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1、第四章第四章 立体的投影立体的投影 空间物体可以看作是由一些简单的空间物体可以看作是由一些简单的几何体所组成。而这些简单的几何体又几何体所组成。而这些简单的几何体又是由一些表面围成。根据这些表面的性是由一些表面围成。根据这些表面的性质，几何体可分为质，几何体可分为平面立体平面立体和和曲面立体曲面立体两类。两类。本章主要介绍常见的一些立体的投本章主要介绍常见的一些立体的投影表达及它们的影表达及它们的三视图三视图画法，为进一步画法，为进一步分析复杂的物体打下基础。分析复杂的物体打下基础。概 述 常常见见的的基基本本立立体体平平面面立立体体曲曲面面立立体体棱柱棱柱棱锥棱锥圆柱圆柱圆锥圆锥圆球圆球圆环
2、圆环平面立体侧表面的交线称为平面立体侧表面的交线称为棱线棱线。若平面立体所有棱线互相平行，称为若平面立体所有棱线互相平行，称为棱柱棱柱。若平面立体所有棱线交于一点，称为若平面立体所有棱线交于一点，称为棱锥棱锥。平面立体：由若干平面所围成的几何体平面立体：由若干平面所围成的几何体,如棱柱、棱锥等。如棱柱、棱锥等。11 平面立体的投影平面立体的投影棱柱棱柱棱锥棱锥 是平面立体各表面投影的集合是平面立体各表面投影的集合,是由直线段组成的是由直线段组成的封闭图形封闭图形。平面立体的投影平面立体的投影1.1 1.1 棱柱棱柱1.1.1 1.1.1 三棱柱的视图三棱柱的视图三棱柱三棱柱由两个底面和三个侧棱
3、面组成。由两个底面和三个侧棱面组成。我们常把物体的投影称为我们常把物体的投影称为视图视图，H面面投投影称为影称为俯视图俯视图，V面面投影称为投影称为主视图主视图，W面面投影称为投影称为左视图左视图。展开后得到三棱柱的三视图如下：展开后得到三棱柱的三视图如下：三视图之间的投影规律：三视图之间的投影规律：(1)度量关系：度量关系：长对正，长对正，高平齐，高平齐，宽相等。宽相等。(2)位置关系：位置关系：俯视图俯视图前后、左右；前后、左右；主视图主视图上下、左右；上下、左右；左视图左视图上下、前后。上下、前后。三棱柱的两底面为三棱柱的两底面为水平面水平面，在俯视图中，在俯视图中反映实形。其余三个侧棱
4、面都是反映实形。其余三个侧棱面都是铅垂面铅垂面，水，水平投影积聚，与三角形的边重合。平投影积聚，与三角形的边重合。三棱柱的视图三棱柱的视图 由于物体三视图的形状和大小，与物体对投影由于物体三视图的形状和大小，与物体对投影面距离的大小无关，所以，在画图时为了合理布置面距离的大小无关，所以，在画图时为了合理布置图幅，可以图幅，可以去掉投影轴去掉投影轴。但三视图但三视图之间的投影之间的投影关系，应严关系，应严格遵守。格遵守。点的可见性规定：点的可见性规定：若点所在平面的若点所在平面的投影可见，点的投影投影可见，点的投影可见；若平面的投影可见；若平面的投影积聚成直线，点的投积聚成直线，点的投影也可见。
5、影也可见。1.1.2 1.1.2 三棱柱表面的点三棱柱表面的点 由于三棱柱的由于三棱柱的表面都是平面表面都是平面，所以在三棱柱的，所以在三棱柱的表面上取点与在表面上取点与在平面上取点平面上取点的方法相同。的方法相同。mm k k k m 1.1.2 1.1.2 斜三棱柱视图及其表面的直线斜三棱柱视图及其表面的直线 分清直线所在表面，然分清直线所在表面，然后在平面上求直线投影。后在平面上求直线投影。平面立体投影可见性的判别规律平面立体投影可见性的判别规律：1)1)在平面立体的每一投影中，其在平面立体的每一投影中，其外形轮廓外形轮廓线都是可见的。线都是可见的。2)2)在平面立体的每一投影中，外形轮
