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1、 立体表面是由若干面所组成。表面均为平面立体表面是由若干面所组成。表面均为平面的立体称为的立体称为平面立体平面立体；表面为曲面或平面与曲；表面为曲面或平面与曲面的立体称为面的立体称为曲面立体曲面立体。在投影图上表示一个立体，就是把这些平面在投影图上表示一个立体，就是把这些平面和曲面表达出来，然后根据可见性原理判断和曲面表达出来，然后根据可见性原理判断那些线条是可见的或是不可见的，分别用实那些线条是可见的或是不可见的，分别用实线和虚线来表达，从而得到线和虚线来表达，从而得到立体的投影图立体的投影图。本章内容是在研究点、线、面投影的基础本章内容是在研究点、线、面投影的基础上进一步论述立体的投影作图
2、问题。上进一步论述立体的投影作图问题。第第4章章 立体的投影立体的投影(主视图)(左视图)(俯视图)三视图的形成三视图的形成主视图主视图 体的正面投影体的正面投影俯视图俯视图 体的水平投影体的水平投影左视图左视图 体的侧面投影体的侧面投影 视图就是将物体向投影面投射所得的图形。视图就是将物体向投影面投射所得的图形。三视图之间的度量对应关系三视图之间的度量对应关系宽宽长长长长高高宽宽主视、俯视长相等且对正主视、俯视长相等且对正主视、左视高相等且平齐主视、左视高相等且平齐俯视、左视宽相等且对应俯视、左视宽相等且对应长对正长对正宽相等宽相等高平齐高平齐 常见的基本几何体常见的基本几何体曲面基本体曲面
3、基本体曲面基本体曲面基本体(表面由曲面或平面与表面由曲面或平面与曲面构成曲面构成)平面基本体平面基本体平面基本体平面基本体(表面由平面构成表面由平面构成)4.1 立体及其表面的点和线立体及其表面的点和线平面基本体的平面基本体的投影实质投影实质是关于其表面上点、线、面是关于其表面上点、线、面投影的集合，且以投影的集合，且以棱边棱边的投影为主要特征，对于可见的投影为主要特征，对于可见的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。的棱边，其投影以粗实线表示，反之，则以虚线示之。在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、在投影图中，当多种图线发生重叠时，应以粗实线、虚线、点画线等顺序优先绘制。虚
4、线、点画线等顺序优先绘制。平面基本体的各表面都是平面基本体的各表面都是平面平面，平面与平面，平面与平面的交线称为的交线称为棱线棱线，棱线与棱线的交点称为，棱线与棱线的交点称为顶点顶点。平面基本体可分为平面基本体可分为棱柱体和棱锥体棱柱体和棱锥体。一、平面基本体的投影一、平面基本体的投影目的：立体上面找平面，以及立体上的平面的相对位目的：立体上面找平面，以及立体上的平面的相对位置与可见性。置与可见性。方法：方法：1.先分析是什么样的立体，先运用正投影规律进行先分析是什么样的立体，先运用正投影规律进行整体分析，不太清楚的地方用点、线、面的投影整体分析，不太清楚的地方用点、线、面的投影规律分析。规律
5、分析。2.取点：同在平面内取点取点：同在平面内取点，要明确点在哪个平面上，要明确点在哪个平面上 取线：先求点，然后连接起来，注意只有同面点取线：先求点，然后连接起来，注意只有同面点才能相连。才能相连。3.点、线往往在几个平面的重影区上。点、线往往在几个平面的重影区上。4.可见性规律：可见面上的点、线可见；不可见面上可见性规律：可见面上的点、线可见；不可见面上的点不可见。的点不可见。一、平面基本体的投影一、平面基本体的投影点的可见性规定：点的可见性规定：若点所在的平面的投影可见，若点所在的平面的投影可见，点的投影也可见；若平面的投影积点的投影也可见；若平面的投影积聚成直线，点的投影也可见。聚成直
