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1、关于三角函数性质第一页，本课件共有74页【知识梳理知识梳理】1.1.三个基本三角函数的图象和性质三个基本三角函数的图象和性质 函数y=sinxy=cosxy=tanx图象定义域RRx|xk+,kZ第二页，本课件共有74页函数y=sinxy=cosxy=tanx值域-1,1-1,1R函数的最值最大值1,当且仅当_ 最小值-1,当且仅当_ 最大值1,当且仅当_最小值-1,当且仅当_无最大值和最小值x=2k,kZx=2k,kZx=2k-,kZx=2k-,kZ第三页，本课件共有74页函数y=sinxy=cosxy=tanx单调性增区间_减区间_ 增区间_减区间_增区间_ k2-k2-,k2(k,k2(
2、kZ)Z)k2,k2,k2+(kZ)k2+(kZ)第四页，本课件共有74页函数y=sinxy=cosxy=tanx奇偶性奇函数偶函数奇函数周期性周期为2k,k0,kZ,最小正周期为_周期为2k,k 0,kZ,最小正周期为_周期为k,k0,kZ,最小正周期为_2222第五页，本课件共有74页函数y=sinxy=cosxy=tanx对称性对称中心_ _ 对称轴_ _无对称轴零点k,kZk+,kZk,kZ(k,0),(k,0),kZkZx=k,kZx=k,kZkZkZ第六页，本课件共有74页2.2.周期函数周期函数(1)(1)周期函数周期函数:对于函数对于函数f(x),f(x),如果存在一个如果存在
3、一个_,_,使得当使得当x x取取_内的每一个值时内的每一个值时,都有都有f(x+T)=f(x),f(x+T)=f(x),那么函数那么函数f(x)f(x)就叫做周期函数就叫做周期函数,_,_叫做这个函叫做这个函数的周期数的周期.非零常数非零常数T T定义域定义域非零常数非零常数T T第七页，本课件共有74页(2)(2)最小正周期最小正周期:如果在周期函数如果在周期函数f(x)f(x)的所有周期中存的所有周期中存在一个在一个_,_,那么这个那么这个_就叫做就叫做f(x)f(x)的的最小正周期最小正周期.最小的正数最小的正数最小正数最小正数第八页，本课件共有74页【特别提醒特别提醒】1.1.函数的
4、对称性和周期之间的几个关系函数的对称性和周期之间的几个关系(1)(1)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之间距离的正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称轴之间距离的2 2倍倍是一个周期是一个周期.(2)(2)正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的正弦曲线和余弦曲线相邻的两个对称中心之间距离的2 2倍是一个周期倍是一个周期.第九页，本课件共有74页(3)(3)正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之正弦曲线和余弦曲线相邻的一个对称轴和一个对称中心之间距离的间距离的4 4倍是一个周期倍是一个周期.(4)(4)正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的正切曲线相邻的两个对称中心之间距离的2 2
5、倍是一个倍是一个周期周期.第十页，本课件共有74页2.2.正切函数的单调性正切函数的单调性 y=tanxy=tanx不能认为其在定义域上为增函数不能认为其在定义域上为增函数,应在每个应在每个区间区间 (kZ)(kZ)内为增函数内为增函数.第十一页，本课件共有74页【小题快练小题快练】链接教材链接教材 练一练练一练1.(1.(必修必修4P404P40练习练习T3(2)T3(2)改编改编)函数函数f(x)=4-f(x)=4-的最小的最小值是值是,取得最小值时取得最小值时,x,x的取值集合为的取值集合为.第十二页，本课件共有74页【解析解析】f(x)f(x)minmin=4-2=2,=4-2=2,此
6、时此时,=2k(kZ),=2k(kZ),x=6k(kZ),x=6k(kZ),所以所以x x的取值集合为的取值集合为x|x=6k,kZx|x=6k,kZ答案答案:2 2x|x=6k,kZx|x=6k,kZ第十三页，本课件共有74页2.(2.(必修必修4P474P47习题习题1.4B1.4B组组T2T2改编改编)函数函数y=y=的单调递减区间为的单调递减区间为.第十四页，本课件共有74页【解析解析】因为因为y=tanxy=tanx的单调递增区间为的单调递增区间为(kZ),y=-tanx(kZ),y=-tanx的单调递减区间为的单调递减区间为(kZ),(kZ),所以所以 (kZ),(kZ),解得解得
