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1、第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 上海海事大学物理教研室上海海事大学物理教研室大学物理学第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 主要任务：主要任务：研究物体的转动，及转动状态变化的规律。研究物体的转动，及转动状态变化的规律。刚体刚体(rigid body)：在外力作用下不产生形变的物体在外力作用下不产生形变的物体(无数个连续分布的质点组成的质点系，理想模型无数个连续分布的质点组成的质点系，理想模型)。组。组成刚体的每个质点称为刚体的一个成刚体的每个质点称为刚体的一个质量元质量元质量元质量元(element mass)。每个质量元都服从质点力学规律。每个质
2、量元都服从质点力学规律。特点特点特点特点：任意两点间的距离始终保持不变任意两点间的距离始终保持不变质点质点质点系质点系刚体刚体集合集合特例特例 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3-1 刚体运动的基本形式转动转动(特例特例:定轴转动定轴转动)平动平动 平动转动平动转动运动运动 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 一、平动和转动一、平动和转动一、平动和转动一、平动和转动 1.平动平动(translation)刚体在运动过程中，其上任意刚体在运动过程中，其上
3、任意两点的连线始终保持平行。两点的连线始终保持平行。2.转动转动(rotation)刚体上所有质刚体上所有质点都绕同一直线作圆周运动。这种点都绕同一直线作圆周运动。这种运动称为刚体的转动。这条直线称运动称为刚体的转动。这条直线称为为转轴转轴(rotation axis)。定轴转动：转定轴转动：转轴固定不动的转轴固定不动的转动。动。AB 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 二、描述刚体转动的物理量二、描述刚体转动的物理量二、描述刚体转动的物理量二、描述刚体转动的物理量一般用角量来描述刚体的定轴转动。一般用角量来描述刚体的定轴转
4、动。刚体定轴转动的特点刚体定轴转动的特点：1.转动平面垂直于转轴。转动平面垂直于转轴。2.转动平面上各点均做圆转动平面上各点均做圆周运动，角量相同，线量周运动，角量相同，线量不同。不同。3.定轴转动刚体上各点的定轴转动刚体上各点的角速度矢量角速度矢量 的方向均沿的方向均沿轴线。轴线。转动平面：转动平面：定轴转动刚体上各质点的运动面定轴转动刚体上各质点的运动面 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 角速度：角速度：角速度角速度 的方向：的方向：右旋前进方向右旋前进方向角位置角位置:角位移角位移:线速度与角速度之间的关系：线速度与
5、角速度之间的关系：角加速度矢量：角加速度矢量：1.基本物理量基本物理量 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 注意：注意：注意：注意：、是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不是矢量，在定轴转动中由于轴的方位不变，故用正负表示其方向。变，故用正负表示其方向。在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：刚体定轴转动的运动学中所用的角量关系及角量和刚体定轴转动的运动学中所用的角量关系及角量和线量的关系如下：线量的关系如下：2.定轴转动中的基本关系式定轴转动中的基本关系式 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运
6、动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 飞轮飞轮 30 s 内转过的角度内转过的角度 例例 一飞轮半径为一飞轮半径为 0.2m、转速为转速为150rmin-1，因因受制动而受制动而均匀减速均匀减速，经，经 30 s 停止转动停止转动.试求：试求：（1）角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（角加速度和在此时间内飞轮所转的圈数；（2）制动开）制动开始后始后 t=6 s 时飞轮的角速度；（时飞轮的角速度；（3）t=6 s 时飞轮边缘时飞轮边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度上一点的线速度、切向加速度和法向加速度.解解（1）t=30 s 时，时，设设.飞轮做匀减速运动
7、飞轮做匀减速运动时，时，t=0 s 3-1 3-1 3-1 3-1 刚体运动的基本形式刚体运动的基本形式第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 （2）时，飞轮的角速度时，飞轮的角速度（3）时，飞轮边缘上一点的线速度大小时，飞轮边缘上一点的线速度大小该点的切向加速度和法向加速度该点的切向加速度和法向加速度转过的圈数转过的圈数 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3-2 定轴转动定律 转动惯量第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩一、对转轴的力矩单位：单位：Nm 在垂直于转轴
8、的平面内，外力在垂直于转轴的平面内，外力 与力线到转轴的距离与力线到转轴的距离d d的乘积定义为的乘积定义为对转轴的对转轴的力矩力矩(moment)。本章只涉及沿转轴方向的力矩。本章只涉及沿转轴方向的力矩。沿转轴方沿转轴方向的力矩向的力矩大小大小:方向方向:右旋右旋 前进方向前进方向 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 二、定轴转动定律二、定轴转动定律二、定轴转动定律二、定轴转动定律把刚体看作一个质点系把刚体看作一个质点系加速度：加速度：合内力矩合内力矩0合外力矩合外力矩 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律
