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1、目录 上页 下页 返回 结束 常系数 第七节齐次线性微分方程 基本思路: 求解常系数线性齐次微分方程 求特征方程(代数方程)之根转化 第七章 目录 上页 下页 返回 结束 二阶常系数齐次线性微分方程:),(0为常数qpyqypy xrye和它的导数只差常数因子,代入得0e)(2xr qprr02qrpr称为微分方程的特征方程特征方程,1. 当042qp时, 有两个相异实根,21r ,r方程有两个线性无关的特解:,e11xry ,e22xry 因此方程的通解为xrxrCCy21ee21( r 为待定常数 ),xrre,函数为常数时因为所以令的解为 则微分其根称为特征根特征根.目录 上页 下页 返
2、回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr2. 当042qp时, 特征方程有两个相等实根21rr 则微分方程有一个特解)(12xuyy 设另一特解( u (x) 待定)代入方程得:e1xr)(1urup0uq)2(211ururu 1r注意是特征方程的重根0 u取 u = x , 则得,e12xrxy 因此原方程的通解为xrxCCy1e)(21,2p.e11xry )(e1xuxr0)()2(1211 uqrprupru目录 上页 下页 返回 结束 ),(0为常数qpyqypy 特征方程02qrpr3. 当042qp时, 特征方程有一对共轭复根i,i21rr这时原方程有两个复
3、数解:xy)i(1e)sini(cosexxxxy)i(2e)sini(cosexxx 利用解的叠加原理 , 得原方程的线性无关特解:)(21211yyy)(21i212yyyxxcosexxsine因此原方程的通解为)sincos(e21xCxCyx目录 上页 下页 返回 结束 小结小结:),(0为常数qpyqypy ,02qrpr特征方程:xrxrCCy21ee2121,:rr特征根21rr 实根 221prrxrxCCy1e)(21i21,r)sincos(e21xCxCyx特 征 根通 解以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .目录 上页 下页 返回 结束 若特征方程含 k 重复根,
4、ir若特征方程含 k 重实根 r , 则其通解中必含对应项xrkkxCxCCe)(121xxCxCCkkxcos)( e121sin)(121xxDxDDkk则其通解中必含对应项)(01) 1(1)(均为常数knnnnayayayay特征方程: 0111nnnnararar),(均为任意常数以上iiDC推广推广:目录 上页 下页 返回 结束 例例1. 032 yyy求方程的通解.解解: 特征方程, 0322rr特征根:,3,121rr因此原方程的通解为xxCCy321ee例例2. 求解初值问题0dd2dd22ststs,40ts20ddtts解解: 特征方程0122rr有重根,121 rr因此
5、原方程的通解为ttCCse)(21利用初始条件得, 41C于是所求初值问题的解为ttse)24(22C目录 上页 下页 返回 结束 例例3.xxO解解:质量为m的物体自由悬挂在一端固定的弹簧上,在无外力作用下做自由运动,初始求物体的运动规律 ,0v速度为. )(txx 立坐标系如图, ,0 xx 设 t = 0 时物体的位置为取其平衡位置为原点建 00ddvtxt,00 xxt22ddtx02xktxndd2因此定解问题为由第六节例1 (P323) 知, 位移满足目录 上页 下页 返回 结束 方程:22ddtx02xk特征方程:, 022 krkri2,1特征根:tkCtkCxsincos21
6、利用初始条件得:,01xC 故所求特解:tkkvtkxxsincos00A)sin(tkA0 xkv0方程通解:1) 无阻尼自由振动情况无阻尼自由振动情况 ( n = 0 )kvC020022020tan,vxkkvxA目录 上页 下页 返回 结束 解的特征解的特征:)sin(tkAx0 xAAxtO简谐振动 A: 振幅, : 初相,周期: kT2:mck 固有频率 T0dd00vtxt, 000 xxt下图中假设(仅由系统特性确定)目录 上页 下页 返回 结束 方程:特征方程:0222krnr222,1knnr特征根:小阻尼: n k临界阻尼: n = k 22ddtx02xktxndd2)
7、sincos(e21tCtCxtn)(22nk trtrCCx21ee21tntCCxe)(21解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征解的特征小阻尼自由振动解的特征小阻尼自由振动解的特征 : )sincos(e21tCtCxtn)(22nk 由初始条件确定任意常数后变形)sin(etAxtntxOT0 x运动周期:;2T振幅: tnAe衰减很快,)0, 0(00vx此图随时间 t 的增大物体趋于平衡位置.大阻尼解的特征大阻尼解的特征: ( n k )1) 无振荡现象; trtrCCx21ee21222,1knnr其中22knn0.0)(limtxtOtx0 x此图参数: 1, 5 . 1kn
8、5 . 10 x073. 50v2) 对任何初始条件即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.临界阻尼解的特征临界阻尼解的特征 :( n = k )任意常数由初始条件定, tntCCxe)(21)() 1tx最多只与 t 轴交于一点; :,21取何值都有无论CC)(lim)3txt即随时间 t 的增大物体总趋于平衡位置.0e)(lim21tnttCC2) 无振荡现象 ;此图参数: 2n1 . 00 x10v0 xOxy目录 上页 下页 返回 结束 例例4.052)4( yyy求方程的通解. 解解: 特征方程, 052234rrr特征根:i21, 04,321rrr因此原方程通解为xCCy21)2
9、sin2cos(e43xCxCx例例5.0)4()5( yy解方程解解: 特征方程:, 045rr特征根 :1, 054321rrrrr原方程通解:1CyxC223xC34xCxC e5(不难看出, 原方程有特解)e, 132xxxx目录 上页 下页 返回 结束 02)(22222rr例例6. . )0(0dd444wxw解方程解解: 特征方程:44r即0)2)(2(2222rrrr其根为),i1(22,1r)i1(24,3r方程通解 :xw2e)2sin2cos(21xCxCx2e)2sin2cos(43xCxC目录 上页 下页 返回 结束 例例7.02)4( yyy解方程解解: 特征方程:
10、01224rr0)1(22r即特征根为i,2,1ri4,3r则方程通解 :xxCCycos)(31xxCCsin)(42目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结),(0为常数qpyqypy 特征根:21, rr(1) 当时, 通解为xrxrCCy21ee2121rr (2) 当时, 通解为xrxCCy1e)(2121rr (3) 当时, 通解为)sincos(e21xCxCyxi2, 1r可推广到高阶常系数线性齐次方程求通解 .目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习 求方程0 yay的通解 .答案答案:0a通解为xCCy21:0a通解为xaCxaCysincos21:0a通解为xaxaCCyee21作业作业 P340 1 (3) , (6) , (10) ; 2 (2) , (3) , (6) ; 3第八节 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题,2cos,e2,e321xyxyyxx求一个以xy2sin34为特解的 4 阶常系数线性齐次微分方程,并求其通解 .解解: 根据给定的特解知特征方程有根 :, 121 rri24, 3r因此特征方程为2) 1( r0)4(2r即04852234rrrr04852)4( yyyyy故所求方程为其通解为xCxCxCCyx2sin2cose)(4321