6、线，点的投影也可见。由于棱柱的表面都是平面，所由于棱柱的表面都是平面，所以在棱柱的表面上取点与在平面上以在棱柱的表面上取点与在平面上取点的方法相同。取点的方法相同。1.1.棱柱棱柱（2 2）棱柱面上取点棱柱面上取点 a a a (b)b 棱柱的组成棱柱的组成 b 由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧由两个底面和几个侧棱面组成。侧棱面与侧棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。棱面的交线叫侧棱线，侧棱线相互平行。先画反映底面形状的视图。先画反映底面形状的视图。A(B)(B)adebcabdceecdabADCEBXZY正六棱柱的投影图a(b)d(c)eabdcea”b”d”c”X XZ ZY YH
7、 HY YWW正六棱柱的三视图正六棱柱的三视图 作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根作投影图时，先画出正六棱柱的水平投影正六边形，再根据其它投影规律画出其它的两个投影。如图所示。据其它投影规律画出其它的两个投影。如图所示。棱柱具有这样的棱柱具有这样的投影特投影特点：点：一个投影反映底面实一个投影反映底面实形，而其余两投影则为矩形，而其余两投影则为矩形或复合矩形。形或复合矩形。aaa(b)b bC C C例：求棱柱表面上例：求棱柱表面上A、B、C三点的三面投影。三点的三面投影。s 2.2.棱锥棱锥(2)在棱锥面上取点在棱锥面上取点 k k k b a c abc a(c)b s n
8、 n 棱锥的组成棱锥的组成 由由一个一个底面和底面和几个几个侧棱面组成。侧棱面组成。侧棱线交于有限远的侧棱线交于有限远的一点一点 锥顶锥顶。同样采用平面上取点法。同样采用平面上取点法。棱锥处于图示位置时，棱锥处于图示位置时，其底面其底面ABC是水平面，在俯是水平面，在俯视图上反映实形。侧棱面视图上反映实形。侧棱面SAC为侧垂面，另两个侧棱为侧垂面，另两个侧棱面为一般位置平面。面为一般位置平面。S A B C K N n s 棱锥表棱锥表面取点面取点方法：方法：在在棱线棱线上的点上的点:利用利用棱线的投影棱线的投影求之。求之。利用利用棱面的积聚性投影棱面的积聚性投影求之求之;EFD在在棱面棱面上
9、的点上的点:利用利用辅助平面法辅助平面法求之求之;利用利用素线法素线法求之；求之；方法一：方法一：连接连接smsm并延长，与并延长，与acac交于交于22，2m2 在投影在投影acac上求出上求出点的水平投影点的水平投影2 2。连接连接s2s2，即求出直，即求出直线线SS的水平投影。的水平投影。根据在直线上的点根据在直线上的点的投影规律，求出的投影规律，求出M M点的水平投影点的水平投影m m。再根据知二求三的再根据知二求三的方法，求出方法，求出m m”。m”asbc正三棱锥的三面投影图正三棱锥的三面投影图sacba”(b”)c”s”mX XY Y H HZ ZY YWW例例1：求棱锥表面上点
10、：求棱锥表面上点M的三面投影的三面投影利用素线法利用素线法方法二：方法二：11m 过过mm作作m1acm1ac，交，交sasa于于11。求出求出点的水平投影点的水平投影1 1。过过1 1作作1m ac1m ac，再，再根据点在直线上的几根据点在直线上的几何条件，求出何条件，求出m m。再根据知二求三再根据知二求三的方法，求出的方法，求出m m”。scb正三棱锥的三面投影图正三棱锥的三面投影图sabcaa”(b”)c”s”m利用辅助平面法利用辅助平面法m例例2:已知三棱锥棱线上一点的已知三棱锥棱线上一点的V面投影面投影1和另一点和另一点的的V面投影面投影2，求两点的其它各面相应投影，求两点的其它