9、定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 其中：其中：其中：其中：转动惯量：转动惯量：转动定律：转动定律：刚体定轴转动定律刚体定轴转动定律(law of rotation)：刚体在作定轴刚体在作定轴转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成转动时，刚体的角加速度与它所受到的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比。正比，与刚体的转动惯量成反比。3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 1.定义定义 刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该刚体对定轴的转动惯量等于其各质点的质量与该质点到转轴垂直
10、距离的平方之积求和。质点到转轴垂直距离的平方之积求和。单位：单位：千克千克.米米2三、转动惯量三、转动惯量三、转动惯量三、转动惯量(moment of inertia)3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 2.物理意义物理意义-是物体在转动中惯性大小的量度。是物体在转动中惯性大小的量度。比较比较：m-描述质点惯性的大描述质点惯性的大小小J-描述刚体转动惯性的大描述刚体转动惯性的大小小 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3.转动惯量的计算方法
11、转动惯量的计算方法 质量质量离散离散分布分布 质量质量连续连续分布分布：质量元：质量元：质量：质量线线密度密度：质量：质量面面密度密度：质量：质量体体密度密度面面分布分布线线分布分布体体分布分布dldSdV 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例例例3-13-1.由长l 的轻杆连接的质点如图所示，求质点系对过A垂直于该平面的轴的转动惯量。思考：思考：A点移至质量为点移至质量为2m的杆中心处的杆中心处 J=?解：解：由定义式由定义式 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章
12、章 刚体力学基础刚体力学基础 例例例例3-2.3-2.一长为L的细杆，质量m均匀分布，求该杆对垂直于杆，分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。解解解解:(1)轴过中点轴过中点(2)轴过一端端点轴过一端端点 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例例例3-3.3-3.求质量求质量 m,半径半径 R 的的圆环对中心垂直轴的转动圆环对中心垂直轴的转动惯量。惯量。解解解解:圆环上取微元圆环上取微元dmJ1=mR2+m1R2思考思考1.环上加一质量为环上加一质量为m1的质点的质点,J1=?RO思考思考2.环上有一个环上有一个
13、 x的缺口，的缺口，J2=?xROdmm1 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例例例3-4.3-4.求质量求质量 m,半径半径 R 的的均匀圆盘对中心垂直轴均匀圆盘对中心垂直轴的转动惯量。的转动惯量。P.77 例例3-3 解解解解:圆盘上取半径为圆盘上取半径为r宽度宽度dr的圆环的圆环作为质量元作为质量元dmROrdrO 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 刚体的总质量刚体的总质量(同分布同分布Mm,JMJm)4 影响影响 J 的因素的
14、因素刚体质量分布刚体质量分布(同同m,J中空中空J实实)转轴的位置转轴的位置 转动惯量仅取决于刚体转动惯量仅取决于刚体本身的性质，即与刚体的本身的性质，即与刚体的质量、质量分布以及转轴质量、质量分布以及转轴的位置有关。的位置有关。3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 几种常见刚体转动惯量几种常见刚体转动惯量 圆环转轴通过中心圆环转轴通过中心与盘面垂直与盘面垂直r圆环转轴沿直径圆环转轴沿直径r 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 薄圆盘转轴通过
15、薄圆盘转轴通过中心与盘面垂直中心与盘面垂直r2r1圆筒转轴沿几何轴圆筒转轴沿几何轴r 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 lr圆柱体转轴沿几何轴圆柱体转轴沿几何轴lr 圆柱体转轴通过中圆柱体转轴通过中心与几何轴垂直心与几何轴垂直 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 l 细棒转轴通过中细棒转轴通过中心与棒垂直心与棒垂直l 细棒转轴通过端点细棒转轴通过端点与棒垂直与棒垂直 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯
16、量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 2r球体转轴沿直径球体转轴沿直径2r球壳转轴沿直径球壳转轴沿直径 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 平行轴定理平行轴定理:若刚体对过质心的轴的转动惯量为若刚体对过质心的轴的转动惯量为J Jc c，则刚体对与该轴相距为则刚体对与该轴相距为d 的平行轴的平行轴z的转动惯量的转动惯量J Jz z是是mR RJzJc正交轴定理正交轴定理对平面刚体对平面刚体 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例3-5.
