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1、一、空间直线的一般方程二、空间直线的对称式方程与参数方程三、两直线的夹角四、直线与平面的夹角五、杂例 7.8 空间直线及其方程上页下页铃结束返回首页上页下页铃结束返回首页分析：点M在直线L上点M同时在这两个平面上 点M的坐标同时满足这两个平面的方程 一、空间直线的一般方程 空间直线可以看作是两个平面的交线 设直线L是平面1和2的交线 平面的方程分别为 A1xB1yC1zD10和A2xB2yC2zD20 这就是空间直线的一般方程 来表示 那么直线L可以用方程组首页上页下页铃结束返回首页二、空间直线的对称式方程与参数方程 如果一个非零向量平行于一条已知直线 这个向量就叫做这条直线的方向向量 v方向
2、向量 直线上任一向量都平行于该直线的方向向量 当直线L上一点M0(x0 y0 x0)和它的一方向向量s(m n p)为已知时 直线L的位置就完全确定了 v确定直线的条件 下页上页下页铃结束返回首页v直线的对称式方程 求通过点M0(x0 y0 x0)方向向量为s(m n p)的直线的方程 (xx0 yy0 zz0)/s 从而有这就是直线的方程 叫做直线的对称式方程 直线的任一方向向量s的坐标m、n、p叫做这直线的一组方向数 向量s的方向余弦叫做该直线的方向余弦 则从M0到M的向量平行于方向向量:设M(x y z)为直线上的任一点下页注上页下页铃结束返回首页通过点M0(x0 y0 x0)方向向量为
3、s(m n p)的直线方程:v直线的参数方程 此方程组就是直线的参数方程 下页上页下页铃结束返回首页提示：先求直线上的一点 再求这直线的方向向量s 提示：提示：提示：于是(1 2 0)是直线上的一点 在直线的一般方程中令x1 解 以平面xyz1和2xy3z4的法线向量的向量积作为直线的方向向量 s:4ij3ks(ijk)(2ij3k)可得y2 z0 所给直线的对称式方程为下页 例1 所给直线的参数方程为 x14t y2t z3t 上页下页铃结束返回首页三、两直线的夹角 两直线的方向向量的夹角(通常指锐角)叫做两直线的夹角 设直线L1和L2的方向向量分别为 s1(m1 n1 p1)和s2(m2
4、n2 p2)那么L1和L2的夹角j满足下页上页下页铃结束返回首页方向向量分别为(m1 n1 p1)和(m2 n2 p2)的直线的夹角余弦:例2 解 两直线的方向向量分别为 设两直线的夹角为j 则(1 4 1)和(2 2 1)下页上页下页铃结束返回首页v两直线垂直与平行的条件 设有两直线 L1 L2m1m2n1n2p1p20;则首页方向向量分别为(m1 n1 p1)和(m2 n2 p2)的直线的夹角余弦:上页下页铃结束返回首页提示：四、直线与平面的夹角 当直线与平面不垂直时 直线和它在平面上的投影直线的夹角j称为直线与平面的夹角 当直线与平面垂直时 规定直线与平面的夹角为90 设直线的方向向量为
5、s(m n p)平面的法线向量为n(A B C)则直线与平面的夹角j 满足 下页上页下页铃结束返回首页 方向向量为(m n p)的直线与法线向量为(A B C)的平面的夹角j 满足 v直线与平面垂直和平行的条件 设直线L的方向向量为s(m n p)平面 的法线向量为n(A B C)则 L/AmBnCp0 下页上页下页铃结束返回首页 例3 求过点(1 2 4)且与平面2x3yz40垂直的直线的方程 平面的法线向量(2 3 1)可以作为所求直线的方向向量 由此可得所求直线的方程为首页 解 设直线L的方向向量为s(m n p)平面 的法线向量为n(A B C)则 L/AmBnCp0 上页下页铃结束返
6、回首页 平面x4z3和2xy5z1的交线的方向向量就是所求直线的方向向量 s 五、杂例 例4 求与两平面x4z3和2xy5z1的交线平行且过点(3 2 5)的直线的方程 解 因为所以 所求直线的方程为下页上页下页铃结束返回首页 x2t y3t z42t 代入平面方程中 得 2(2t)(3t)(42t)60 解上列方程 得t1 将t1代入直线的参数方程 得所求交点的坐标为 x1 y2 z2 解 所给直线的参数方程为 下页 例5 上页下页铃结束返回首页 解 下页 例6 的直线的方程 所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0)过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x2)
7、(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2)提示：求出两直线的交点是关键 而交点就是过已知点且与已知直线相垂直的平面与已知直线的交点上页下页铃结束返回首页 解 下页 例6 的直线的方程 所求直线的方向向量为 s(1 2 2)(2 1 2)(1 1 0)过已知点且与已知直线相垂直的平面的方程为 (x2)(y1)2(z2)0 即xy2z7 此平面与已知直线的交点为(1 2 2)所求直线的方程为上页下页铃结束返回首页分析：因为A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 所以对于任何一个l值 上述方程的系数不全为零 从而它表示一个平面 分析：对于不同的l值 所对应的平面也
8、不同 而且这些平面都通过直线L 即这个方程表示通过直线L的一族平面 分析：另一方面 任何通过直线L的平面也一定包含在上述通过L的平面族中 v平面束 考虑三元一次方程:A1xB1yC1zD1l(A2xB2 yC2zD2)0 即 (A1lA2)x(B1lB2)y(C1lC1)zD1lD20其中l为任意常数下页其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 设直线L的一般方程为上页下页铃结束返回首页 上述方程表示通过定直线L的所有平面的全体 称为平面束 下页v平面束 考虑三元一次方程:A1xB1yC1zD1l(A2xB2 yC2zD2)0 即 (A1lA2)x(B1lB2)y(C1lC1)zD1
9、lD20其中l为任意常数其中系数A1、B1、C1与A2、B2、C2不成比例 设直线L的一般方程为上页下页铃结束返回首页提示：我们要在通过已知直线的平面束中找出与已知平面相垂直的平面 此平面与已知平面的交线就是所求的投影直线提示：这是平面束的法线向量(1l 1l 1l)与已知平面的法线向量(1 1 1)的数量积 (xyz1)l(xyz1)0 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0 为了求得与已知平面xyz0垂直的平面 令 (1l)1(1l)1(1l)10 解 设通过已知直线的平面束的方程为 下页的方程 例7 上页下页铃结束返回首页即 yz10 2y2z20 于是得到与已知平面垂直的平面的方程为 解得l1 所以投影直线的方程为 结束 (xyz1)l(xyz1)0 即 (1l)x(1l)y(1l)z(1l)0 为了求得与已知平面xyz0垂直的平面 令 (1l)1(1l)1(1l)10 解 设通过已知直线的平面束的方程为 的方程 例7