7、 (kZ),(kZ),所以所以 的单调的单调递减区间为递减区间为 (kZ).(kZ).答案答案:(kZ)(kZ)第十五页，本课件共有74页感悟考题感悟考题 试一试试一试3.(20143.(2014陕西高考陕西高考)函数函数f(x)=f(x)=的最小正周期的最小正周期是是()A.B.A.B.C.2 D.4 C.2 D.4【解析解析】选选B.B.由题意得由题意得:T=.:T=.第十六页，本课件共有74页4.(20164.(2016烟台模拟烟台模拟)函数函数y=sin(-x)y=sin(-x)的图象的图象()A.A.关于关于x x轴对称轴对称 B.B.关于关于y y轴对称轴对称C.C.关于原点对称关
8、于原点对称 D.D.关于直线关于直线x=x=对称对称第十七页，本课件共有74页【解析解析】选选B.B.因为因为y=sin(-x)=cosx,y=sin(-x)=cosx,又因为又因为cos(-x)=cosx,cos(-x)=cosx,为偶函数为偶函数,所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于所以根据余弦函数的图象和性质可知其图象关于y y轴对称轴对称.第十八页，本课件共有74页5.(20165.(2016菏泽模拟菏泽模拟)函数函数y=sinx-cosx+sinxcosx,y=sinx-cosx+sinxcosx,x0,x0,的最小值是的最小值是.第十九页，本课件共有74页【解析解析】设设si
9、nx-cosx=t,sinx-cosx=t,因为因为x0,x0,所以所以 所以所以t-1,sinxcosx=t-1,sinxcosx=所以所以 当当t=-1t=-1时时,y,yminmin=-1.=-1.答案答案:-1-1第二十页，本课件共有74页考向一考向一三角函数的定义域及简单的三角方程或三角函数的定义域及简单的三角方程或不等式不等式【典例典例1 1】(1)(2016(1)(2016青岛模拟青岛模拟)定义在区间定义在区间(0,)(0,)上的上的函数函数y=6cosxy=6cosx的图象与的图象与y=5tanxy=5tanx的图象的交点为的图象的交点为P,P,过点过点P P作作PPPP1 1
10、xx轴于点轴于点P P1 1,直线直线PPPP1 1与与y=sinxy=sinx的图象交于点的图象交于点P P2 2,则线段则线段P P1 1P P2 2的长为的长为.第二十一页，本课件共有74页(2)(2)满足满足cosx ,cosx ,且且x0,2x0,2的的x x的集合为的集合为.(3)(3)函数函数f(x)=+logf(x)=+log2 2(2sinx-1)(2sinx-1)的定义域是的定义域是.第二十二页，本课件共有74页【解题导引解题导引】(1)(1)根据图象的意义及同角关系根据图象的意义及同角关系,列出列出关于关于sinxsinx的方程的方程,求解求解.(2)(2)根据余弦函数的
11、图象可得不等式的解集为根据余弦函数的图象可得不等式的解集为xx ,kZ,kZ,结合函数的定义域即可得到结合函数的定义域即可得到答案答案.(3)(3)根据表达式有意义根据表达式有意义,列出不等式组求解列出不等式组求解.第二十三页，本课件共有74页【规范解答规范解答】(1)(1)由题意得线段由题意得线段P P1 1P P2 2的长即为的长即为sinxsinx的值的值,且其中的且其中的x x满足满足6cosx=5tanx,6cosx=5tanx,即即6cosx=5 ,6cosx=5 ,所以所以6cos6cos2 2x=5sinx,x=5sinx,即即6sin6sin2 2x+5sinx-6=0,x+
12、5sinx-6=0,解得解得sinx=,sinx=,或或sinx=-(sinx=-(舍舍).).所以线段所以线段P P1 1P P2 2的长为的长为 .答案答案:第二十四页，本课件共有74页(2)(2)因为因为cosx ,cosx ,所以所以 又因为又因为x0,2,x0,2,所以所以x x的集合为的集合为 答案答案:第二十五页，本课件共有74页(3)(3)由题意由题意,得得由由得得-8x8,-8x8,由由得得sinx ,sinx ,由正弦曲线得由正弦曲线得 所以不等式组的解集为所以不等式组的解集为 答案答案:第二十六页，本课件共有74页【母题变式母题变式】1.1.若本例题若本例题(3)(3)中
13、函数改为中函数改为f(x)=,f(x)=,求其定义域求其定义域.【解析解析】因为函数因为函数f(x)=,f(x)=,所以所以cosx1,cosx1,所以所以x2k,kZ,x2k,kZ,所以函数的定义域为所以函数的定义域为 x|x2k,kZ.x|x2k,kZ.第二十七页，本课件共有74页2.2.在本例题在本例题(3)(3)中函数改为中函数改为 求其定求其定义域义域.【解析解析】由由 由余弦曲线得由余弦曲线得 所以函数的定义域为所以函数的定义域为 第二十八页，本课件共有74页【规律方法规律方法】1.1.三角函数方程、不等式的求解策略三角函数方程、不等式的求解策略(1)(1)由同角关系、诱导公式转化