17、3-5.计算钟摆的转动惯量。(已知：摆锤质量为m，半径为r，摆杆质量也为m，长度为2r)r rO解：解：解：解：摆杆转动惯量摆杆转动惯量摆锤转动惯量摆锤转动惯量 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 5.回转半径回转半径(radius of gyration)设物体的总质量为设物体的总质量为m，刚体对给刚体对给定轴的转动惯量为定轴的转动惯量为J，则定义物体则定义物体对该转轴的回转半径对该转轴的回转半径rG为：为：由此得由此得:z 意义：意义：设等价于物体质量集中在回设等价于物体质量集中在回转半径为转半径为rG的圆环上的
18、刚体对中心轴的圆环上的刚体对中心轴的转动惯量。的转动惯量。3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 作业作业3-1,3-3,3-6.提示：提示：3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 四、转动定律的应用举例四、转动定律的应用举例 M 的符号的符号：使刚体向规定的转动正方使刚体向规定的转动正方向加速的力矩为正。向加速的力矩为正。1.1.是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。是矢量式（但在定轴转动中力矩只有两个方向）。2.M、J、是对同一转轴而言的
19、。是对同一转轴而言的。3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例3 3-6 6.质量为M=16kg的实心滑轮，半径为R=0.15m。一根细绳绕在滑轮上，一端挂一质量为m的物体。设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，求：(1)由静止开始1秒钟后，物体下降的距离。(2)绳子的张力。解解：对轮、物受力分析如图对轮、物受力分析如图mMmmgTMgN由转动定律由转动定律由牛顿定律由牛顿定律 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 变形问题：变形问题：mMm1m
20、2RT1T2m1gm2gm2 m1MgNm2MT1T2m2gRm1m1gN1N2Mg 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 M1mm1m2T1T2m1gm2gm2 m1R1R2M2M1T 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例3-73-7.一质量为m，长为l 的均质细杆，可绕垂直于平面、穿过O点的转轴转动，转轴距A 端l/3。今使棒从静止开始由水平位置绕 O点转动，求：(1)水平位置的角速度和角加速度。(2)垂直位置时的角速度和角加速度。(
21、1)OBA解：解：已知已知c由平行轴定理由平行轴定理 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 （2 2）OBAc mg由转动定律由转动定律 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例3-8.一半径为R、质量为m的均匀圆盘平放在粗糙的水平面上。若它的初速度为0，绕中心O旋转，问经过多长时间圆盘才停止。(设摩擦系数为)ORdrr解：解：考察半径为考察半径为r宽度为宽度为dr的圆环的圆环 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯
22、量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 由转动定律由转动定律 3-2 3-2 3-2 3-2 定轴转动定律定轴转动定律 转动惯量转动惯量 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 作业作业 3-7,3-9.提示：提示：3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3-3 刚体定轴转动的机械能和力矩的功 3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 一、刚体的转动动
23、能一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能一、刚体的转动动能质元动能质元动能：刚体的总动能：刚体的总动能：miz平动动能平动动能m 是物体平动惯性的量度是物体平动惯性的量度J 是物体转动惯性的量度是物体转动惯性的量度 3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能二、刚体的重力势能 结论：结论：结论：结论：刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重刚体的重力势能应等于质量集中于质心的重力势能力势能1.刚体的重力势能刚体的重力势能 miz
24、2.刚体的机械能刚体的机械能 3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 三、力矩的功和功率三、力矩的功和功率三、力矩的功和功率三、力矩的功和功率z d 力矩的功：力矩的功：力矩的功：力矩的功：合力矩的功：合力矩的功：合力矩的功：合力矩的功：力矩功率：力矩功率：力矩功率：力矩功率：注：注：注：注：1.力矩求和只能对同一参考点力矩求和只能对同一参考点(或轴或轴)进行。进行。2.3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机
