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1、2023/3/5组合组合（二）（二）2023/3/5复习复习组合数计算公式组合数计算公式 一般地，从一般地，从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素并个元素并成一组，叫做从成一组，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的一个个元素的一个组合组合.从从n个不同元素中取出个不同元素中取出m(mn)个元素的所有组合个元素的所有组合的个数，叫做从的个数，叫做从n个不同元素中取出个不同元素中取出m个元素的组合个元素的组合数。用符号数。用符号 表示表示例例例例 在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从在歌手大奖赛的文化素质测试中，选手需从在歌手大奖
2、赛的文化素质测试中，选手需从5 5 5 5个试个试个试个试题中任意选题中任意选题中任意选题中任意选3 3 3 3题，问题，问题，问题，问（1 1 1 1）有几种不同的选题方法？）有几种不同的选题方法？）有几种不同的选题方法？）有几种不同的选题方法？（2 2）若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法）若有一道题是必答题，有几种不同的选题方法？问题问题1：为何上面两个不同的组合数其结果相同？为何上面两个不同的组合数其结果相同？怎样对这一结果进行解释？怎样对这一结果进行解释？从从1010个元素中取出个元素中取出7 7个元素后，还剩下个元素后，还剩下3 3个元素，个元素，就是说，从就是说，从1010个
3、元素中每次取出个元素中每次取出7 7个元素的一个组个元素的一个组合，与剩下的合，与剩下的(10-7)(10-7)个元素的组合是一一对应的。个元素的组合是一一对应的。因此，从因此，从1010个元素中取个元素中取7 7个元素的组合，与从这个元素的组合，与从这1010个元素中取出个元素中取出(10-7)(10-7)个元素的组合是相等的个元素的组合是相等的2023/3/5问题问题2:2:一一般般地地，从从n n个个不不同同元元素素中中取取出出m m个个元元素素后后，剩剩下下n n m m个个元元素素因因为为从从n n个个不不同同元元素素中中取取出出m m个个元元素素的的每每一一个个组组合合，与与剩剩下
4、下的的n n m m个个元元素素的的每每一一个个组组合合一一一一对对应应，所所以以从从n n个个不不同同元元素素中中取取出出m m个个元元素素的的组组合合数数，等等于于从从这这n n个个元元素素中中取取出出n n m m个元素的组合数个元素的组合数.组合数性质组合数性质1：说明：说明：2、为了使性质为了使性质1在在mn时也能成立，规定时也能成立，规定1 1、为简化计算，当、为简化计算，当m 时，通常将计算时，通常将计算 改改为计算为计算 证明证明2023/3/5组合数性质组合数性质2引例引例一个口袋内装有大小相同的一个口袋内装有大小相同的7 7个白球和个白球和1 1个黑球个黑球从口袋里取出从口
5、袋里取出3 3个球，共有多少种取法？个球，共有多少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，使其中含有一个黑球，有多个球，使其中含有一个黑球，有多少种取法？少种取法？从口袋里取出从口袋里取出3 3个球，使其中不含黑球，有多少种个球，使其中不含黑球，有多少种取法？取法？从引例中可以发现一个结论：从引例中可以发现一个结论：对上面的发现对上面的发现(等式等式)作怎样解释？作怎样解释？组合数性质组合数性质2组合数性质组合数性质2：证明证明说明：说明：1 1、公式特征：下标相同而上标差、公式特征：下标相同而上标差1 1的两个组合数的两个组合数之和，等于下标比原下标多之和，等于下标比原下标多1 1而上标与原组合数而上标与原组合数上标较大的相同的一个组合数上标较大的相同的一个组合数 2 2、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今、此性质的作用：恒等变形，简化运算在今后学习后学习“二项式定理二项式定理”时，我们会看到它的主要时，我们会看到它的主要应用应用 例例 计算计算例例 证明证明