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1、 常微分方程数值解常微分方程数值解 考虑考虑一阶一阶常常微分方程的微分方程的初值问题初值问题:只要只要 f(x,y)在在a,b R1 上连续，且关于上连续，且关于 y 满足满足 Lipschitz 条条件件，即存在与，即存在与 x,y 无关的常数无关的常数 L 使使对任意定义在对任意定义在 a,b 上的上的 y1(x)和和 y2(x)都成立，则上述问题都成立，则上述问题存在唯一解存在唯一解。要计算出解函数要计算出解函数 y(x)在一系列节点在一系列节点 a=x0 x1 xn=b 处的近似值处的近似值节点间距节点间距 为步长，通常采用为步长，通常采用等距节点等距节点，即取，即取 hi=h(常数常
2、数)。1 欧拉方法欧拉方法 欧拉公式：欧拉公式：记为记为在在假假设设 yi=y(xi)，即即第第 i 步步计计算算是是精精确确的的前前提提下下，考考虑的截断误差虑的截断误差 Ri=y(xi+1)yi+1 称为称为局部截断误差局部截断误差若若某某算算法法的的局局部部截截断断误误差差为为O(hp+1)，则则称称该该算算法法有有p 阶精度。阶精度。欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：欧拉法具有欧拉法具有 1 阶精度。阶精度。隐式欧拉法隐式欧拉法)(,()(1101xyxfhyxy+)1,.,0(),(111=+=+niyxfhyyiiii由于未知数由于未知数 yi+1 同时出现在等式的两边，
3、不能直接得到，故同时出现在等式的两边，不能直接得到，故称为称为隐式隐式 欧拉公式，而前者称为欧拉公式，而前者称为显式显式 欧拉公式。欧拉公式。一般先用显式计算一个初值，再一般先用显式计算一个初值，再迭代迭代求解。求解。隐式隐式欧拉法的局部截断误差：欧拉法的局部截断误差：即即隐式欧拉公式具有隐式欧拉公式具有 1 阶精度。阶精度。梯形公式梯形公式 显、隐式两种算法的显、隐式两种算法的平均平均 局部截断误差局部截断误差 ，即梯形公式具有即梯形公式具有2 阶精度，比欧拉方法有了进步。阶精度，比欧拉方法有了进步。但注意到该公式是但注意到该公式是隐式隐式公式，计算时不得不用到公式，计算时不得不用到迭代法，
4、计算量大迭代法，计算量大。改进欧拉法改进欧拉法Step 1:先用先用显式显式欧拉公式作欧拉公式作预测预测，算出，算出),(1iiiiyxfhyy+=+Step 2:再将再将 代入代入隐式隐式梯形公式的右边作梯形公式的右边作校正校正，得到，得到1+iy),(),(2111+=iiiiiiyxfyxfhyy注：注：此法亦称为此法亦称为预测预测-校正法校正法。可以证明该算法具有可以证明该算法具有 2 阶精阶精度，同时可以看到它是个度，同时可以看到它是个单步单步递推格式，比隐式公式的递推格式，比隐式公式的迭代求解过程迭代求解过程简单简单。另外，它的。另外，它的稳定性高稳定性高于显式欧拉法。于显式欧拉法
5、。龙格龙格-库塔法库塔法建立高精度的单步递推格式。建立高精度的单步递推格式。单步递推法的单步递推法的基本思想基本思想是从是从(xi,yi)点出发，以点出发，以某一斜某一斜率率沿直线达到沿直线达到(xi+1,yi+1)点。欧拉法及其各种变形所点。欧拉法及其各种变形所能达到的最高精度为能达到的最高精度为2阶阶。考察改进的欧拉法，可以将其改写为：考察改进的欧拉法，可以将其改写为：首先希望能确定系数首先希望能确定系数 1、2、p，使得到的算法格式有使得到的算法格式有2阶阶精度，即在精度，即在 的前提假设下，使得的前提假设下，使得 Step 1:将将 K2 在在(xi,yi)点作点作 Taylor 展开
6、展开将将改进欧拉法推广为：改进欧拉法推广为：),(),(12122111phKyphxfKyxfKKKhyyiiiiii+=+=+Step 2:将将 K2 代入第代入第1式，得到式，得到Step 3:将将 yi+1 与与 y(xi+1)在在 xi 点点的的泰勒泰勒展开作比较展开作比较要求要求 ，则必须有：，则必须有：存在存在无穷多个解无穷多个解。所有满足上式的格式统称为。所有满足上式的格式统称为2阶龙格阶龙格-库库塔格式塔格式。注意到，注意到，就是改进的欧拉法。就是改进的欧拉法。为获得更高的精度，进一步推广为获得更高的精度，进一步推广其中其中 i (i=1,m)，i (i=2,m)和和 ij(
7、i=2,m;j=1,i 1)均为待均为待定系数，确定这些系数定系数，确定这些系数的步骤与前面相似。的步骤与前面相似。).,(.),(),(),(.1122112321313312122122111 +=+=+=+=mm mmmmimiiiiiimmiihKhKhKyhxfKhKhKyhxfKhKyhxfKyxfKKKKhyy 最常用为四级最常用为四级4阶阶经典龙格经典龙格-库塔法库塔法：收敛性与稳定性收敛性与稳定性 收敛性收敛性 若若某某算算法法对对于于任任意意固固定定的的 x=xn=x0+n h，当当 h0(同时同时n )时有时有 yn y(xn)，则称该算法是则称该算法是收敛收敛的。的。例：例：就初值问题就初值问题 考察欧拉显式格式的收敛性。考察欧拉显式格式的收敛性。解：解：该问题的精确解为该问题的精确解为 欧拉欧拉公式为公式为对对任意固定的任意固定的 x=xi=i h，有有 稳定性稳定性若若某某算算法法在在计计算算过过程程中中任任一一步步产产生生的的误误差差在在以以后后的的计计算中都不会增长，则称该算法是算中都不会增长，则称该算法是稳定的稳定的。一般来说，隐式欧拉法的稳定性比同阶的显式法的好。一般来说，隐式欧拉法的稳定性比同阶的显式法的好。