25、械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 四、刚体定轴转动的动能定理四、刚体定轴转动的动能定理四、刚体定轴转动的动能定理四、刚体定轴转动的动能定理合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。合外力矩对刚体所作的功等于刚体转动动能的增量。3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例：例：一细棒质量为一细棒质量为m，长度为长度为l，一端固定在光滑转一端固定在光滑转轴上，静止从水平位置摆下，轴上，静止从水平位置摆下，求求细棒摆到竖直位置细棒摆到竖直位置时的角速度。时的角
26、速度。解：解：以棒为研究对象以棒为研究对象，只有重力产生力矩，且重只有重力产生力矩，且重力矩随摆角变化而变化。力矩随摆角变化而变化。重力矩作功：重力矩作功：N 3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 始末两态动能：始末两态动能：由动能定理：由动能定理：3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 五、刚体定轴转动的功能原理五、刚体定轴转动的功能原理五、刚体定轴转动
27、的功能原理五、刚体定轴转动的功能原理若若 ，刚体的机械能守恒刚体的机械能守恒 3-3 3-3 3-3 3-3 刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的刚体定轴转动的机械能和力矩的功机械能和力矩的功 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 取转轴取转轴 o 处为重力势能处为重力势能0点点 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3-4 角动量理理及角动量守恒定律 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动
28、量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 一、角动量一、角动量一、角动量一、角动量 问题问题问题问题：图示圆盘视为一个质点系，图示圆盘视为一个质点系，vc=0 mivi=Mvc=0，如何量度转动物如何量度转动物体的机械运动量？体的机械运动量？当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时引人与动当质点作曲线运动或对某点有转动趋势时引人与动量量 对应的角量对应的角量 角动量角动量(angular momentum)(动动量矩量矩(moment of momentum)mO 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动
29、量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 1.质点的角动量质点的角动量xyzmO 质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运质点对某参考点的角动量反映质点绕该参考点旋转运动的强弱。动的强弱。质点对定轴的角动量质点对定轴的角动量 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 2.质点系角动量质点系角动量系统内所有质点对同一参考点角动量的系统内所有质点对同一参考点角动量的矢量和矢量和矢量和矢量和O 3-4 3-4 3-4 3-4 角
30、动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 描述质点系整体绕参考点的旋转运动描述质点系整体绕参考点的旋转运动描述质点系绕质心的旋转运动，描述质点系绕质心的旋转运动，与参考点的选择无关。与参考点的选择无关。3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3.定轴转动刚体的角动量定轴转动刚体的角动量 mi对对O的角动量：的角动量：转动转动平面平面刚体对刚体对z轴的总角动量为轴
31、的总角动量为 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理二、刚体的角动量定理1.质点的角动量定理质点的角动量定理质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩质点角动量的时间变化率等于质点所受的合力矩2.质点系质点系的角动量定理的角动量定理质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。质点系总角动量的时间变化率等于质点系所受外力矩的矢量和。内力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，不影响总角动量。内
32、力矩只改变质点系总角动量在系内的分配，不影响总角动量。3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3.定轴刚体的角动量定理定轴刚体的角动量定理由转动定律由转动定律称为称为d dt t时间内刚体所受合外力矩的时间内刚体所受合外力矩的冲量矩冲量矩。刚体的角动量定理：刚体的角动量定理：刚体在刚体在t t1 1t t2 2时间内所受时间内所受合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量合外力矩的冲量矩等于该段时间内刚体角动量的增量。的增量。角动量定理微分式：角动量定理微分式：
