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1、利用圆内接正多边形来推算圆面积利用圆内接正多边形来推算圆面积 割圆术割圆术:圆内接正六边形面积圆内接正六边形面积圆内接正十二边形面积圆内接正十二边形面积圆内接正二十四边形的面积圆内接正二十四边形的面积面积值构成一列有次序的数面积值构成一列有次序的数一、数列极限的定义1.问题的引入内接正多边形与圆的差别越小内接正多边形与圆的差别越小,内接正多边形无限内接正多边形无限接近于圆接近于圆,例如例如2.数列的定义从几何上看从几何上看,数列对应着数轴上一个点列数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点可看作一动点在数轴上依次取在数轴上依次取数列是自变量取正整数的函数数列是自变量取正整数的函数观察重点观察重点:
2、3.数列极限(sequence limit)的定义问题问题:“无限接近无限接近”意味着什么意味着什么?如何用数学语言刻划如何用数学语言刻划它它.方法方法:两数之间的接近程度可以用两数之差的绝两数之间的接近程度可以用两数之差的绝对值对值(即距离即距离)来表示来表示.数列极限的定义数列极限的定义例如例如,趋势不定收 敛发 散关于定义的说明关于定义的说明:(3)几何解释几何解释:(4)极限概念的简写形式极限概念的简写形式(5)数列极限的定义未给出如何求数列的极限数列极限的定义未给出如何求数列的极限.例例1证证例例2证证注意注意:二、收敛数列的性质二、收敛数列的性质证证:用反证法.及且取因故存在 N1
3、,从而同理,因故存在 N2,使当 n N2 时,有1.收敛数列的极限唯一收敛数列的极限唯一.使当 n N1 时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当 n N 时,故假设不真!满足的不等式例例4.证明数列是发散的.证证:用反证法.假设数列收敛,则有唯一极限 a 存在.取则存在 N,但因交替取值 1 与1,内,而此二数不可能同时落在长度为 1 的开区间 使当 n N 时,有因此该数列发散.2.收敛数列一定有界收敛数列一定有界.证证:设取则当时,从而有取 则有由此证明收敛数列必有界.说明说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列3.收敛数列的保号性收敛数列的保号性.若且时,有
4、证证:对 a 0,取推论推论:若数列从某项起(用反证法证明)*4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证证:设数列是数列的任一子数列.若则当 时,有现取正整数 K,使于是当时,有从而有由此证明*由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明说明:五、小结数列数列:研究其变化规律研究其变化规律;数列极限数列极限:极限思想、精确定义、几何意义极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质收敛数列的性质:有界性、唯一性、子数列的收敛性有界性、唯一性、子数列的收敛性.1.自变量趋于有限值时函数的极限实例实例测量正方形的面积测量正方形的面积