点系动量定理质点系动量定理质点系所受合外力的冲量等于系统内质点动量之和的增量，即质点系质点系所受合外力的冲量等于系统内质点动量之和的增量，即质点系总动量的增量总动量的增量。第一篇第一篇 力力 学学 例例1 1、木板木板B B静止置于水平台面上，小木块静止置于水平台面上，小木块A A放在放在B B板的一端上，如图所示。板的一端上，如图
9、所示。已知已知mAmA=0.25kg=0.25kg，mBmB=0.75kg=0.75kg，小木块，小木块A A与木板与木板B B之间的摩擦因数之间的摩擦因数u1=0.5u1=0.5，木板木板B B与台面间的摩擦因数与台面间的摩擦因数u2=0.1u2=0.1。现在给小木块。现在给小木块A A一向右的水平初速度一向右的水平初速度v0=40m/sv0=40m/s，问经过多长时间，问经过多长时间A A、B B恰好具有相同的速度？恰好具有相同的速度？(设设B B板足够长。板足够长。)列出列出ABAB系统的动量定理：系统的动量定理：可解出末速度可解出末速度再列出再列出A A的动量定理的动量定理时间时间第一
10、篇第一篇 力力 学学 3.3 3.3 3.3 3.3 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律说明说明1 1 质点系总动量守恒，但系统中质点系总动量守恒，但系统中各质点动量可以改变各质点动量可以改变。动量通过内力在系统内重新分配，一个质点的动量减少动量通过内力在系统内重新分配，一个质点的动量减少一定等于其余质点动量的增加。一定等于其余质点动量的增加。2 2 守恒条件守恒条件F=0F=0很严格，真实系统在碰撞与爆炸过程中可很严格，真实系统在碰撞与爆炸过程中可以认为系统总动量守恒。以认为系统总动量守恒。一、动量守恒定律 当质点系所受合外力为零时当质点系所受合外力为零时(或合外力的冲量为零或
11、合外力的冲量为零)，系统的总动，系统的总动量保持不变。量保持不变。第一篇第一篇 力力 学学 3.3 3.3 3.3 3.3 动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律动量守恒定律说明说明3 3 动量守恒是动量守恒是矢量矢量式子。式子。如果合外力不为零，但是某一个方向上的分量为零，那么在这一个如果合外力不为零，但是某一个方向上的分量为零，那么在这一个方向上也有动量的分量保持守恒。方向上也有动量的分量保持守恒。4 4 动量守恒只对动量守恒只对惯性系惯性系成立，是物理学中最普遍、最基本的定律之一。成立，是物理学中最普遍、最基本的定律之一。第一篇第一篇 力力 学学 例例1 1、质量为质量为m1m1的小球的小
12、球A A以速度以速度v0v0沿着沿着x x轴正方向运动，与另一质量为轴正方向运动，与另一质量为m2m2的的静止小球静止小球B B在水平面内碰撞，碰后球在水平面内碰撞，碰后球A A沿着沿着y y轴正方向运动，轴正方向运动，B B的运动方向的运动方向与与x x轴成轴成角度，如图所示。求角度，如图所示。求(1)(1)碰撞后碰撞后ABAB的速率为多少？的速率为多少？(2)(2)若碰撞时间为若碰撞时间为tt，求，求A A受到的平均冲力？受到的平均冲力？第一篇第一篇 力力 学学 选选ABAB球为系统，在水平面内不受外力，系统动量守恒，在球为系统，在水平面内不受外力，系统动量守恒，在水平面内建立水平面内建立
13、XYXY系，列出两个轴上的动量守恒式子：系，列出两个轴上的动量守恒式子：要求要求A A球所受冲力，可以球所受冲力，可以A A球的动量定理即可。列出球的动量定理即可。列出两个轴上的动量定理：两个轴上的动量定理：第一篇第一篇 力力 学学 例例2 2、如图所示，一轻绳悬挂质量为如图所示，一轻绳悬挂质量为m1m1的的沙袋静止下垂，沙袋静止下垂，质量为质量为m2m2的的子弹子弹以速率以速率v0v0和竖直方向和竖直方向成成角角射入沙袋不再出来，求子弹与沙袋一起开始射入沙袋不再出来，求子弹与沙袋一起开始运动时的速度。运动时的速度。m1 m2m1 m2系统是否有动量守恒？系统是否有动量守恒？分析受力情况。分析
14、受力情况。第一篇第一篇 力力 学学 二、碰撞过程中的动量守恒 两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续一个极短暂的时间两个或两个以上的物体相遇，且相互作用持续一个极短暂的时间碰撞碰撞。物体间的相互作用是突发性，持续时间极短。作用力峰值极大，。物体间的相互作用是突发性，持续时间极短。作用力峰值极大，碰撞碰撞符合动量守恒定律符合动量守恒定律的适用条件。碰撞过程中物体会的适用条件。碰撞过程中物体会产生形变产生形变。完全弹性碰撞：完全弹性碰撞：系统动能守恒系统动能守恒非完全弹性碰撞：非完全弹性碰撞：系统动能不守恒系统动能不守恒完全非弹性碰撞：完全非弹性碰撞：系统以相同的速度运动系统以相同的速度运动接触