33、3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 三、刚体的角动量守恒定律三、刚体的角动量守恒定律三、刚体的角动量守恒定律三、刚体的角动量守恒定律 角角动动量量守守恒恒定定律律：刚刚体体所所受受合合外外力力矩矩为为零零，则则刚刚体体的角动量保持不变。的角动量保持不变。对于刚体系统，角动量守恒定律可表示为对于刚体系统，角动量守恒定律可表示为 需要多大的速度需要多大的速度才能滚上斜坡才能滚上斜坡?3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守
34、恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 角动量守恒实例角动量守恒实例 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 转动快慢自如转动快慢自如 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 下图所示一半径为下图所示一半径为R的圆盘，忽略一切摩擦。的圆盘，忽略一切摩擦。例例3-103-
35、10.一半径为R、质量为 M 的转台，可绕通过其中心的竖直轴转动,质量为m 的人站在转台边缘，最初人和台都静止。若人沿转台边缘跑一周(不计阻力)，相对于地面，人和台各转了多少角度？R汽车沿盘边开动时出现什么现象？什么量守恒？汽车沿盘边开动时出现什么现象？什么量守恒？轴对转盘的摩轴对转盘的摩擦力矩可忽略擦力矩可忽略 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 解：解：解：解：选地面为参考系，设对转轴选地面为参考系，设对转轴人：人：J,;台：台：J ,系统对转轴角动量
36、守恒系统对转轴角动量守恒人沿转台边缘跑一周人沿转台边缘跑一周:人相对地面转过的角度人相对地面转过的角度:台相对地面转过的角度台相对地面转过的角度:R 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例例3-11.3-11.质量为M、长为2l的均质细棒，在竖直平面内可绕中心轴转动。开始棒处于水平位置，一质量为m的小球以速度u垂直落到棒的一端上。设碰撞为弹性碰撞，求碰后小球的回跳速度以及棒的角速度。Ou解：解：解：解：由系统角动量守恒由系统角动量守恒机械能守恒机械能守恒
37、3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 设碰撞时间为设碰撞时间为 t消去消去 ty解法二解法二Ou 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 解：解：角动量守恒角动量守恒机械能守恒机械能守恒 例例3-12.3-12.一长为l、质量为M的杆可绕支点O自由转动。一质量为m、速度为 的子弹射入距支点为a的棒内。若棒偏转角为 ,问子弹的
38、初速度是多少？Ovl l a 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 变形问题：变形问题：Ovl l ao30Ovl l a 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 例3-13.如图，已知滑轮的质量为m0,半径为R。斜面的倾角为,斜面上物体的质量为m,物体与斜面间光滑；弹簧的劲度系数为k。现将物体从静止释放，释放时弹簧无形变。
39、设细绳不伸长且与滑轮间无相对滑动，忽略轴间摩擦阻力矩，求物体沿斜面下滑x(m)时的速度。(滑轮视作薄圆盘)解：解：解：解：选取选取 m、m0、k 和地和地球为系统，重力和弹性力均球为系统，重力和弹性力均为系统保守内力，其它外力为系统保守内力，其它外力和非保守内力均不做功，和非保守内力均不做功，系系统机械能守恒统机械能守恒。k 设设 m 未释放时为初态，此时重力势能为零。当未释放时为初态，此时重力势能为零。当m 下滑下滑 x 后为终态。后为终态。3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚
40、体力学基础刚体力学基础 初态能量：初态能量：设滑轮相对于零势点的重设滑轮相对于零势点的重力势能为力势能为终态能量：终态能量：k式式(1)=(2)，又已，又已知知解得解得 3-4 3-4 3-4 3-4 角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律角动量定理及角动量守恒定律 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 作业作业3-14,3-15,3-16.提示：提示：3-5 3-5 3-5 3-5 进动进动进动进动 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 3-5 进 动 3-5 3-5 3-5 3-5 进动进动进动进动 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 请点击观看轮
41、子的运动请点击观看轮子的运动请点击观看轮子的运动请点击观看轮子的运动 进动进动(precession)：高速自转的物体其自身对称轴绕高速自转的物体其自身对称轴绕竖直轴做回旋运动。竖直轴做回旋运动。3-5 3-5 3-5 3-5 进动进动进动进动 第第3章章 刚体力学基础刚体力学基础 设陀螺质量为设陀螺质量为m，以角速度以角速度 自转自转重力对固定点重力对固定点O的力矩：的力矩：方向沿方向沿c点切向点切向绕自身轴转动的角动量：绕自身轴转动的角动量：角动量定理的微分式：角动量定理的微分式：Oc mg旋进角速度旋进角速度 结论：结论：旋进现象是自旋旋进现象是自旋(spin)的物体在外力距作用下，沿外力的物体在外力距作用下，沿外力矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果。矩方向不断改变其自旋角动量方向的结果。d