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1、盈亏问题盈亏问题 n n在实际生活中，我们经常遇到这样的问题：在实际生活中，我们经常遇到这样的问题：“小萍到商店去买花布，她的钱买小萍到商店去买花布，她的钱买2米多米多1元元5角，角，买买3米就差米就差1元元.问花布多少钱一米，小萍带了多问花布多少钱一米，小萍带了多少钱？少钱？”“幼儿园老师拿来一筐桔子分给小朋友吃，每幼儿园老师拿来一筐桔子分给小朋友吃，每人分人分2个则多个则多3个，每人分个，每人分3个则差个则差4个，问小朋友个，问小朋友有几人？有几人？”像这样一类的问题，我们称为盈亏问题像这样一类的问题，我们称为盈亏问题.盈就盈就是多余，亏就是不足是多余，亏就是不足.那么盈亏问题怎么解呢？那
2、么盈亏问题怎么解呢？我们就从上面两个例子谈起我们就从上面两个例子谈起.第一个例子，小萍买花布，买第一个例子，小萍买花布，买2米还多米还多1元元5角，角，买买3米就差米就差1元，说明一米花布的价格应该是元，说明一米花布的价格应该是 150+100=250（分）（分）=2元元5角角.因此小萍带的钱数因此小萍带的钱数为为 2502+150=500+150=65（分）（分）=6元元5角角.或者或者 2503-100=750-100=65（分）（分）=6元元5角角.也就是说也就是说不足的钱不足的钱+多余的钱多余的钱=1米花布的价钱米花布的价钱.在第在第2个例子中，一筐桔子分给小朋友，个例子中，一筐桔子分
3、给小朋友，每人分每人分2个则多个则多3个，每人分个，每人分3个则差个则差4个，个，说明小朋友人数为：说明小朋友人数为：3+4=7（人）（人）.也就是也就是说不足的个数说不足的个数+多余的个数多余的个数=小朋友的人小朋友的人数数.一般地，一批物品分给一定数量的人，一般地，一批物品分给一定数量的人，第一种分配方法有多余的物品（盈），第第一种分配方法有多余的物品（盈），第二种分配方法则不足（亏），当两种分配二种分配方法则不足（亏），当两种分配方法相差一个物品时，那就有方法相差一个物品时，那就有n n盈数盈数+亏数亏数=人数人数.1n n这是关于盈亏问题很重要的一个关系这是关于盈亏问题很重要的一个关系
4、式式.n n盈亏问题训练题：1、若干学生去划船，租了一些船，如果每船4人则多5人，如果每船5人则船上有4个空位，有多少个学生？有多少条船？2、一些水果，分给小朋友，如果每人分7个，这剩下 14个，如果每人分8个，这剩下2个，有多少个小朋友，有多少个水果？3、一根绳子绕树三圈余3尺，如果绕树4圈则差4尺，树干周长几尺？绳长几尺？4、学校有若干间宿舍，每间住6人，则空余1间；每间住5人，刚正好住完.问学校有几间宿舍，住了多少人？问题问题1：一堆桃子分给一群猴子，如果每只一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分如果每只猴
5、子分8个桃子，则刚好分完个桃子，则刚好分完.求求有多少只猴子，多少个桃子？有多少只猴子，多少个桃子？但注意，当两次分配的物品相差多于1个时，情况就不一样.请看：分析分析：按第一种分法，每只猴子分：按第一种分法，每只猴子分10个桃子，有两只猴子没有分个桃子，有两只猴子没有分到，就是桃子不足，差到，就是桃子不足，差20个（因为这两只猴子应该各分个（因为这两只猴子应该各分10个桃子）个桃子）；按第二种分法，每只猴子；按第二种分法，每只猴子8个桃子，刚好分完，也就是不多不个桃子，刚好分完，也就是不多不少，或者说盈数为零少，或者说盈数为零.每只猴子分每只猴子分8个刚好分完，每只猴子多分个刚好分完，每只猴
