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1、动动 点点 问问 题题 探探 究究 最后一题并不可怕，更要有信心！最后一题并不可怕，更要有信心！图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题图形中的点、线运动，构成了数学中的一个新问题-动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动态几何。它通常分为三种类型：动点问题、动线问题、动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，动形问题。在解这类问题时，要充分发挥空间想象的能力，不要被不要被“动动”所迷惑，而是要在所迷惑，而是要在“动动”中求中求“静静”，化，化“动动”为为“静静”，抓住它运动中的某一瞬间，寻找，抓住它运动中的某一瞬间，寻找确定的关系式确定的关系式，就能找到解决问题的途
2、径。就能找到解决问题的途径。本节课重点来探究动态几何中的第一种类型本节课重点来探究动态几何中的第一种类型-动点问动点问题。题。1、如图：已知、如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30(1)点点P从点从点A沿沿AB边向点边向点B运动，速度为运动，速度为1cm/s。7430P若设运动时间为若设运动时间为t(s)，连接，连接PC,当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三为等腰三角形？角形？若若PBC为等腰三角形为等腰三角形则则PB=BC7-t=4t=3如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30(2)若点若点P从点从点A沿沿 AB运动，速度仍是运动，速度仍是1c
3、m/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？P74射线射线小组合作交流讨论P74当BP=BC时（锐角)P7430当CB=CP时EP当PB=PC时74PE74当BP=BC时（钝角）1、如图：已知、如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30P74当BP=BC时P7430当CB=CP时EP当PB=PC时74PE74当BP=BC时(2)若点若点P从点从点A沿射线沿射线AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程探究动点关键：化动为静，分类讨论，关注全过程(2)若
4、点若点P从点从点A沿射线沿射线AB运动，速度仍是运动，速度仍是1cm/s。当当t为何值时，为何值时，PBC为等腰三角形？为等腰三角形？P74当BP=BC时(钝角)当BP=BC时(锐角)当CB=CP时当PB=PC时t=3或11或7+或 /3 时 PBC为等腰三角形为等腰三角形1.如图：已知如图：已知 ABCD中，中，AB=7，BC=4，A=30（3）当）当t7时，是否存在某一时刻时，是否存在某一时刻t,使得线段使得线段DP将线段将线段BC三等分？三等分？PEPE解决动点问题的好助手：数形结合定相似比例线段构方程2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm，BC=8cm,点点P由点由点A出发出
5、发 ，沿，沿AC向向C匀速运动，速度为匀速运动，速度为2cm/s，同时，同时 P点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DB向向B匀速运动，速度为匀速运动，速度为1cm/s，DQ连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s)(0t 3)（1）当）当t为何值时，为何值时，PQBC?（1）当）当t为何值时，为何值时，PQBC?PDQ2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，点点P由点由点A出发出发 ，沿，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DB向向B运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时
6、间为，若设运动时间为t(s)(0t 3)若若PQBC则则 AQPABC(2)设设 APQ的面积为的面积为y()，求，求y与与t之间的函数关系。之间的函数关系。MN2.在在RtABC中，中，C=90，AC=6cm，BC=8cm，点点P由点由点A出发出发 ，沿，沿AC向向C运动，速度为运动，速度为2cm/s，同时同时 点点Q由由AB中点中点D出发，沿出发，沿DB向向B运动，速度为运动，速度为1cm/s，连接连接PQ，若设运动时间为，若设运动时间为t(s)(0t 3)PDQPDQNPDQAQN ABC相似法相似法2.(2)NPDQ三角函数法三角函数法2.(2)2.(3)是否存在某一时刻是否存在某一时
