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1、Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率返回返回Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics一、隐函数的导数一、隐函数的导数1 1 复习复习:函数的表示法函数的表示法 1.1.直接表示
2、直接表示:解析式解析式 y=f(x)xD,这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数2 2 间接表示间接表示 (1)(1)由一个方程由一个方程F(x,y)=0)=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可确定函数 ,(2)(2)由两个方程确定由两个方程确定(带一个中间变量带一个中间变量)参数方程参数方程:t t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化.Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Math
3、ematics2 2 隐函数的定义隐函数的定义一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下在一定条件下当当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一相应地总有满足这方程的唯一的的y值存在值存在,那么就说方程那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐在该区间内确定了一个隐函数函数例例1 1 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x),方程左边对方程左边对x求导得求导得方程右边对方程右边对x求导得求导得所以所以Tian
4、jin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics从而从而注意注意:在这个结果中在这个结果中,分式中的分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数例例2 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处的处的 导数导数因为当因为当x=0时时,从原方程得从原方程得y=0,所以所以解解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,由此得由此得所以所以 Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Adv
5、anced Mathematics例例3 求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程(图图2-6)解解 由导数的几何意义知道由导数的几何意义知道,所求切线的斜率所求切线的斜率为为椭圆方程的两边分别对椭圆方程的两边分别对x求导求导,有有从而从而当当x=2时时,代入上式得代入上式得于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为即即Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数解解 应用隐函数的求导方法应用隐函数的求导方法,得得于是于是上式
6、两边再对上式两边再对x求导求导,得得上式上式右端分式中的右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确所确定的隐函数定的隐函数Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics3.对数求导法对数求导法方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求然后利用隐函数的求导方法求出导数出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围:下面通过例子来说明这种方法下面通过例子来说明这种方法例例5解解等式两边取对数得等式两边取对数得Tianjin Polytechnic UniversityTeac
7、hing Plan on Advanced Mathematics一般地一般地Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics幂指幂指函数函数 也可表示成也可表示成这样这样,便可直接求得便可直接求得Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例6 求求 的导数的导数两边对两边对x求导求导于是于是解解 两边取对数两边取对数(假定假定 x4),得得Tianjin Polytechnic UniversityTeaching
8、 Plan on Advanced Mathematics当当2x3时时,用用同样的方法可得与上面相同的结果同样的方法可得与上面相同的结果返回返回当当x1时时,Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数求导方法求导方法Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得Tianjin Polytech
9、nic UniversityTeaching Plan on Advanced MathematicsTianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例7 7 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求求椭圆在椭圆在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程解解 当当 时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点 的坐标是的坐标是:Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics 曲线在曲线在 点的切线斜率为点的切线斜率为:代入点斜
10、式方程代入点斜式方程,即得椭圆在点即得椭圆在点 处的切线方程处的切线方程化简后得化简后得Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例8 已知抛射体的运动轨迹的参数方程为已知抛射体的运动轨迹的参数方程为 求求抛射体在时刻抛射体在时刻t的运动速度的大小和方向的运动速度的大小和方向解解 先求速度的大小先求速度的大小由于速度的水平分量为由于速度的水平分量为铅直分量为铅直分量为所以抛射体运动速度的大小为所以抛射体运动速度的大小为Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Pla
11、n on Advanced Mathematics在求在求速度的方向速度的方向,也就是轨迹的切线方向也就是轨迹的切线方向设设 是切线的倾角是切线的倾角,则根据导数的几何意义则根据导数的几何意义,得得所以所以,在抛射体刚射出在抛射体刚射出(即即t=0)时时,当当 时时这时这时,运动方向是水平的运动方向是水平的,即抛物体达到最高点即抛物体达到最高点Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例9 计算由摆线的参数方程计算由摆线的参数方程所所确定的函数确定的函数y=y(x)的二阶导数的二阶导数解解返回返回Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics三、相关变化率三、相关变化率相关变化率的定义相关变化率的定义:例例10Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics解解仰角增加率仰角增加率即观察员视线的仰角增加率是即观察员视线的仰角增加率是0.14rad/min返回返回