14、为关于由同角关系、诱导公式转化为关于sinxsinx或或cosxcosx的方程、的方程、不等式不等式.(2)(2)用换元法求出用换元法求出sinxsinx或或cosxcosx的值或范围的值或范围.第二十九页，本课件共有74页(3)(3)根据正弦曲线、余弦曲线求出相对应的根据正弦曲线、余弦曲线求出相对应的x x的值或范围的值或范围.(4)(4)解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围解不等式时可以先求出区间长度为一个周期上的范围,再加上周期再加上周期.第三十页，本课件共有74页2.2.三角函数定义域的求法三角函数定义域的求法求三角函数定义域实际上是构造简单的三角不等式求三角函数定义域实际上
15、是构造简单的三角不等式(组组),),常借助三角函数线或三角函数图象来求解常借助三角函数线或三角函数图象来求解.第三十一页，本课件共有74页易错提醒易错提醒:(1):(1)对表达式进行化简变形时对表达式进行化简变形时,尽量等价变形尽量等价变形,注意不要产生增解注意不要产生增解,也不要丢掉方程的解也不要丢掉方程的解.(2)(2)注意注意sinxsinx或或cosxcosx的值域是的值域是-1,1,-1,1,换元后新变量的范围换元后新变量的范围为为-1,1.-1,1.(3)(3)解不等式时要注意周期解不等式时要注意周期,不可以忽略不可以忽略.第三十二页，本课件共有74页【变式训练变式训练】(2016
16、(2016济南模拟济南模拟)设条件设条件p:p:条件条件q:cos 0,q:cos 0,则则p p是是q q的的()A.A.充分不必要条件充分不必要条件 B.B.必要不充分条件必要不充分条件C.C.充分必要条件充分必要条件 D.D.既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件第三十三页，本课件共有74页【解析解析】选选C.C.由由 所以所以p p是是q q的充分必要条件的充分必要条件.第三十四页，本课件共有74页【加固训练加固训练】1.(20161.(2016长春模拟长春模拟)已知集合已知集合E=|cossin,E=|cossin,02,F=|tansin,02,F=|tancosxcos2 2x
17、,x,则则x x的取值范围是的取值范围是()第三十七页，本课件共有74页【解析解析】选选D.D.由题意可知由题意可知cos2x0,cos2x0,所以所以 所以所以 第三十八页，本课件共有74页3.3.在在ABCABC中中,则则A A的大小为的大小为.【解析解析】由已知得由已知得A A为锐角为锐角.两边平方两边平方,2sin,2sin2 2A=3cosA,A=3cosA,设设t=cosA,t=cosA,则则2t2t2 2+3t-2=0,+3t-2=0,解得解得t=t=或或t=-2(t=-2(舍舍),),所以所以cosA=,A=60.cosA=,A=60.答案答案:6060第三十九页，本课件共有7
18、4页4.4.函数函数y=+lg cosxy=+lg cosx的定义域为的定义域为.【解析解析】由由得得所以函数的定义域为所以函数的定义域为答案答案:第四十页，本课件共有74页考向二考向二三角函数的值域和最值三角函数的值域和最值【典例典例2 2】(1)(1)函数函数y=-2sinx-1,x y=-2sinx-1,x 的值域的值域是是()A.-3,1 B.-2,1 A.-3,1 B.-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1 C.(-3,1 D.(-2,1第四十一页，本课件共有74页(2)(2016(2)(2016聊城模拟聊城模拟)函数函数y=cosy=cos2 2x-2sinxx-2sinx的最大
19、值与最小值分别为的最大值与最小值分别为()A.3,-1 B.3,-2 A.3,-1 B.3,-2 C.2,-1 D.2,-2 C.2,-1 D.2,-2【解题导引解题导引】(1)(1)弄清角弄清角x x的取值范围的取值范围,结合正弦曲线求解结合正弦曲线求解.(2)(2)换元转化为求二次函数的最值换元转化为求二次函数的最值.第四十二页，本课件共有74页【规范解答规范解答】(1)(1)选选D.D.由正弦曲线知由正弦曲线知y=sinxy=sinx在在 上上,-1sinx ,-1sinx0)(0)在区间在区间 上单调递增上单调递增,在区间在区间 上单调递上单调递减减,则则等于等于()第五十八页，本课件