6、子多分2个（每只猴子个（每只猴子10个个桃子）就差桃子）就差20个，说明猴子数目应为：个，说明猴子数目应为：202=10（只）（只）.桃子数当然就是桃子数当然就是80个了个了.也就是（不足的桃子数也就是（不足的桃子数+多余的桃子多余的桃子数）数）2=猴子的只数猴子的只数.一般地，在盈亏问题中：一般地，在盈亏问题中：（盈数（盈数+亏数）亏数）（两次的差）（两次的差）=人数人数.问题问题1：一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分一堆桃子分给一群猴子，如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分子分8个桃子，则刚好分完个桃子，则刚好分完.求有多
7、少只猴子，多求有多少只猴子，多少个桃子？少个桃子？解解 每只猴子分每只猴子分8个桃子刚好分完，每只猴子分个桃子刚好分完，每只猴子分10个个桃子，就差桃子，就差20个个.所以猴子数为：所以猴子数为：20（10-8）=10（只）（只）.桃子数目为：桃子数目为：810=80（个）（个）.答：猴子有答：猴子有10只，桃子有只，桃子有80个个.例例2：实验小学学生乘车去春游，如果每实验小学学生乘车去春游，如果每辆车坐辆车坐60人，则有人，则有15人上不了车；如果每辆人上不了车；如果每辆车多坐车多坐5人，恰好多出一辆车人，恰好多出一辆车.问一共有几辆问一共有几辆车，多少个学生？车，多少个学生？n n解解
8、每辆车坐60人，则多余15人，每辆车坐60+5=65人，则多出一辆车，也就是差65人.因此车辆数目为：（65+15）5=805=16（辆）.学生人数为：60（16-1）+15=6015+15=900+15=915（人）.答：一共有16辆车，915名学生.问题问题3：用一根长绳测量井的深度，用一根长绳测量井的深度，如果绳子两折时，多如果绳子两折时，多5米；如果绳子米；如果绳子3折时，差折时，差4米米.求绳子长度和井深求绳子长度和井深.n n分析分析分析分析 这还是一个盈亏问题，为了帮助思考，我们画一个示意图这还是一个盈亏问题，为了帮助思考，我们画一个示意图.从从图中看出，当绳子长一定，井深度一定
9、，绳子折图中看出，当绳子长一定，井深度一定，绳子折2 2折比井深多折比井深多5 5米，米，实际意思是绳子长度是井深的实际意思是绳子长度是井深的2 2倍多倍多1010米即米即52=1052=10（米）（米）.n n绳子折绳子折3 3折，差折，差4 4米，就是说绳子的长是井深的米，就是说绳子的长是井深的3 3倍差倍差1212米即米即43=1243=12（米），由此我们就很容易计算出绳子长和井深了（米），由此我们就很容易计算出绳子长和井深了.解解 井的深度为：井的深度为：（52+43）（3-2）=221=22（米）（米）.绳子长度为：（绳子长度为：（22+5）2=272=54（米），（米），或者或者
10、（22-4）3=183=54（米）（米）.答：井深答：井深22米，绳长米，绳长54米米.盈亏问题的解法盈亏问题的解法 例：环保小组的同学上山植树，如果每人种例：环保小组的同学上山植树，如果每人种3棵，则还剩棵，则还剩3棵；如果每人种棵；如果每人种4棵，则还差棵，则还差2棵。环保小组有多少人？一共植树多少棵？棵。环保小组有多少人？一共植树多少棵？分析与解：这是一道典型的盈亏应用题。盈，就是分析与解：这是一道典型的盈亏应用题。盈，就是多余；亏，就是不足、少的意思。比较两种植树方多余；亏，就是不足、少的意思。比较两种植树方式，第一种多了式，第一种多了3棵，第二种少了棵，第二种少了2棵，一多一少共棵，
11、一多一少共相差相差325（棵）。显然，相差棵）。显然，相差5棵的原因是第二棵的原因是第二种植树方式每人种的棵数比第一种多了种植树方式每人种的棵数比第一种多了431（棵）。根据（棵）。根据“相差的总数相差的总数相差的每份数份数相差的每份数份数”得出，环保小组的人数是得出，环保小组的人数是51=5（人），一共植（人），一共植树树35+3=18（棵），或（棵），或452=18（棵）。（棵）。从中得出：解盈亏问题，要先比较从中得出：解盈亏问题，要先比较“盈盈”与与“亏亏”两种情况，求出两种情况下总数之间两种情况，求出两种情况下总数之间的差，像上题是一盈一亏，差盈亏；再的差，像上题是一盈一亏，差盈亏；再