11、各面相应投影1、1及及2、2。1y y y y1 1 1 1“y y y y1222作图步骤：作图步骤：过点的过点的V V面投影面投影1 1作水平作水平投射线，投射线与投射线，投射线与W W面相应棱面相应棱线投影的交点即为投影线投影的交点即为投影1 1”；根据根据“宽一致宽一致”的投影规律，的投影规律，在在W W面投影中量取面投影中量取1 1”的的Y Y坐标坐标值，然后在值，然后在H H面相应棱线的投面相应棱线的投影上直接量取影上直接量取Y Y，得，得H H面投影面投影1 1。过点的过点的V V面投影面投影2 2分别作分别作水平投射线和垂直投射线，水平投射线和垂直投射线，水平投射线与水平投射线
12、与W W面相应棱线投面相应棱线投影的交点即为投影影的交点即为投影2 2”，垂直，垂直投射线与投射线与H H面相应棱线投影的面相应棱线投影的交点即为投影交点即为投影2 2。二、曲面基本体的投影二、曲面基本体的投影 曲面基本体的表面是曲面或曲面与平面，绘曲面基本体的表面是曲面或曲面与平面，绘制它们的投影时，由于它们的表面没有明显的棱制它们的投影时，由于它们的表面没有明显的棱线，所以，需要画出曲面的转向线。曲面上的线，所以，需要画出曲面的转向线。曲面上的转转向线向线是曲面上可见投影与不可见投影的分界线。是曲面上可见投影与不可见投影的分界线。在投影面上，当转向线的投影与中心线的投影重在投影面上，当转向
13、线的投影与中心线的投影重合时，规定只画中心线。合时，规定只画中心线。在机械工程中，用得最多的曲面基本体是圆在机械工程中，用得最多的曲面基本体是圆柱、圆锥、圆球和圆环这四种回转体。作它们在柱、圆锥、圆球和圆环这四种回转体。作它们在投影面上的投影就是把组成立体的回转面或平面投影面上的投影就是把组成立体的回转面或平面和回转面的投影表示出来，并判别可见性。下面和回转面的投影表示出来，并判别可见性。下面主要介绍这些主要介绍这些回回转转体体的性质及其画法。的性质及其画法。1.1.圆柱体圆柱体 圆柱体的三视图圆柱体的三视图 圆柱面上取点圆柱面上取点 a a a 圆柱体的组成圆柱体的组成A1AOO1 a母线母
14、线转向轮廓线底面投影的积聚性底面投影的积聚性 转向轮廓线转向轮廓线素线的投影素线的投影 与曲面的可见性的判断与曲面的可见性的判断利用利用4545线作图线作图kkkaaa 在图示位置，俯视图为一圆。另在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。的投影。圆锥圆锥面是由直面是由直线线SA绕绕与它相交的与它相交的轴线轴线OO1旋旋转转而成。而成。S称称为为锥顶锥顶，直直线线SA称称为为母母线线。圆锥圆锥面面上上过锥顶过锥顶的任一直的
15、任一直线线称称为圆锥为圆锥面的面的素素线线。O1O 圆锥体的组成圆锥体的组成 s s 2.圆锥圆锥体体 圆锥体的三视图圆锥体的三视图 轮廓线素线的投影与轮廓线素线的投影与 曲面的可见性的判断曲面的可见性的判断 圆锥面上取点圆锥面上取点 k 辅助直线法辅助直线法辅助圆法辅助圆法-纬圆法纬圆法(n)sn k(n)k 由由圆锥面和底面圆锥面和底面组成组成。SA如何在圆锥面上作如何在圆锥面上作直线？直线？过锥顶作一条素线。过锥顶作一条素线。圆的半径？圆的半径？母线母线O例例1：已知圆锥对：已知圆锥对w面的转向轮廓线上点的面的转向轮廓线上点的1投影投影,求求1、1；又；又知它对知它对V面的转向轮廓线上点
