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1、2021-2022学年河北省邢台市卓越联盟高二下学期第一次月考数学试题一、单选题1在空间直角坐标系中，若，则x的值为（）A4BC4或D5【答案】A【分析】由向量平行有且，结合已知坐标列方程组求参数即可.【详解】由题设，且，则，可得.故选：A2已知椭圆的左右焦点分别为，离心率为，过的直线l交C与A，B两点，若的周长为，则C的方程为（）ABCD【答案】B【分析】由焦点三角形的周长及椭圆的定义可得，再根据离心率求参数c，进而求得，即可写出椭圆方程.【详解】由题设，且，所以的周长为，即，又，可得，则，综上，C的方程为.故选：B3函数的图象大致为（）ABCD【答案】C【分析】求导判断出函数的单调区间即可
2、做出选择.【详解】，.令，得.则函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.选项A：违背函数在区间上单调递减.判断错误；选项B：违背函数在区间上单调递减. 判断错误；选项C：函数在区间，上单调递减，在区间上单调递增.判断正确；选项D：违背函数在区间上单调递减. 判断错误.故选：C4我们知道，偿还银行贷款时，“等额本金还款法”是一种很常见的还款方式，其本质是将本金平均分配到每一期进行偿还，每一期的还款金额由两部分组成，一部分为每期本金，即贷款本金除以还款期数，另一部分是利息，即贷款本金与已还本金总额的差乘以利率自主创业的大学生张华向银行贷款的本金为48万元，张华跟银行约定，按照等额本金还款法，每个
3、月还一次款，20年还清，贷款月利率为，设张华第个月的还款金额为元，则（）A2192BCD【答案】D【分析】计算出每月应还的本金数，再计算第n个月已还多少本金，由此可计算出个月的还款金额.【详解】由题意可知：每月还本金为2000元， 设张华第个月的还款金额为元，则，故选：D5如图空间四边形中，点M在上，且满足，点N为的中点，则（）ABCD【答案】D【分析】由空间四边形各棱的位置关系，结合空间向量加减、数乘的几何意义，用表示即可得结果.【详解】由题图，而，所以.故选：D6已知函数的图象如图所示，是函数的导函数，则（）ABCD【答案】A【分析】根据题意，结合导数的几何意义和平均变化率的定义，利用直线
4、斜率的关系，即可求解.【详解】如图所示，根据导数的几何意义，可得表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，表示曲线在点处的切线的斜率，即直线的斜率，又由平均变化率的定义，可得表示过两点的割线的斜率，结合图象，可得，所以.故选：A.7已知数列为1，1，2，1，1，2，3，1，1，2，1，1，2，3，4，首先给出，接着复制该项后，再添加该项的后继数2，于是，然后再复制前面所有的项1，1，2，再添加2的后继数3，于是，接下来再复制前面所有的项1，1，2，1，1，2，3，再添加3的后继数4，如此继续，则（）A1B2C3D4【答案】A【分析】直接列举即可求解.【详解】由题意知，1，1，2，1，1，2，3
5、，1，1，2，1，1，2，3，4，这次复制后数列已经有15项，下次复制会先复制这15项，再添加数5，故.故选：A.8若函数在区间上单调递增，则实数的取值范围是（）ABCD【答案】A【分析】根据的导函数在区间上大于等于零恒成立，分离参数，即可求得参数的取值范围.【详解】因为，故可得，根据题意，在恒成立，即在恒成立，又在的最大值为，故.故选：A.二、多选题9设数列是以d为公差的等差数列，是其前n项和，且，则下列结论正确的是（）ABCD或为的最大值【答案】BD【分析】由及前n项和公式可得，即可判断A、B的正误，进而得到判断C，结合二次函数的性质判断D的正误.【详解】由，即，则，又，所以，则A错误，B
6、正确；且，故，C错误；由的二次函数性质：开口向下且，易知为的最大值，D正确.故选：BD10如图是导函数的图象，则下列说法正确的是（）A为函数的单调递增区间B为函数的单调递减区间C函数在处取得极大值D函数在处取得极小值【答案】AD【分析】A.利用导数的正负与函数的增减的关系判断； B. 利用导数的正负与函数的增减的关系判断； C.利用极值点的定义判断； D. 利用极值点的定义判断.【详解】A. 因为在上成立，所以是的单调递增区间，故正确；B.因为 时，时，所以在上不单调，故错误；C.因为时，时，函数在处无极值，故错误；D.因为 时，时，所以函数在处取得极小值，故正确；故选：AD11下列命题正确的
7、是（）AB若，则C对于已知函数，则该函数在区间上的平均变化率为4D设函数导函数为，且，则【答案】CD【分析】A.利用导数公式求解判断；B.利用复合函数的导数求解判断；C.利用平均变化率的定义求解判断；D.利用导数运算法则求解判断.【详解】A. ，故错误；B.若，则，故错误；C. 函数，则该函数在区间上的平均变化率为，故正确；D.因为函数导函数为，且，所以，则，解得，故正确；故选：CD12已知为函数的导函数，若，则下列结论错误的是（）A在上单调递增B在上单调递减C在上有极大值D在上有极小值【答案】ABC【分析】将变形得（），构造函数，结合导数讨论正负，即可求出单调性和极值.【详解】由，可知，则，