12、找出出现这个差的原因是每份数不同，求出找出出现这个差的原因是每份数不同，求出两个每份数之间的差；最后根据两个每份数之间的差；最后根据“总数差总数差每份差每份差=份数份数”对应求出份数以及总数。对应求出份数以及总数。盈亏问题还有另外两种情况：两盈与两不足。盈亏问题还有另外两种情况：两盈与两不足。有些题还要通过转化，先找出有些题还要通过转化，先找出“盈亏盈亏”数。数。例例1.工程队修一条路，如果每天修工程队修一条路，如果每天修150米，则可以提前米，则可以提前2天完成任务；如果每天完成任务；如果每天修天修180米，则可以提前米，则可以提前5天完成任务。天完成任务。这条路全长多少米？这条路全长多少米
13、？分析与解：分析与解：分析与解：分析与解：这道题没有直接给出这道题没有直接给出“盈亏盈亏”数，但由题意可数，但由题意可知，第一种情况如果再修知，第一种情况如果再修2 2天，还可以修天，还可以修1501502=300（米）；第二种情况如果再修（米）；第二种情况如果再修5 5天，还可以修天，还可以修1801805=900（米）。这（米）。这300300米与米与900900米就是两个米就是两个“盈盈”数。数。因此，可以把条件转化为：如果每天修因此，可以把条件转化为：如果每天修150150米，可以多米，可以多修修300300米；如果每天修米；如果每天修180180米，可以多修米，可以多修900900米
14、。显然，这米。显然，这道题是道题是“两盈两盈”类盈亏问题，相差的总数是类盈亏问题，相差的总数是900900300=600米，相差的每份数是米，相差的每份数是180180150=30米，所以计米，所以计划修的天数是划修的天数是60060030=20（天），这条路全长（天），这条路全长150150（202）=2700（米），或（米），或180180（205）=2700 （米）。（米）。.挖一条水渠挖一条水渠,如果每人挖如果每人挖24米米,则超过总则超过总长长120米米,如果每人挖如果每人挖30米米,则超过总长则超过总长300米米.挖渠共有挖渠共有_人人,渠长渠长_米米.做一做做一做解解:(300-
15、120)(30-24)=30(人人);3030-300=600(米米).例：老师给美术活动小组的同学分发画纸。如果每人分3张，则缺2张；如果每人分5张，则缺32张。美术活动小组有多少名同学？一共有多少张图画纸？分析与解：分析与解：这道题没有直接给出“盈亏”数，但由题意可知，大亏小亏=两次相差的总数，即：322=30相差的每份数是53=2张，所以美术活动小组的同学数是302=15人，图画纸张数是1532=43张，或15532=43张。做一做：做一做：动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没个桃子，则有两只猴子没
16、有分到，如果每只猴子分有分到，如果每只猴子分12个桃子，则有个桃子，则有4只猴子没有分到。一共有多少只猴子？有多只猴子没有分到。一共有多少只猴子？有多少个桃子？少个桃子？解：小亏：102=20个 大亏：124=48个两次相差的总数是：4820=28个，相差的每份数是：1210=2个；猴子的只数是：282=14只；桃子的个数是：10（142）=120个 或12（144）=120个 例：学校图书馆买来一批新书，这例：学校图书馆买来一批新书，这些书如果每班借些书如果每班借12本，正好借完，如果本，正好借完，如果每班借每班借18本，就缺少本，就缺少72本书。这批新书本书。这批新书有多少本？有多少本？做一做：1、全班同学站队排成若干行，若每行13人则多10人，若每行15人则刚好站成几行。问：排成了多少行？有多少同学？2、动物园饲养员把一堆桃子分给一群猴子。如果每只猴子分10个桃子，则有两只猴子没有分到，如果每只猴子分8个桃子，正好分完。一共有多少只猴子？有多少个桃子？