16、的水平投影面的转向轮廓线上点的水平投影2，求，求2、2。作图步骤：作图步骤：过点的过点的V V面投影面投影1 1作水平投射作水平投射线，投射线与圆锥对线，投射线与圆锥对W W面的转向面的转向轮廓线的交点即为投影轮廓线的交点即为投影1 1”；根；根据据“宽一致宽一致”的投影规律，以轴线的投影规律，以轴线为基准，在为基准，在W W面投影中量取投影面投影中量取投影1 1”的的Y Y坐标值坐标值Y1Y1，然后在圆锥对，然后在圆锥对W W面的转向轮廓线的面的转向轮廓线的H H面投影上直面投影上直接量取接量取Y1Y1，得投影，得投影1 1。过点的过点的H H面投影面投影2 2向上作竖直投向上作竖直投射线，
17、投射线与圆锥对射线，投射线与圆锥对V V面转向面转向轮廓线的轮廓线的V V投影的交点即为投影投影的交点即为投影2 2；然后过；然后过2 2作水平投射线，作水平投射线，投射线与此转向轮廓线的投射线与此转向轮廓线的W W面投面投影的交点即为投影影的交点即为投影2 2”。112221Y1Y1Y1Y1Y1Y1Y1Y1 三个视图分别为三个和圆三个视图分别为三个和圆球的直径相等的圆，它们分别球的直径相等的圆，它们分别是圆球三个方向轮廓线的投影。是圆球三个方向轮廓线的投影。3.圆圆球球 圆母线以它的直径为轴旋转而成。圆母线以它的直径为轴旋转而成。圆球的三视图圆球的三视图 轮廓线的投影与曲轮廓线的投影与曲 面
18、可见性的判断面可见性的判断 圆球面上取点圆球面上取点 k 辅助圆法辅助圆法k k 圆球的形成圆球的形成圆的半径？圆的半径？n n n 圆环的形成圆环的形成 圆环面是由一个完整的圆环面是由一个完整的圆圆绕轴线回转一周而形成，绕轴线回转一周而形成，轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。轴线与圆母线在同一平面内，但不与圆母线相交。4 4、圆环、圆环 圆环的三视图圆环的三视图 主、左视图是极限位主、左视图是极限位置素线（圆）和内、外置素线（圆）和内、外环分圆的投影；环分圆的投影；俯视图是上、下的俯视图是上、下的投影。投影。点划线圆点划线圆 表示：母线圆心的轨迹表示：母线圆心的轨迹kkk（3）圆环
19、表面取点）圆环表面取点mm（n）（n）作辅助平面：过点作辅助平面：过点M作垂直于轴线的辅助平面作垂直于轴线的辅助平面(水平面水平面)，其与外环面相交于一个圆。其与外环面相交于一个圆。4.2 平面与立体相交平面与立体相交 平面与立体相交，可看作用平面截切立体，平面称平面与立体相交，可看作用平面截切立体，平面称为为截平面，截平面与立体表面所截平面，截平面与立体表面所产产生的交生的交线线称称为为截交截交线线。一、概述一、概述 截交截交线线是截平面和立体表面的共有是截平面和立体表面的共有线线。a.共有性共有性b.封闭性封闭性 立体表面是封闭的，则截交线一般是封闭的图立体表面是封闭的，则截交线一般是封闭
20、的图线，截断面一般是封闭的平面图形。线，截断面一般是封闭的平面图形。根据上述性质，截交线的基本画法可归结为求根据上述性质，截交线的基本画法可归结为求平面与立体表面共有点的作图问题。平面与立体表面共有点的作图问题。性质性质:c.截交线的形状决定于立体表面的形状和截平面截交线的形状决定于立体表面的形状和截平面与立体的相对位置。与立体的相对位置。二、平面与平面立体相交二、平面与平面立体相交步骤：步骤：1.空空间间及投影分析，画出及投影分析，画出顶顶点；点；2.连连接多接多边边形；形；3.整理整理轮轮廓廓线线。平面立体被截平面切割后所得的截交线，是平面立体被截平面切割后所得的截交线，是由直线段组成的平
