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1、目录 上页 下页 返回 结束 高阶线性微分方程 第六节二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构*四、常数变易法四、常数变易法 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 一、二阶线性微分方程举例一、二阶线性微分方程举例 当重力与弹性力抵消时,物体处于 平衡状态,例例1.质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,力作用下作往复运动,解解:阻力的大小与运动速度下拉物体使它离开平衡位置后放开,若用手向物体在弹性力与阻取平衡时物体的位置为坐标原点,建立坐标系如图.设时刻 t 物位移为 x(t).(
2、1)自由振动情况.弹性恢复力物体所受的力有:(虎克定律)成正比,方向相反.建立位移满足的微分方程.目录 上页 下页 返回 结束 据牛顿第二定律得则得有阻尼自由振动方程:阻力(2)强迫振动情况.若物体在运动过程中还受铅直外力则得强迫振动方程:目录 上页 下页 返回 结束 求电容器两两极板间电压 例例2.联组成的电路,其中R,L,C 为常数,所满足的微分方程.解解:设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t),自感电动势为由电学知根据回路电压定律:设有一个电阻 R,自感L,电容 C 和电源 E 串极板上 在闭合回路中,所有支路上的电压降为 0 目录 上页 下页 返回 结束 串联电路的振荡方程:化为
3、关于的方程:故有 如果电容器充电后撤去电源(E=0),则得目录 上页 下页 返回 结束 n 阶线性微分方程阶线性微分方程的一般形式为方程的共性(二阶线性微分方程)例例1例例2 可归结为同一形式:时,称为非齐次方程;时,称为齐次方程.复习复习:一阶线性方程通解:非齐次方程特解齐次方程通解Y目录 上页 下页 返回 结束 证毕二、线性齐次方程解的结构二、线性齐次方程解的结构是二阶线性齐次方程的两个解,也是该方程的解.证证:代入方程左边,得(叠加原理)定理定理1.目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:不一定是所给二阶方程的通解.例如,是某二阶齐次方程的解,也是齐次方程的解 并不是通解但是则为解决通解
4、的判别问题,下面引入函数的线性相关与 线性无关概念.目录 上页 下页 返回 结束 定义定义:是定义在区间 I 上的 n 个函数,使得则称这 n个函数在 I 上线性相关线性相关,否则称为线性无关线性无关.例如，在(,)上都有故它们在任何区间 I 上都线性相关;又如，若在某区间 I 上则根据二次多项式至多只有两个零点,必需全为 0,可见在任何区间 I 上都 线性无关.若存在不全为不全为 0 的常数目录 上页 下页 返回 结束 两个函数在区间 I 上线性相关与线性无关的充要条件充要条件:线性相关存在不全为 0 的使(无妨设线性无关常数思考思考:中有一个恒为 0,则必线性相关相关(证明略)线性无关目录
5、 上页 下页 返回 结束 定理定理 2.是二阶线性齐次方程的两个线性无关特解,数)是该方程的通解.例如例如,方程有特解且常数,故方程的通解为(自证)推论推论.是 n 阶齐次方程 的 n 个线性无关解,则方程的通解为则目录 上页 下页 返回 结束 三、线性非齐次方程解的结构三、线性非齐次方程解的结构 是二阶非齐次方程的一个特解,Y(x)是相应齐次方程的通解,定理定理 3.则是非齐次方程的通解.证证:将代入方程左端,得目录 上页 下页 返回 结束 是非齐次方程的解,又Y 中含有两个独立任意常数,例如例如,方程有特解对应齐次方程有通解因此该方程的通解为证毕因而 也是通解.目录 上页 下页 返回 结束
6、 定理定理 4.分别是方程的特解,是方程的特解.(非齐次方程之解的叠加原理)定理3,定理4 均可推广到 n 阶线性非齐次方程.目录 上页 下页 返回 结束 定理定理 5.是对应齐次方程的 n 个线性无关特解,给定 n 阶非齐次线性方程是非齐次方程的特解,则非齐次方程的通解为齐次方程通解非齐次方程特解目录 上页 下页 返回 结束 常数,则该方程的通解是().设线性无关函数都是二阶非齐次线性方程的解,是任意例例3.提示提示:都是对应齐次方程的解,二者线性无关.(反证法可证)目录 上页 下页 返回 结束 例例4.已知微分方程个解求此方程满足初始条件的特解.解解:是对应齐次方程的解,且常数因而线性无关
7、,故原方程通解为代入初始条件故所求特解为有三 目录 上页 下页 返回 结束*四、常数变易法四、常数变易法复习:常数变易法:对应齐次方程的通解:设非齐次方程的解为 代入原方程确定 对二阶非齐次方程 情形情形1.已知对应齐次方程通解:设的解为 由于有两个待定函数,所以要建立两个方程:目录 上页 下页 返回 结束 令于是将以上结果代入方程 :得故,的系数行列式是对应齐次方程的解P10 目录 上页 下页 返回 结束 积分得:代入 即得非齐次方程的通解:于是得 说明说明:将的解设为 只有一个必须满足的条件即因此必需再附加一个条件,方程的引入是为了简化计算.方程3 方程,目录 上页 下页 返回 结束 情形情形2.仅知的齐次方程的一个非零特解 代入 化简得设其通解为 积分得(一阶线性方程)由此得原方程的通解:方程3 目录 上页 下页 返回 结束 例例5.的通解为 的通解.解解:将所给方程化为:已知齐次方程求利用,建立方程组:故所求通解为积分得 目录 上页 下页 返回 结束 解上述可降阶微分方程,可得通解:例例6.的通解.解解:对应齐次方程为由观察可知它有特解:令代入非齐次方程后化简得故原方程通解为 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 P331 题1,3,4(2),(5)作业作业 P 331 *6,*8 第七节