8、即设，则由得，由得，所以在上单调递增，在上单调递减，所以当时，函数取得极小值故选：ABC三、填空题13若函数在处取得极小值，则a=_【答案】2【分析】对函数求导，根据极值点得到或，讨论的不同取值，利用导数的方法判定函数单调性，验证极值点，即可得解.【详解】由可得，因为函数在处取得极小值，所以，解得或，若，则，当时，则单调递增；当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以函数在处取得极小值，符合题意；当时，当时，则单调递增；当时，则单调递减；当时，则单调递增；所以函数在处取得极大值，不符合题意；综上：.故答案为：2.【点睛】思路点睛：已知函数极值点求参数时，一般需要先对函数求导，根据极值点求出参数，
9、再验证所求参数是否符合题意即可.14已知等比数列的各项都是正数，且，成等差数列，则_【答案】【分析】利用等比数列的性质及它们成等差可建立方程，从而可求的值，即可求得结论.【详解】解：由题意得：设正项等比数列的公比为，则，成等差数列或（舍去）故答案为：15若点是抛物线上任意一点，则点到直线的最小距离为_.【答案】【分析】易知最小值点为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，利用导数的几何意义可求得点坐标，利用点到直线距离公式可求得结果.【详解】当到直线距离最小时，为抛物线的一条切线的切点，且该切线平行于直线，所求最小距离.故答案为：.16最能引起美感的比例被称为黄金分割现定义离心率是的椭圆为
10、“黄金椭圆”已知椭圆是“黄金椭圆”，则_【答案】【分析】分焦点在x轴上和焦点在y轴上，利用离心率公式求解.【详解】解：当焦点在x轴上时，则所以，解得；当焦点在y轴上时，则，所以，解得；故答案为：四、解答题17（1）求曲线在处切线的方程；（2）过原点作曲线的切线，求切点的坐标【答案】（1）；（2）.【分析】（1）求出切点坐标和切线的斜率，利用点斜式可得出所求切线的方程；（2）设切点坐标为，利用导数的几何意义求出切线方程，再将原点坐标代入切线方程，求出的值，即可得出切点坐标.【详解】解：（1）当时，即切点坐标为，切线斜率为，故所求切线方程为，即；（2）设切点坐标为，对函数求导得，故切线斜率为，所以
11、切线方程为，将原点坐标代入切线方程可得，解得，故切点坐标为.18如图，在长方体中，若在上存在点，使得平面(1)求线段的长；(2)求直线与平面所成角的正弦值【答案】(1)(2)【分析】（1）以为原点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，设，其中，由已知条件可得出关于的等式，求出的值，可求得线段的长；（2）利用空间向量法可求得直线与平面所成角的正弦值.【详解】(1)解：以为原点，以、所在直线分别为、轴建立空间直角坐标系，如图所示：设，其中，则、，若平面，则，则，解得，则.(2)解：由（1）可知平面的一个法向量为，且，因此，直线与平面所成角的正弦值为.19已知点F为抛物线的焦点，点在抛物线上，
12、且(1)求该抛物线的方程；(2)若点A在第一象限，且抛物线在点A处的切线交y轴于点M，求的面积【答案】(1)(2)8【分析】（1）由题意结合抛物线的定义可得，求出，从而可求得抛物线的方程，（2）将的坐标代入抛物线方程可求出点的坐标，设切线方程为，代入抛物线方程中化简后，由判别式为零可求出，从而可得直线方程，进而可求出点M的坐标，然后可求出的面积【详解】(1)由抛物线的定义可知， 即，抛物线的方程为，(2)，且A在第一象限，即A（4，4），显然切线的斜率存在，故可设其方程为，由，消去得，即， 令，解得，切线方程为令x=0，得，即，20已知函数在其图象上的点处的切线方程为(1)求a，b，c的值；(
13、2)求的单调区间与极值【答案】(1)；(2)单调减区间为，单调增区间为，的极小值为，无极大值.【分析】（1）求原函数的导函数，由点在切线上求出c，再由求出参数a、b即可.（2）由（1）得，根据的符号判断的单调区间，并确定极值情况.【详解】(1)由题设，且，又，解得(2)由（1）得：，令，解得；令，解得，的单调减区间为，单调增区间为，当时，的极小值为，无极大值21已知数列的首项，且满足(1)求证：数列为等差数列；(2)若，求数列前n项和【答案】(1)证明见解析；(2)，.【分析】（1）由题设可得，利用等差数列的定义判断是否为等差数列即可.（2）由（1）有，应用裂项相消法求即可.【详解】(1)由题
14、设，则，所以为常数，又，是以1为首项，1为公差的等差数列(2)由（1）得：，所以，所以， ，222022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交a元的税收，预计当每件产品的售价定为x元时，一年的销售量为万件(1)求该商店一年的利润L（万元）与每件纪念品的售价x的函数关系式；(2)求出L的最大值【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由题意，利用利润与销售量、售价、成本的关系写出函数关系式，注意定义域范围.（2）对求导，令得或，讨论与区间的位置情况判断的符号，进而确定的区间单调性，即可求最大值.【详解】(1)由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交元（），所以商店一年的利润（万元）与售价的函数关系式为：，(2)，令，解得：或，而，则，当，即时，当时，单调递增，当时，单调递减，；当，即时，则，即在单调递增，综上，.第 14 页 共 14 页