21、面多边形，多边形的各边是立由直线段组成的平面多边形，多边形的各边是立体表面与截平面的交线。画多边形的投影只要求体表面与截平面的交线。画多边形的投影只要求出多边形顶点的投影。出多边形顶点的投影。(a)(a)截平面与上、下底面平行，截面为正五边形截平面与上、下底面平行，截面为正五边形 (b)(b)截平面截断五条棱截平面截断五条棱,截面为五边形截面为五边形(c)(c)截平面截断六条棱截平面截断六条棱,截面为六边形截面为六边形 (d)(d)截平面截断四条棱截平面截断四条棱,截面为四边形截面为四边形(e)(e)截平面截断三条棱截平面截断三条棱,截面为三边形截面为三边形 (f)(f)截平面与侧棱截平面与侧
22、棱平行平行,截面为矩形截面为矩形例例1.求四棱锥的截交线。求四棱锥的截交线。解题步骤解题步骤1.1.分析分析 截交线截交线的正面投影已知，的正面投影已知，水平投影和侧面水平投影和侧面投影未知；投影未知；求出截交求出截交线线上的上的折点折点、；2.顺顺次地次地连连接各接各点，作出截交点，作出截交线线，并且判并且判别别可可见见性；性；3.整理整理轮轮廓廓线线。112221343434例例2.求四棱锥的截交线。求四棱锥的截交线。解解题题步步骤骤1.分分析析 截截交交线线的的正正面面投投影影已已知知，水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影未未知；知；求求出出截截交交线线上上的的折折点点、V；2.顺顺次地
23、次地连连接各接各点，作出截交点，作出截交线线，并且判，并且判别别可可见见性；。性；。3.整理整理轮轮廓廓线线。14514514523 2 323例例3.补全三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。补全三棱锥被截切后的水平投影和侧面投影。解解题题步步骤骤1分分析析截截交交线线的的正正面面投投影影已已知知，水水平平投投影影和和侧侧面面投影未知；投影未知；2求求出出截截交交线线上上的的折折点点、；3顺顺次地次地连连接各接各点，作出截交点，作出截交线线，并且判并且判别别可可见见性；性；4整理整理轮轮廓廓线线。342534126346 1 25561scabsabca(c)sb二、曲面立体的截交线二、曲面立
24、体的截交线 平面与回转体上的回转面相交，交线一般是平平面与回转体上的回转面相交，交线一般是平面曲线，其形状取决于回转体的几何特性，以及面曲线，其形状取决于回转体的几何特性，以及回转体与截平面的相对位置。回转体与截平面的相对位置。1.求曲求曲线线投影的方法投影的方法2.作作图图步步骤骤特殊点特殊点如最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点等如最高、最低点，最前、最后点，最左、最右点等这些点一般都在转向轮廓线上这些点一般都在转向轮廓线上。（3）依次光滑）依次光滑连连接。接。若干点若干点特殊点特殊点中间点中间点确定曲线的范围确定曲线的范围确定曲线的形状确定曲线的形状（1）空）空间间及投影分析，作出特
25、殊点。及投影分析，作出特殊点。（2）补补充中充中间间点。点。（4）整理）整理轮轮廓廓线线。求曲线上若干点投影，圆滑地连接。求曲线上若干点投影，圆滑地连接。截平面与截平面与圆柱面的交柱面的交线的形状取决于截平面与的形状取决于截平面与圆柱柱轴线的相的相对位置。位置。（1）平面与）平面与圆圆柱相交柱相交111548883254452323解解题题步步骤骤1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线的的侧侧面面投投影影为圆为圆，水平投影，水平投影为椭圆为椭圆2求求出出截截交交线线上上的的特特殊点殊点、3求求出出若若干干个个一一般般点点、；4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截