7、刻t，使，使 APQ的面积与的面积与 ABC的面积的面积比为比为715？若存在，求出相应的？若存在，求出相应的t的值；不存在说明理由。的值；不存在说明理由。当当t=2时，时，APQ的面积与的面积与 ABC的面积比为的面积比为715PDQ计算要仔细计算要仔细2.（4）连接）连接DP,得到得到QDP，那么是否存在某一时刻，那么是否存在某一时刻t，使得点，使得点D在线段在线段QP的中垂线上？若存在，求出相应的的中垂线上？若存在，求出相应的t的值；若不存在，的值；若不存在，说明理由。说明理由。G点点D在线段在线段PQ的中垂线上的中垂线上 DQ=DP方程无解。方程无解。即点即点D都不可能在线段都不可能在
8、线段QP的中垂线上。的中垂线上。=15603、（、（2009中考）如图在边长为中考）如图在边长为2cm的正方形的正方形ABCD中，中，点点Q为为BC边的中点，点边的中点，点P为对角线为对角线AC上一动点，连接上一动点，连接PB、PQ,则则 周长的最小值是周长的最小值是-cm(结果不取近结果不取近似值）似值）A D PB Q C 4.4.例例 1 1、如如 图图，已已 知知 在在 直直 角角 梯梯 形形 ABCDABCD中中，ADBC ADBC，B=90B=90，AD=24AD=24cmcm，BC=26BC=26cmcm，动动点点P P从从点点A A开开始始沿沿ADAD边边向向点点D D，以以1
9、 1cmcm/秒秒的的速速度度运运动动，动动点点Q Q从从点点C C开开始始沿沿CBCB向向点点B B以以3 3厘厘米米/秒秒的的速速度度运运动动，P P、Q Q分分别别从从点点A A点点C C同同时时出出发发，当当其其中中一一点点到到达达端端点点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t t秒，求：秒，求：1 1）t t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCDPQCD为平行四边形为平行四边形2)2)t t为何值时，等腰梯形为何值时，等腰梯形？1t3t5.1)解：ADBC，只要QC=PD，则四边形PQCD为平行四边形，CQ=3t，AP=t 3t=24-t t
10、=6，当t=6秒时，四边形PQCD为平行四边形 由题意，只要PQ=CD，PDQC，则四边形PQCD为等腰梯形FE过P、D分别作BC的垂线交BC于E、F，则EF=PD，QE=FC=2 t=7，当t=7秒时，四边形PQCD为等腰梯形。5.2)解：455543.如图如图(1):在梯形在梯形ABCD中，中，ABCD，AD=BC=5cm,AB=4cm,CD=10cm,BEAD。如图如图(2):若整个若整个BEC从图从图(1)的位置出发，以的位置出发，以1cm/s的速度沿射线的速度沿射线CD方向平方向平移，在移，在BEC平移的同时，点平移的同时，点P从点从点D出发，以出发，以1cm/s的速度沿的速度沿DA
11、向点向点A运动，运动，当当BEC的边的边BE与与DA重合时，点重合时，点P也随之停止运动。设运动时间为也随之停止运动。设运动时间为t(s)（0t4）P问题：连接问题：连接 ,当当t为何值时，为何值时，为直角三角形？为直角三角形？6DP=tt=1.5t=2.545554F433小结小结：PDQMPDQ2、平行、平行4、最值问题（二次函数、最值问题（二次函数、两点之间线段最短）两点之间线段最短）3、求面积、求面积5、平行四边形平行四边形 等腰梯形1、比例、比例 A 6、直角三角形、直角三角形化动为静化动为静 分类讨论分类讨论 数形结合数形结合构建函数模型、方程模型构建函数模型、方程模型思思路路 动
12、点问题 动点题是近年来中考的的一个热点问题，解这类题目要“以静制动”，即把动态问题，变为静态问题来解。一般方法:首先根据题意理清题目中两个变量X、Y及相关常量。第二找关系式。把相关的量用一个自变量的表达式表达出来，再解出。第三，确定自变量范围，画相应的图象。必要时，多作出几个符合条件的草图也是解决问题的好办法。小结小结：收获一：化动为静收获一：化动为静收获二：分类讨论收获二：分类讨论收获三：数形结合收获三：数形结合收获四：构建函数模型、方程模型收获四：构建函数模型、方程模型 ABCDP已知：四边形已知：四边形ABCD是直角梯形是直角梯形,AD/BC,B=90，AB=8，AD=24，BC=26,