15、阶段：接触阶段：两球对心接近运动两球对心接近运动形变产生阶段：形变产生阶段：两球相互挤压，最后两球速度相同两球相互挤压，最后两球速度相同(动能转变为势能动能转变为势能)形变恢复阶段：形变恢复阶段：在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动在弹性力作用下两球速度逐渐不同而分开运动(势能转势能转 变为动能变为动能)分离阶段：分离阶段：两球分离，各自以不同的速度运动两球分离，各自以不同的速度运动第一篇第一篇 力力 学学 为了描述为了描述质点相对于某一定点做转动质点相对于某一定点做转动的惯性或则说转动效果时，用的惯性或则说转动效果时，用动动量描述来描述是不方便的。量描述来描述是不方便的。必须必须入新物理
16、量：入新物理量：角动量。角动量。定义：定义：假设假设质量质量为为m的的质点质点，在某一时刻相对参考点，在某一时刻相对参考点O的的位置矢量为位置矢量为 r，速度速度为为v，则相对则相对O点的角动量点的角动量L是是该质点位置矢量与动量的矢量积该质点位置矢量与动量的矢量积。3.4 3.4 3.4 3.4 角动量角动量角动量角动量 质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理质点的角动量定理一、质点的角动量mO rP=mvL角动量的角动量的大小：大小：方向：方向：右手螺旋定则右手螺旋定则Angular Momentum第一篇第一篇 力力 学学 说明：说明：1 角动量是物理学的一个角动量是物理学的一
17、个基本概念基本概念，甚至被作为微观粒子，甚至被作为微观粒子(电子、中子电子、中子和质子等和质子等)的固有属性。的固有属性。2 角动量角动量不仅与不仅与质点质点运动情况有关，还运动情况有关，还与参考点与参考点O有关有关。v LrO作圆周运动质点的角动量作圆周运动质点的角动量作直线运动质点的角动量作直线运动质点的角动量v LrOd第一篇第一篇 力力 学学 二、力矩外力对物体转动的影响，与力的外力对物体转动的影响，与力的大小大小、方向方向和和作用点作用点的位置有关。的位置有关。力通过转轴：力通过转轴：转动状态转动状态 不改变不改变 力离转轴远：力离转轴远：容易改变容易改变 力离转轴近：力离转轴近：不
18、易改变不易改变定义：定义：假设在某一时刻力的作用点相对参考点假设在某一时刻力的作用点相对参考点O的的位置矢量为位置矢量为 r，则相则相对对O点的点的力矩力矩M是力的作用点是力的作用点位置矢量位置矢量r与与力力F的矢量积的矢量积。mo rFz d力矩的力矩的大小：大小：方向：方向：右手螺旋定则右手螺旋定则当质点受到几个力时，求合力矩当质点受到几个力时，求合力矩?第一篇第一篇 力力 学学 如图所示圆锥摆，摆锤质量为如图所示圆锥摆，摆锤质量为m，摆长为，摆长为l，圆半径为，圆半径为r，角速度为，角速度为，讨论摆锤以讨论摆锤以A和和B两点为参考点的力矩和角动量两点为参考点的力矩和角动量AB第一篇第一篇
19、 力力 学学 三、质点的角动量定理考虑角动量的变化率考虑角动量的变化率可得可得第二项第二项上面式子中第一项上面式子中第一项质点的角动量定理质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受合外力矩等于质点角对同一参考点，质点所受合外力矩等于质点角动量对时间的变化率。成立条件：惯性系动量对时间的变化率。成立条件：惯性系所以所以微分形式微分形式第一篇第一篇 力力 学学 我们可以考虑一段时间内质点转动状态的变化我们可以考虑一段时间内质点转动状态的变化质点的角动量定理：质点的角动量定理：对同一参考点，质点所受合外力的冲量矩等于对同一参考点，质点所受合外力的冲量矩等于质点角动量的增量。质点角动量的增量。积分形式积
20、分形式冲量矩冲量矩对比一下动量与角动量、动量定理与角动量定理。对比一下动量与角动量、动量定理与角动量定理。第一篇第一篇 力力 学学 3.5 3.5 3.5 3.5 角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律角动量守恒定律质点所受的合外力矩为零，两种情况：质点所受的合外力矩为零，两种情况：a a、质点所受的外力为零、质点所受的外力为零 匀速直线运动匀速直线运动。b b、外力不为零，合力矩为零、外力不为零，合力矩为零 在在向心力向心力的作用下的曲线运动，的作用下的曲线运动，质点质点对力心对力心的角动量都是守恒的。的角动量都是守恒的。角动量守恒定律角动量守恒定律 当质点所受的对参考点当质点所受的对参