26、截交交线线，并并且且判判别别可可见见性；性；766767例例 求圆柱截交线求圆柱截交线5整整理轮理轮廓线。廓线。3 4123456781 25867215678 34 例例 .作圆柱被截切后的侧面投影，补全水平投影。作圆柱被截切后的侧面投影，补全水平投影。圆圆三角形三角形双曲线加直线段双曲线加直线段抛物线加直线段抛物线加直线段（2）平面与圆锥相交）平面与圆锥相交 根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平根据截平面与圆锥轴线的相对位置不同，截平面与圆锥面的交线有五种形状。面与圆锥面的交线有五种形状。椭圆椭圆求圆锥截交线上点的方法求圆锥截交线上点的方法解解题题步步骤骤1分分析析 截截平平面面为为正
27、正垂垂面面，截截交交线线为为椭椭圆圆；截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面面投投影影均均为为椭圆椭圆；2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、3求出一般点求出一般点；4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交交线线，并并且且判判别别可可见见性；性；333例例 求圆锥截交线求圆锥截交线5整理轮整理轮廓线。廓线。解解题步步骤1分分析析 截截平平面面为正正垂垂面面侧平平面面，截截交交线为部部分分椭圆和和梯梯形形的的组合合；其其水水平平投投影影为部部分分椭圆和和直直线的的组合合，侧面面投投影影为部部分分椭圆和梯形的和梯形的组合；合；2求求出出截截交交线上上的的特特殊点殊点、;
28、3求求出一般点出一般点、4光光滑滑且且顺次次地地连接接各各点点，作作出出截截交交线，并且判并且判别可可见性；性；5整理整理轮廓廓线。a2314511a232 35445例例 求圆锥截交线求圆锥截交线（3）平面与圆球相交）平面与圆球相交 1.球体被平面切割时，不论截平面处于什么位置，球体被平面切割时，不论截平面处于什么位置，截断面总为圆截断面总为圆，根据截平面对投影面的位置不同，可分为以下三种情况：根据截平面对投影面的位置不同，可分为以下三种情况：（1 1）截平面为投影面平行面：）截平面为投影面平行面：截断面在其平行的投影面上的截断面在其平行的投影面上的投影为圆，在其它两个投影面投影为圆，在其它
29、两个投影面上的投影为直线；上的投影为直线；（2 2）截平面为投影面垂直面：）截平面为投影面垂直面：截断面在其垂直的投影面上的截断面在其垂直的投影面上的投影为直线，在其它两个投影投影为直线，在其它两个投影面上的投影为椭圆；椭圆的长面上的投影为椭圆；椭圆的长轴为空间圆的直径轴为空间圆的直径,且为投影面且为投影面平行线平行线,椭圆的短轴和长轴垂直椭圆的短轴和长轴垂直,且为投影面垂直线；且为投影面垂直线；（3 3）当截平面为一般位置平面）当截平面为一般位置平面时，截交线的三个投影都是椭时，截交线的三个投影都是椭圆。圆。求圆球截交线上点的方法求圆球截交线上点的方法纬圆法纬圆法 在圆球表面上取若干个纬圆，
30、并求出这些在圆球表面上取若干个纬圆，并求出这些维圆与截平面的交点。维圆与截平面的交点。解解题题步步骤骤1分分析析 截截平平面面为为正正垂垂面面，截截交交线线为为圆圆；截截交交线线的的水水平平投投影影和和侧侧面面投投影均影均为椭圆为椭圆；2求求出出截截交交线线上上的的特特殊殊点点、；3求求出出若若干干个个一一般般点点A、B、C、D；4光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出截截交交线线，并并且判且判别别可可见见性；性；1212343456567878abcdbacd2134567 8abcd例例 求圆球截交线求圆球截交线5整整理轮廓理轮廓线。线。221解解题步步骤1分分析析 截截平平面