13、点点P从从A出发，以每秒出发，以每秒1个单位长度的速度向个单位长度的速度向D运动运动.设运动时间为设运动时间为t秒秒.小试牛刀小试牛刀1、当、当t=时，时，PDC的面积等于的面积等于84.2、当、当t=时，时，PDC是等腰三角形是等腰三角形.已知：四边形已知：四边形ABCD是直角梯形是直角梯形,AD/BC，B=90，AB=8，AD=24，BC=26，点，点 P从从A出出发，以每秒发，以每秒1个单位长度的速度向个单位长度的速度向D运动，点运动，点Q从从C出发，以每秒出发，以每秒3个单位长度的速度向个单位长度的速度向B运动，运动，P、Q同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之同时出发，其中一动
14、点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为停止运动。设运动时间为t秒。秒。ABCDPQ探究学习探究学习（1）当）当t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCD为平行四边形？为平行四边形？已知：四边形已知：四边形ABCD是直角梯形是直角梯形,AD/BC，B=90，AB=8，AD=24，BC=26，点，点 P从从A出出发，以每秒发，以每秒1个单位长度的速度向个单位长度的速度向D运动，点运动，点Q从从C出发，以每秒出发，以每秒3个单位长度的速度向个单位长度的速度向B运动，运动，P、Q同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为停止
15、运动。设运动时间为t秒。秒。ABCDPQ探究学习探究学习（2）当）当t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCD为直角梯形？为直角梯形？已知：四边形已知：四边形ABCD是直角梯形是直角梯形,AD/BC，B=90，AB=8，AD=24，BC=26，点，点 P从从A出出发，以每秒发，以每秒1个单位长度的速度向个单位长度的速度向D运动，点运动，点Q从从C出发，以每秒出发，以每秒3个单位长度的速度向个单位长度的速度向B运动，运动，P、Q同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之同时出发，其中一动点到达终点时，另一动点随之停止运动。设运动时间为停止运动。设运动时间为t秒。秒。ABCDPQ探究学习探究学习
16、（3）当）当t为何值时，四边形为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？为等腰梯形？已知已知:如图所示，在直角梯形如图所示，在直角梯形ABCD中，中，ADBC,C=90，BC=16，DC=12，AD=21.动点动点P从点从点D出出发，沿射线发，沿射线DA的方向以每秒的方向以每秒2个单位长度的速度运动，个单位长度的速度运动，动点动点Q从点从点C出发，在线段出发，在线段CB上以每秒上以每秒1个单位长度的个单位长度的速度向点速度向点B运动。运动。P、Q同时出发，当点同时出发，当点Q运动到点运动到点B时，时，点点P随之停止运动。设运动时间为随之停止运动。设运动时间为t秒。秒。ABC PQD一展身手一展身手1
17、）当）当t=2时，求时，求BPQ的面积。的面积。2）当）当t为何值时，以为何值时，以A、B、Q、P为顶点的四边形为为顶点的四边形为 平行四边形？平行四边形？3）当）当t为何值时，为何值时，BPQ 为等腰三角形？为等腰三角形？.如图如图,ABC中，点中，点O是边是边AC上一个动点，过上一个动点，过O作直线作直线 MN，设，设MN交交BCA的平分线于点的平分线于点E，交，交BCA的外角平分线于点的外角平分线于点F（1）探究：线段）探究：线段OE与与OF的数量关的数量关系并加以证明；系并加以证明；（2）当点）当点O在边在边AC上运动时，四边形上运动时，四边形BCFE会是菱形吗会是菱形吗？若是，请证明
18、，若不是，则说明理由；？若是，请证明，若不是，则说明理由；（3）当点）当点O运动到何处，且运动到何处，且ABC满足什么条件时，四满足什么条件时，四边形边形AECF是正方形？是正方形？一、感知动点一、感知动点1 1、如图：点、如图：点A A、B B是直线是直线l l外一点，点外一点，点P P是直线是直线l l上上一动点，当点一动点，当点P P运动到什运动到什么位置时，么位置时，PA+PBPA+PB的值最的值最小？小？2 2、在四边形、在四边形ABCDABCD中，点中，点P P是边是边CDCD上一动点上一动点E E、F F分别分别是是APAP、BPBP的中点，当点的中点，当点P P在在CDCD上从