6、廓线在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内的直线的可见性，相交时可利用交叉两直内的直线的可见性，相交时可利用交叉两直线的线的重影点重影点来判别。来判别。3)3)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，若多条棱线交于一点，且内，若多条棱线交于一点，且交点可见交点可见，则，则这些这些棱线均可见棱线均可见，否则均不可见。，否则均不可见。4)4)在平面立体的每一投影中，外形轮廓线在平面立体的每一投影中，外形轮廓线内，内，两可见表面相交，其交线为可见两可见表面相交，其交线为可见。两不。两不可见表面的交线为不可见。可见表面的交线为不可见。1.2.1 1.2.1 正三棱锥视图及
7、其表面的点正三棱锥视图及其表面的点1.2 1.2 棱锥棱锥1)画三棱锥的三视图画三棱锥的三视图2)在棱锥表面上取点在棱锥表面上取点采用什么方法？采用什么方法？平面上取点法平面上取点法ASBCabc()k k a(c)b a c k n s b s n ns 1.2.2 1.2.2 斜三棱锥及其表面的折线斜三棱锥及其表面的折线注意：注意：分清分清直线所在直线所在表面，求表面，求出与所有出与所有棱线的交棱线的交点。点。小 结 1.1.平面立体投影的作图可归结为绘制平平面立体投影的作图可归结为绘制平面（立体表面）和（棱）线投影的作图。面（立体表面）和（棱）线投影的作图。如果点或直线在特殊位置平面内如
8、果点或直线在特殊位置平面内，则，则作图时，可充分利用平面投影有作图时，可充分利用平面投影有积聚性积聚性的的特点，由一个投影求出其另外两个投影；特点，由一个投影求出其另外两个投影；2.2.在立体表面上取点、取线的方法与在在立体表面上取点、取线的方法与在平面上取点、取线的方法相同。平面上取点、取线的方法相同。如果点或直线在一般位置平面内如果点或直线在一般位置平面内，则，则需过已知点的一个投影需过已知点的一个投影作辅助线作辅助线，求出其，求出其它投影。它投影。2 2 曲面立体的投影曲面立体的投影常用的回转曲面立体常用的回转曲面立体,简称简称回转体。回转体。直母线生成的回转曲面称为直母线生成的回转曲面
9、称为直线直线回转面回转面，如：圆柱面、圆锥面等。，如：圆柱面、圆锥面等。回转曲面回转曲面是由母线是由母线(直线或曲线直线或曲线)绕定轴绕定轴线作回转运动生成的。线作回转运动生成的。曲母线生成的回转曲面称为曲母线生成的回转曲面称为曲线曲线回转面回转面，如：圆球面、圆环面等。，如：圆球面、圆环面等。2.1 2.1 圆柱圆柱 圆柱面上与轴线平圆柱面上与轴线平行的任一直线称为圆柱行的任一直线称为圆柱面的面的素线素线。圆柱圆柱由圆柱面和上、由圆柱面和上、下两底面组成。下两底面组成。圆柱面可看成是由圆柱面可看成是由直线直线AA1绕与它平行的绕与它平行的轴线旋转而成。轴线旋转而成。直线直线AA1称为称为母线
10、母线。圆柱面的俯视图积聚圆柱面的俯视图积聚成一个圆，在另两个视图成一个圆，在另两个视图上分别以两个方向的轮廓上分别以两个方向的轮廓素线的投影表示。素线的投影表示。2.1.1 2.1.1 圆柱的视图圆柱的视图 轮廓素线的投影是判轮廓素线的投影是判断曲面可见性的依据。断曲面可见性的依据。画圆柱的正投影图时，画圆柱的正投影图时，务必用务必用点画线点画线画出回转轴画出回转轴线和圆的对称中心线。线和圆的对称中心线。2.1.2 2.1.2 圆柱面上的点圆柱面上的点利利用用积积聚聚性性来来求求p aa pp a 2.1.3 2.1.3 圆柱面上的曲线圆柱面上的曲线 求出所求出所有特殊点，尤有特殊点，尤其是与
