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1、一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法二、定积分的分部积分法 Formula for Integration by Substitution微微积积分分电电子子教教案案ab xyo引例：引例：解：解：引例引例课前练习课前练习课前练习课前练习一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法1.11.1、换元公式、换元公式1.11.1、换元公式、换元公式定理定理6.3 6.3 设设f(x)在在a,b上连续上连续,函数函数x=j j(t)满足满足:j j(t)在在a a,b b
2、上连续、单调上连续、单调,且且j j(a a)=a,j j(b b)=b;j j(t)在在a a,b b上连续上连续.则有则有证证故有故有课前练习课前练习课前练习课前练习一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法1.11.1、换元公式、换元公式1.21.2、换元法两个要点、换元法两个要点换元必须换限换元必须换限1.21.2、换元法两个要点、换元法两个要点（与不定积分换元法区别）与不定积分换元法区别）换元无须还原换元无须还原用用 把变量把变量 换成新变量换成新变量 时，积分限时，积分限也相应的改变也相应的改变.求出求出 的一个原函数的一个原函数 后，不后，不必象计算
3、不定积分那样再要把必象计算不定积分那样再要把 变换成原变变换成原变量量 的函数，而只要把新变量的函数，而只要把新变量 的上、下限的上、下限分别代入分别代入 ，然后相减就行了。，然后相减就行了。定积分几何意义定积分几何意义：表示圆心在原：表示圆心在原点半径为点半径为a的圆面积的四分之一的圆面积的四分之一例例1 1 计算计算解：解：例例2 2 解：解：Way1.见前见前Way2.换元法换元法课前练习课前练习课前练习课前练习一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法一、定积分的换元法1.31.3、换元法的应用、换元法的应用1.11.1、换元公式、换元公式1.21.2、换元法两个要点、换元
4、法两个要点1.31.3、换元法的应用、换元法的应用1.证明定积分恒等式证明定积分恒等式利用定积分换元法，证明定积分恒等式。利用定积分换元法，证明定积分恒等式。作合适的代换。作合适的代换。例例3 3 证明证明解解得证。得证。1.证明定积分恒等式证明定积分恒等式。；若等式左右被积函数均为不同名三角函数，；若等式左右被积函数均为不同名三角函数，若等式左右积分区间是对称的，且被积函数是若等式左右积分区间是对称的，且被积函数是Att:在三角代换中，多用在三角代换中，多用代换。代换。若等式左右被积函数均为同名三角函数，则多用若等式左右被积函数均为同名三角函数，则多用则多用则多用奇、偶函数，一般利用负代换奇
5、、偶函数，一般利用负代换。证证例例4 4 当当f(x)在在-a,a上连续，且有上连续，且有f(x)为偶函数时有为偶函数时有:-=aaadxxfdxxf0)(2)(；-=aadxxf0)(.f(x)为奇函数时有为奇函数时有:熟记结论熟记结论简化计算简化计算证证例例4 4 当当f(x)在在-a,a上连续，且有上连续，且有f(x)为偶函数时有为偶函数时有:-=aaadxxfdxxf0)(2)(；-=aadxxf0)(.f(x)为奇函数时有为奇函数时有:注：注：一般称为一般称为“对称区间上奇偶函数积分的性质对称区间上奇偶函数积分的性质”。上述结论的几何解释：上述结论的几何解释：yxaa0y=f(x)+
6、偶偶函函数数图图形形关关于于y轴轴对对称称，在在a,a上上关关于于y轴两边的图形面积相等轴两边的图形面积相等.奇奇函函数数图图形形关关于于原原点点对对称称，在在a,a上上关关于于x轴轴上上下下两两边边的的图图形形面积相等面积相等.yxaa0y=f(x)奇函数奇函数例例5 5 计算计算解解原式原式偶函数偶函数单位圆的面积单位圆的面积例例6 6 解：解：？Way1.Way2.“对称区间上奇偶函数积分的性质对称区间上奇偶函数积分的性质”：1.碰到被积函数是奇函数的定积分就不必计算。碰到被积函数是奇函数的定积分就不必计算。2.避免一些可能的错误避免一些可能的错误1.31.3、换元法的应用、换元法的应用1.证明定积分恒等式证明定积分恒等式利用定积分换元法，证明定积分恒等式。利用定积分换元法，证明定积分恒等式。作合适的代换。作合适的代换。2.用于积分上限函数求导用于积分上限函数求导例例7 7解解2.用于积分上限函数求导用于积分上限函数求导