21、考点O的的合外力矩为零合外力矩为零时，则质点对该时，则质点对该参考点的角动量为一恒矢量参考点的角动量为一恒矢量(保持守恒保持守恒)。rLv第一篇第一篇 力力 学学 说明说明 1 角动量守恒要求角动量的角动量守恒要求角动量的大小不变大小不变而且而且方向也不能改变方向也不能改变。例如地球绕太阳的旋转。例如地球绕太阳的旋转。2 合外力矩如果在合外力矩如果在某一个方向上为零某一个方向上为零，则在那个方向上也有角，则在那个方向上也有角动量动量分量保持守恒分量保持守恒。第一篇第一篇 力力 学学 例题例题1 1 我国第一颗人造卫星绕地球沿着椭圆型轨道运动，地球的中心为我国第一颗人造卫星绕地球沿着椭圆型轨道运
22、动，地球的中心为椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径为椭圆的一个焦点，如图所示。已知地球的平均半径为R R=6378km=6378km，人造卫，人造卫星距离地面最近距离星距离地面最近距离l l1 1=439km=439km，最远距离，最远距离l l2 2=2384km=2384km，若卫星在近地点，若卫星在近地点A A速度为速度为v vA A=8.1km/s=8.1km/s，求在远地点的速度。，求在远地点的速度。AB以地心为参考点，卫星所受的合外力矩以地心为参考点，卫星所受的合外力矩为零，有角动量守恒：为零，有角动量守恒：第一篇第一篇 力力 学学 3.6 3.6 3.6 3.6 质点系
23、的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量定理质点系的角动量质点系的角动量 系统内每一个质点角动量的矢量和。系统内每一个质点角动量的矢量和。内力矩和外力矩内力矩和外力矩 质点受到外力的力矩称为外力矩，受到的质点系内其它质点施质点受到外力的力矩称为外力矩，受到的质点系内其它质点施加的力的力矩称为内力矩。加的力的力矩称为内力矩。质点系的角动量定理质点系的角动量定理 对同一参考点，作用于质点系的外力矩之和等于对同一参考点，作用于质点系的外力矩之和等于质点系的角动量对时间的变化率。质点系的角动量对时间的变化率。微分形式微分形式一、质点系的角动量定理第一篇第一篇 力力 学学 质点系角
24、动量定理的质点系角动量定理的积分形式积分形式合外力矩的冲量矩等于质点合外力矩的冲量矩等于质点系角动量的增量。系角动量的增量。二、质点系的角动量守恒如果作用于质点系的如果作用于质点系的合外力矩为零合外力矩为零，那么，那么质点系角动量守恒质点系角动量守恒。角动量守恒是力学中角动量守恒是力学中最重要的最重要的定律之一。定律之一。第一篇第一篇 力力 学学 例例1 1、如图所示，一轻绳悬挂质量为如图所示，一轻绳悬挂质量为m1m1的的沙袋静止下垂，沙袋静止下垂，质量为质量为m2m2的的子弹子弹以速率以速率v0v0和竖直方向和竖直方向成成角角射入沙袋不再出来，求子弹与沙袋一起开始射入沙袋不再出来，求子弹与沙
25、袋一起开始运动时的速度。运动时的速度。m1 m2m1 m2系统是否有角动量守恒？系统是否有角动量守恒？分析受力情况。分析受力情况。第一篇第一篇 力力 学学 例例2 2、两个质量为两个质量为60kg60kg的滑冰者，在相距为的滑冰者，在相距为10m10m的平直跑道上以的平直跑道上以6.5m/s6.5m/s的的速率沿相反方向滑行。当他们之间的距离恰好是速率沿相反方向滑行。当他们之间的距离恰好是10m10m时，他们分别抓住了时，他们分别抓住了一根质量可忽略长度正好一根质量可忽略长度正好10m10m的绳子。求的绳子。求（1 1）他们刚抓住绳子的那一时刻相对于绳子中点的角动量。）他们刚抓住绳子的那一时刻
26、相对于绳子中点的角动量。（2 2）两人都用力拉绳子，当他们之间距离缩短为）两人都用力拉绳子，当他们之间距离缩短为5m5m时，各自的速率为多时，各自的速率为多大？大？（3 3）求此时绳中的拉力？）求此时绳中的拉力？甲甲乙乙10m10m第一篇第一篇 力力 学学 以绳子中点为参考点，甲乙组成的系统角动量以绳子中点为参考点，甲乙组成的系统角动量甲甲乙乙10m10m同一参考点，甲乙组成的系统角动量守恒同一参考点，甲乙组成的系统角动量守恒拉力正好是向心力，有拉力正好是向心力，有第一篇第一篇 力力 学学 例例3：一质量为：一质量为m 的质点在的质点在XOY平面内运动，质平面内运动，质点的位置矢量是，点的位置矢量是，a,b,是正的常数，且是正的常数，且a b。(1)证明该质点沿着椭圆轨道运动。证明该质点沿着椭圆轨道运动。(2)试用具体计算来表明质点在运动过程中角动试用具体计算来表明质点在运动过程中角动量守恒。量守恒。