11、中心轴其是与中心轴线和轮廓素线线和轮廓素线相交的点。相交的点。强调 圆锥面可看成是由直线圆锥面可看成是由直线SA绕与它相交的轴线绕与它相交的轴线OO1旋转形成的。旋转形成的。2.2 2.2 圆锥圆锥 圆锥圆锥由圆锥面和底面由圆锥面和底面组成。组成。圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面圆锥面上过锥顶的任一直线称为圆锥面的的素线素线。S称为称为锥顶锥顶，直线，直线SA称为称为母线母线。在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等在图示位置，俯视图为一圆。另两个视图为等边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰边三角形，三角形的底边为圆锥底面的投影，两腰分别为圆锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。分别为圆
12、锥面不同方向的两条轮廓素线的投影。2.2.1 2.2.1 圆锥的视图圆锥的视图s注意：注意：轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断。轮廓素线的投影与曲面的可见性的判断。s s s mss m kk f n n k n f 2.2.2 2.2.2 圆锥面上的点圆锥面上的点1）素线法素线法过过锥锥顶顶作作一一条条素素线线特殊位置点可直接求得。特殊位置点可直接求得。一般位置点可用以下两种方法求得。一般位置点可用以下两种方法求得。f s s s2 2）纬线圆法）纬线圆法S如何取圆的半径？如何取圆的半径？(k)k(k)2.2.3 2.2.3 圆锥面上的曲线圆锥面上的曲线 求出所有特殊点，尤其求出所有特殊点，
13、尤其是与中心轴线及轮廓素线相是与中心轴线及轮廓素线相交的点交的点强调强调 三个视图三个视图均为均为与圆球的直径相等的与圆球的直径相等的圆圆，它们分别是圆球，它们分别是圆球三个方向三个方向轮廓素线轮廓素线的投影。的投影。2.3 2.3 圆球圆球2.3.1 2.3.1 圆球的视图圆球的视图圆球面圆球面 是由一是由一圆母线以它的圆母线以它的直径为回转轴旋转而成。直径为回转轴旋转而成。(c)AB(C)(b)bb a aa 2.3.1 2.3.1 圆球的视图圆球的视图注意：注意：轮廓线的投影轮廓线的投影与与曲面可见性的判断曲面可见性的判断2.3.22.3.2 圆球面上的点圆球面上的点纬线圆法纬线圆法圆的
14、半径圆的半径？(c)c 2.3.3 2.3.3 圆球面上的曲线圆球面上的曲线 求出所有特殊点，尤求出所有特殊点，尤其是与中心对称线及轮廓其是与中心对称线及轮廓素线相交的点。素线相交的点。强调强调 2.4 2.4 圆环面圆环面 一圆母线绕其所在平面内的一条轴线一圆母线绕其所在平面内的一条轴线作回转运动，即形成作回转运动，即形成圆环面圆环面。2.4.1 2.4.1 圆圆环环的视图的视图2.4.2 2.4.2 圆圆环环面上的点面上的点m mm（n）（n）纬纬线线圆圆法法3.1 3.1 不完整圆柱体视图及其表面的点不完整圆柱体视图及其表面的点3 3 不完整曲面立体的投影不完整曲面立体的投影半半个个圆圆柱柱体体四分之一空心圆柱三视图四分之一空心圆柱三视图3.2 3.2 不完整圆锥台视图及其表面的点不完整圆锥台视图及其表面的点半半个个圆圆锥锥台台半圆柱上开有半圆锥孔三视图半圆柱上开有半圆锥孔三视图3.3 3.3 不完整圆球面视图及其表面的曲线不完整圆球面视图及其表面的曲线半半个个圆圆球球面面八分之一圆球面三视图八分之一圆球面三视图3.4 3.4 不完整圆环的视图不完整圆环的视图半半个个圆圆环环四分之一圆环三视图四分之一圆环三视图本 章 结 束