19、上从C C向向D D移动时，线段移动时，线段EFEF的长度将（变的长度将（变大、不变、变小）大、不变、变小）二、我能行例例1：菱形：菱形ABCD中，点中，点E是是BC的中的中点，点，AB=6，BAC=12O，点点P是对是对角线角线BD上一动点，则上一动点，则PE+PC的最小的最小值是多少？值是多少？例例2:如图所示，在矩形如图所示，在矩形ABCD中，中，AB=12cm，BC=6cm，点点P沿沿AB边从点边从点A开始向点开始向点B以以2cm/秒的速度移动，点秒的速度移动，点Q沿沿DA边从点边从点D开始向开始向A以以1cm/秒的速度移动，如果秒的速度移动，如果P、Q同时同时出发，用出发，用t（秒）
20、表示移动的时间（秒）表示移动的时间（0t6).(1)t为何值时，为何值时，QAP为等腰直角三角形；为等腰直角三角形；(2)求四边形求四边形QAPC的面积，的面积，二、我能行二、我能行(3)、写一个与、写一个与(2)计计算结果有关的结论算结果有关的结论例例3 3：在：在ABCABC中，点中，点O O是是ACAC边上（端点除外）的边上（端点除外）的一动点，过点一动点，过点O O作直线作直线MNBCMNBC。设。设MNMN交交BCABCA的平的平分线于点分线于点E E，交，交BCABCA的外角平分线于点的外角平分线于点F F，连接，连接AEAE、AF.AF.那么当点那么当点O O运动到何处时，四边形
21、运动到何处时，四边形AECFAECF是是矩形？并证明你的结论。矩形？并证明你的结论。二、我能行个单位长的速度向点个单位长的速度向点A A匀速运动，同时点匀速运动，同时点E E从点从点A A出发出发沿沿ABAB方向以每秒方向以每秒1 1个单位长的速度向点个单位长的速度向点B B匀速运动，匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动动.设点设点D D、E E运动的时间是运动的时间是t t秒（秒（t t0 0）.过点过点D D作作DFDFBCBC于点于点F F，连接，连接DEDE、EFEF.（1 1）求证：）求证：AEAE=DFDF；（2 2）
22、四边形）四边形AEFDAEFD能够成为菱形吗？如果能，求出相能够成为菱形吗？如果能，求出相应的应的t t值；如果不能，说明理由值；如果不能，说明理由.1 1、如图，在、如图，在RtABCRtABC中，中，B=90B=90，BC=5BC=5，C=30.C=30.点点D D从点从点C C出发沿出发沿CACA方向以每秒方向以每秒2 22 20 01 11 1河河南南 如图，在四边形如图，在四边形ABCDABCD中，中，ADBCADBC，A=D A=D，点，点E E是线段是线段ADAD上的一动点（不与上的一动点（不与A A、D D重重合），合），G G、F F、H H分别是分别是BEBE、BCBC、C
23、ECE的中点。的中点。（1 1）、试探索四边形）、试探索四边形ECFHECFH的形状，并说明理由。的形状，并说明理由。（2 2）、当点）、当点E E运动到什么位置时，四边形运动到什么位置时，四边形ECFHECFH是菱形是菱形？并加以证明。？并加以证明。（3 3）、若（）、若（2 2）中的菱形是正方形，请探索线段）中的菱形是正方形，请探索线段EFEF与与线段线段BCBC的关系，并证明你的结论。的关系，并证明你的结论。2 20 00 09 9临临沂沂.已知：等边已知：等边ABC的边长为的边长为4厘米，长为厘米，长为1厘米的线段厘米的线段MN在在ABC的边的边AB上沿上沿AB方向以方向以1厘米厘米/
24、秒的速度向秒的速度向B点运动（运动开点运动（运动开始时，点始时，点M与点与点A重合，点重合，点N到达点到达点B时运动终止），过点时运动终止），过点M、N分分别作别作AB边的垂线，与边的垂线，与ABC的其它边交于的其它边交于P、Q两点，线段两点，线段MN运运动的时间为动的时间为t秒秒（1）线段）线段MN在运动的过程中，在运动的过程中，t为何值时，四边形为何值时，四边形MNQP恰为矩恰为矩形？并求出该矩形的面积；形？并求出该矩形的面积；（2）线段）线段MN在运动的过程中，四边形在运动的过程中，四边形MNQP的面积为的面积为S，运动的，运动的时间为时间为t求四边形求四边形MNQP的面积的面积S随运动
25、时间随运动时间t变化的函数关系式，变化的函数关系式，并写出自变量并写出自变量t的取值范围的取值范围.如图，四边形如图，四边形OABC的直角顶点的直角顶点O是坐标原点，边是坐标原点，边OA，OC分别在分别在x轴、轴、y轴的正半轴上，轴的正半轴上，OABC，D是是BC上上一点，一点，BD=,OA=，AB=3，OAB=45，E、F分别是线段分别是线段OA、AB上的两动点，且始终保持上的两动点，且始终保持DEF=45（1）直接写出）直接写出D点的坐标；（点的坐标；（2）设）设OE=x，AF=y，当，当y与与x相等时，求相等时，求E点坐标；点坐标；（3）当）当AEF是等腰三角形时，将是等腰三角形时，将AEF沿沿EF折叠，得折叠，得到到，求，求与五边形与五边形OEFBC重叠部分的面积重叠部分的面积谢谢！谢谢！请各位老师批评指正！请各位老师批评指正！