31、面为两两个个侧平平面面和和一一个个水水平平面面，截截交交线为圆弧弧和和直直线的的组合合；截截交交线的的水水平平投投影影和和侧面面投投影影均均为圆弧和直弧和直线的的组合合;2求求出出截截交交线上上的的特殊点特殊点、；3求出各段求出各段圆弧；弧；4判判别可可见性性，整整理理轮廓廓线。33312例例 求圆球截交线求圆球截交线4.3 两立体表面相交两立体表面相交1.相相贯贯的形式的形式两立体相交叫作相两立体相交叫作相贯，其表面，其表面产生的交生的交线叫做叫做相相贯线。一、概一、概 述述平面体与回转平面体与回转体相贯体相贯回转体与回转回转体与回转体相贯体相贯多体相贯多体相贯 本节主要讨论常用不同立体相交
32、时，其本节主要讨论常用不同立体相交时，其表面相贯表面相贯线的投影特性及画法。线的投影特性及画法。2.相相贯线贯线的主要性的主要性质质3.作作图图:实质实质是找出相是找出相贯贯的两立体表面上的若干的两立体表面上的若干共共有点有点的投影。的投影。共有性共有性 表面性表面性相贯线位于两立体的表面上，是分界线。相贯线位于两立体的表面上，是分界线。相贯线是相贯线是两立体表面的共有线两立体表面的共有线。封封闭闭性性 相相贯线贯线一般是一般是封封闭闭的空的空间间折折线线（通常由直（通常由直线线和曲和曲线组线组成）成）或空或空间间曲曲线线。曲面立体相贯线的性质图例曲面立体相贯线的性质图例二、求曲面立体相贯线的
33、方法二、求曲面立体相贯线的方法1.利用投影的利用投影的积积聚性聚性2.用用辅辅助平面法助平面法 圆柱相贯线投影的表面取点画法圆柱相贯线投影的表面取点画法 1.1.作图步骤作图步骤（1 1）首先画出两个圆柱轮廓线的三视图，确定两个圆柱的相对位置。）首先画出两个圆柱轮廓线的三视图，确定两个圆柱的相对位置。（2 2）求特殊点的正面投影。所谓）求特殊点的正面投影。所谓特殊点特殊点，就是两个柱面转向轮廓线上就是两个柱面转向轮廓线上的点和表示相贯线空间极限范围的点，即最高、最低、最左。最右、的点和表示相贯线空间极限范围的点，即最高、最低、最左。最右、最前、最后点及可见与不可见的分界点。最前、最后点及可见与
34、不可见的分界点。本例中的本例中的A A、B B、C C、D D即为柱即为柱面对面对V V面和面和H H面转向轮廓线上的点，也是空间曲面转向轮廓线上的点，也是空间曲线最高点、最低点、最线最高点、最低点、最后点和最前点。后点和最前点。（3 3）求一般点的投影。）求一般点的投影。如如M M和和N N点，可先确定其点，可先确定其 水平投影，根据宽相等水平投影，根据宽相等 求出其侧面投影，最后求出其侧面投影，最后 求出正面投影。求出正面投影。（4 4）根据点在空间的）根据点在空间的 连接顺序连接顺序,用曲线板连用曲线板连 接成光滑曲线。接成光滑曲线。例例1 1圆柱与圆柱相贯，求其相贯线。圆柱与圆柱相贯，
35、求其相贯线。求相贯线的投影：求相贯线的投影：利用积聚性，采用表面取点法。利用积聚性，采用表面取点法。找特殊点找特殊点 补充中间点补充中间点 光滑连接光滑连接空间及投影分析：空间及投影分析：小圆柱轴线垂直于小圆柱轴线垂直于H面，面，水平投影积聚为圆，根据水平投影积聚为圆，根据相贯线的共有性，相贯线相贯线的共有性，相贯线的水平投影即为该圆。大的水平投影即为该圆。大圆柱轴线垂直于圆柱轴线垂直于W面，侧面，侧面投影积聚为圆，相贯线面投影积聚为圆，相贯线的侧面投影在该圆上。的侧面投影在该圆上。Pvfgehbaef ghcddcabgehfdcba例例2.分析半圆柱与圆台的相贯线，并补全投影。分析半圆柱与