20、共有74页(2)(2016(2)(2016银川模拟银川模拟)函数函数f(x)=f(x)=的单调减的单调减区间为区间为.第五十九页，本课件共有74页【解题导引解题导引】(1)(1)根据正弦函数的单调性解不等式求解根据正弦函数的单调性解不等式求解.(2)(2)先用诱导公式化简函数表达式先用诱导公式化简函数表达式,再根据正弦函数的减区再根据正弦函数的减区间解不等式求解间解不等式求解.第六十页，本课件共有74页【规范解答规范解答】(1)(1)选选B.B.因为因为f(x)=sinx(0)f(x)=sinx(0)过原点过原点,所以当所以当 y=sinxy=sinx是增函数是增函数;当当 y=sinxy=s
21、inx是减函数是减函数.由由f(x)=sinx(0)f(x)=sinx(0)在在 上单调递增上单调递增,在在 上单调递减知上单调递减知,第六十一页，本课件共有74页(2)(2)由已知函数为由已知函数为 欲求函数的单调减区欲求函数的单调减区间间,只需求只需求 的单调增区间的单调增区间.由由 得得 故所给函数的单调减区间为故所给函数的单调减区间为 答案答案:第六十二页，本课件共有74页【技法感悟技法感悟】1.1.三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路三角函数的奇偶性、对称性和周期问题的解题思路(1)(1)奇偶性的判断方法奇偶性的判断方法:由正、余弦函数的奇偶性可判由正、余弦函数的奇偶性可判断
22、出断出y=Asinxy=Asinx和和y=Acosxy=Acosx分别为奇函数和偶函数分别为奇函数和偶函数.第六十三页，本课件共有74页(2)(2)周期的计算方法周期的计算方法:利用函数利用函数y=Asin(x+y=Asin(x+),y=),y=Acos(x+Acos(x+)(0)(0)的周期为的周期为 ,函数函数y=Atan(x+y=Atan(x+)(0)(0)的周期为的周期为 求解求解.(3)(3)解决对称性问题的关键解决对称性问题的关键:熟练掌握三角函数的对称熟练掌握三角函数的对称轴、对称中心轴、对称中心.第六十四页，本课件共有74页2.2.三角函数的单调性问题的解题方法三角函数的单调性
23、问题的解题方法(1)(1)求三角函数单调区间的两种方法求三角函数单调区间的两种方法代换法代换法:就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角体当作一个角u(u(或或t),t),利用基本三角函数的单调性列不等利用基本三角函数的单调性列不等式求解式求解.第六十五页，本课件共有74页图象法图象法:画出三角函数的正、余弦曲线画出三角函数的正、余弦曲线,结合图象求它的结合图象求它的单调区间单调区间.易错提醒易错提醒:求解三角函数的单调区间时若求解三角函数的单调区间时若x x的系数为负应先的系数为负应先化为正化为正,同时切莫漏掉考虑函数自身的定义域同时切
24、莫漏掉考虑函数自身的定义域.第六十六页，本课件共有74页(2)(2)已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法方法子集法子集法:求出原函数的相应单调区间求出原函数的相应单调区间,由已知区间是所求由已知区间是所求某区间的子集某区间的子集,列不等式列不等式(组组)求解求解.第六十七页，本课件共有74页反子集法反子集法:由所给区间求出整体角的范围由所给区间求出整体角的范围,由该范围由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集,列不等列不等式式(组组)求解求解.周期法周期法:由所给区间的两个端点到其相应对称中
25、心的由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过距离不超过 周期列不等式周期列不等式(组组)求解求解.第六十八页，本课件共有74页 【题组通关题组通关】1.(20161.(2016烟台模拟烟台模拟)如果函数如果函数y=3cos(2x+y=3cos(2x+)的图象关的图象关于点于点(,0)(,0)中心对称中心对称,那么那么|的最小值为的最小值为()第六十九页，本课件共有74页【解析解析】选选A.A.由题意得由题意得 所以所以 所以所以=k-,kZ,=k-,kZ,取取k=0,k=0,得得|的最小值为的最小值为第七十页，本课件共有74页2.(20162.(2016莱芜模拟莱芜模拟)已知已知0,0,函数函数f(x)=sin(x+)f(x)=sin(x+)在在(,)(,)上单调递减上单调递减,则则的取值范围是的取值范围是()第七十一页，本课件共有74页【解析解析】选选A.A.由由 由题意知由题意知 所以所以所以所以 第七十二页，本课件共有74页3.(20163.(2016聊城模拟聊城模拟)若函数若函数f(x)=2cos(x+)f(x)=2cos(x+)的最小的最小正周期为正周期为T,T(1,3),T,T(1,3),则正整数则正整数的最大值为的最大值为.第七十三页，本课件共有74页感谢大家观看第七十四页，本课件共有74页