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1、第三节第三节 隐函数的导数及由参数方程隐函数的导数及由参数方程所确定所确定一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、相参数方程的求导法三、相参数方程的求导法的函数的导数的函数的导数 一、隐函数的导数一、隐函数的导数1 1 复习复习:函数的表示法函数的表示法(1)(1)直接表示直接表示:解析式解析式 y=f(x)xD,这样描述的函数称为显函数这样描述的函数称为显函数(2)(2)间接表示间接表示 由一个方程由一个方程F(x,y)=0)=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可确定函数 ,由两个方程确定由两个方程确定(带一个中间变量带一个中间变量)参数方程参数方程:t
2、t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数.把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数,叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化.2 2 隐函数的定义隐函数的定义一般地一般地,如果变量如果变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下在一定条件下当当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的唯一的相应地总有满足这方程的唯一的y值存在值存在,那么就说方程那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐函在该区间内确定了一个隐函数数隐函数的求导方法隐函数的求导方法:(1)(1)将方程将方程F(x,y)=0F(x,y)=0两端
3、对两端对x x求导求导,在求导过程中在求导过程中要记住要记住y y是是x x的函数的函数;y;y的函数是的函数是x x的复合函数的复合函数.例例1 1 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,注意注意y=y(x),方程左边对方程左边对x求导得求导得方程右边对方程右边对x求导得求导得所以所以从而从而注意注意:在这个结果中在这个结果中,分式中的分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数例例2 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处的处的 导数导数因为当因为当x=0时时,从原方程得
4、从原方程得y=0,所以所以解解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,由此得由此得所以所以 例例3 求圆求圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程.解解 由导数的几何意义知道由导数的几何意义知道,所求切线的斜率为所求切线的斜率为圆方程的两边分别对圆方程的两边分别对x求导求导,有有从而从而从而在从而在 处的切线率为处的切线率为于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为即即二、对数求导法二、对数求导法方法方法:先在方程两边取对数先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导方法求然后利用隐函数的求导方法求出导数出导数.-对数求导法对数求导法适用范围适用范围
5、:下面通过例子来说明这种方法下面通过例子来说明这种方法例例5解解等式两边取对数得等式两边取对数得一般地一般地幂指函数幂指函数 也可表示成也可表示成这样这样,便可直接求得便可直接求得例例6 求求 的导数的导数两边对两边对x求导求导于是于是解解 两边取对数两边取对数(假定假定 x4),得得三、由参数方程所确定的函数的导数三、由参数方程所确定的函数的导数求导方法求导方法由复合函数及反函数的求导法则得由复合函数及反函数的求导法则得例例7 7 已知椭圆的参数方程为已知椭圆的参数方程为求椭圆在求椭圆在 相应的点处的切线方程相应的点处的切线方程解解 当当 时时,椭圆上的相应点椭圆上的相应点 的坐标是的坐标是:曲线在曲线在 点的切线斜率为点的切线斜率为:代入点斜式方程代入点斜式方程,即得椭圆在点即得椭圆在点 处的切线方程处的切线方程化简后得化简后得一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、对数求导法二、对数求导法三、相参数方程的求导法三、相参数方程的求导法课堂小结课堂小结 课堂练习课堂练习P-53