36、圆台的相贯线，并补全投影。利用辅助平面法求相贯线利用辅助平面法求相贯线例例 求圆柱与半球的相贯线。求圆柱与半球的相贯线。解解题题步步骤骤1 分分析析 相相贯贯线线的的侧侧面面投投影影已已知知，可可利利用用辅辅助助平面法求共有点；平面法求共有点；例例 求圆柱与半球的相贯线。求圆柱与半球的相贯线。解解题题步步骤骤2 求求出出相相贯贯线线上上的的特特殊点殊点A、B、C、D。acddca d c b bab例例 求圆柱与半球的相贯线求圆柱与半球的相贯线。解解题题步步骤骤3 求求出出若若干干个个一一般般点点E、F、G、H。e f g h efhgghef例例 求圆柱与半球的相贯线求圆柱与半球的相贯线。解
37、解题题步步骤骤4 光光滑滑且且顺顺次次地地连连接接各各点点，作作出出相相贯贯线线，并且判并且判别别可可见见性；性；5 整理整理轮轮廓廓线线。abcdbadc用辅助平面求共有点示意图用辅助平面求共有点示意图例例 求圆球与圆锥的相贯线。求圆球与圆锥的相贯线。PV1解解题题步步骤骤1分分析析相相贯贯线线的的三三个个投投影影均均未未知知，可可利利用用辅辅助助平平面面法法求求共共有点；有点；求求出出相相贯贯线线上上特特殊殊点点、；343434122121例例 求圆球与圆锥的相贯线。求圆球与圆锥的相贯线。例例 求圆球与圆锥的相贯线求圆球与圆锥的相贯线PW3PV3yy解题步骤解题步骤3光光滑滑且且顺次次地地
38、连接接各各点点，作作出出相相贯线，并并且且判判别可可见性；性；4整整理理轮廓廓素素线。2求求出出若若干干个个一一般般点点、；PW2 PV256yy5 6 78213412341234567878 当当两两立立体体的的相相交交两两轴线同同时平平行行于于某某一一投投影影面面时，则此此两两椭圆曲曲线在在该投投影影面面上上的的投投影影，为相交两直相交两直线。1.两个回两个回转转体具有公共体具有公共轴线时轴线时，其表面的相，其表面的相贯线贯线为圆为圆，并且，并且该圆该圆垂直于公共垂直于公共轴线轴线。当公共当公共轴线处于投影面垂直位置于投影面垂直位置时，相，相贯线有有一个投影反映一个投影反映圆的的实形，其
39、余投影形，其余投影积聚聚为直直线。2.外切于同一球面的外切于同一球面的圆锥圆锥、圆圆柱相交柱相交时时，其相，其相贯线为贯线为两条平面曲两条平面曲线线椭圆椭圆。三、相贯线的特殊情况三、相贯线的特殊情况1.当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆当两个回转体具有公共轴线时，其表面的相贯线为圆2.2.外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面外切于同一球面的圆锥、圆柱相交时，其相贯线为两条平面曲线曲线椭圆椭圆 四、圆柱相贯线的近似画法四、圆柱相贯线的近似画法内、外圆柱面相交内、外圆柱面相交当两个柱面的直径相差交大时，可用圆弧代当两个柱面的直径相差交大时，可用圆弧代替曲线，圆弧的半径等于大圆柱面的半径。替曲线，圆弧的半径等于大圆柱面的半径。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。当圆柱直径变化时，相贯线的变化趋势。交线向大圆交线向大圆柱一侧弯柱一侧弯交线为两条平面交线为两条平面曲线（椭圆）曲线（椭圆）三个或三个以上的立体相交在一起，称为复合相贯。这时相贯线由若干条相贯线组合而成，结合处的点称为结合点。处理复合相贯线，关键在于分析，找出有几个两两曲面立体相贯，从而确定其有几段相贯线组成。五、五、复合相贯线复合相贯线